Определение критериев подобия способом интегральных аналогов и на базе π-теоремы

Липецкий государственный технический университет

 

 

 

Кафедра Электрооборудования

 

 

 

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

По дисциплине “Моделирование в технике”

Определение критериев подобия способом интегральных аналогов и на базе π-теоремы.

 

 

 

 

 

 

          Студент   Гасанов С.К.

Группы СДП-12

Руководитель

Доцент                     Бойчевский В. И.

 

 

 

 

 

 

Липецк 2014 г.

Оглавление

Задание на РГЗ………………………………………………………………….....3

1 Определение критериев подобия способом интегральных аналогов…..........4

1.1 В первой форме записи……………………………………………………….4

1.2 Во второй форме записи……………………………………………………...4

1.3 В третьей форме записи………………………………………………………5

1.4 В четвертой форме  записи……………………………………………………5

1.5 В пятой форме записи………………………………….......…………………6

2 Определение критериев  подобия на базе π-теоремы………………….....…...7

2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса………………..7

2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия………………………………………………………..8

2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи…………………...9

2.3.1 В первой форме записи……………………………………………………..9

2.3.2 Во второй форме  записи…………………………………………………..11

2.3.3 В третьей форме  записи…………………………………………………...14

Заключение……………………………………………………………………….18

Список литературы………………………………………………………………20

Приложение ……………………………………………………………………...21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание на РГЗ

2 СОДЕРЖАНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

Для процесса, описываемого дифференциально-интегральным уравнением, приведенным согласно варианту в таблице, определить критерии подобия:

2.1 Способом интегральных аналогов во всех возможных формах записи;

2.2 На базе π-теоремы в любых трех формах записи из всех возможных.

Таблица 1. Исходные данные к расчетно-графическому заданию.

№ Варианта	Дифференциально-интегральное уравнение энергетического процесса
35	t = + M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Определение  критериев подобия способом интегральных  аналогов

Определим число критериев подобия и число форм их записи:

= n – 1  + a = 5 – 1 + 1 = 5

= n = 5

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

  + + − t = 0                                        (1.1)  

1.1 В первой форме записи

Найдем критерии подобия в первой форме записи. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на первый член, то есть на :

(:) + ():() + ():( ) ():() – (t)() = 0                                                                                       (1.2)

Далее зачеркиваем, а затем исключаем знаки дифференцирования и интегрирования и неоднородные функции. После вышеописанных преобразований  уравнения (1.2) получаем выражение:

1 + + + – = 0

 В соответствии с первой теоремой подобия имеем четыре критерия подобия. При этом стоит отметить, что три из них являются основными и имеют четыре формы записи, и один дополнительный критерий подобия, который всегда имеет единственную форму записи.

Запишем критерии подобия в первой форме:

= , = , = ,  = , = t.

1.2 Во второй форме записи

По аналогии проделаем те же вычисления, которые были приведены в пункте 1.1 для второй и последующих форм записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на :

(:) + ():() + ():() + ():() −                       − (t):() = 0                                                                                  (1.3)

После математических преобразований выражения (1.3) и исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получим:

 + 1 + + − = 0

Запишем найденные критерии подобия во второй форме:

= , = , = , = , = t.

1.3 В третьей форме записи

Проделаем аналогичные преобразования для нахождения третьей формы записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на :

(:) + ():() + ():() + ():

:() − (t):() = 0                                                               (1.4)

 Преобразуя выражение (1.4) путем исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получаем:

 +  + 1 +  − = 0

Запишем найденные критерии подобия в третьей форме:

 , , = , = , =  t.

1.4 В четвертой форме  записи

Проделаем аналогичные преобразования для нахождения четвертой формы записи критериев подобия. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на :

(:) + ():() + ():() + ():

:() − (t):() = 0                                                                     (1.5)

После математических преобразований и исключения из выражения (1.5) знаков дифференцирования и интегрирования и неоднородных функций, получим следующее выражение:

 + +   1 − = 0

Запишем найденные критерии подобия в четвертой форме записи:

= , = , =   , = , =  t.

1.5 В пятой форме записи

Проделаем аналогичные преобразования для нахождения пятой формы записи критериев подобия. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на t:

(:t) + ():(t) + ():(t) + ():

:(t) − (t):(t) = 0                                                          (1.6)

После математических преобразований и исключения из выражения (1.5) знаков дифференцирования и интегрирования и неоднородных функций, получим следующее выражение:

+ +    − 1= 0

Запишем найденные критерии подобия в четвертой форме записи:

= , = , =  , = , =  t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Определение  критериев подобия на базе π-теоремы

2.1 Составление матрицы  размерностей параметров процесса

Определим параметры, участвующие в данном процессе и их число, и представим процесс в виде следующего уравнения:

f (, , t, , , C, , , , ) = 0                                                (2.1)

Из уравнения (2.1) видно, что m = 10. Выразим все члены уравнения (2.1) в относительных единицах:

f (, , , , , , ,, , ) = 0                                      (2.2)

Запишем выражения единиц измерения для всех величин, участвующих в выражении (2.2):

[] = [] = []

[] = [] = []

[t] = [] = []

[] = [] = []

[] = [] = []                                                             (2.3)

          [] = [] = []

[] = [] = []

[] = [] = []

[] = [] = []

[] = [] = []

Построим матрицу размерностей, составленную из показателей степени, входящих в формулы размерности системы (2.3):

	L		M	T	I
		2	1	-2	-2
		0	0	0	1
		0	0	1	0
		2	1	-3	-2
		0	0	0	1
		-2	-1	4	2
		2	1	-2	-2
		0	0	0	1
		2	1	-3	-1
		0	0	-1	0

2.2 Определение независимых  параметров процесса и числа  возможных форм записи критериев  подобия

Определим число независимых параметров из 
, , , , , , , , , и установим их. Число независимых параметров (К) будет равно порядку первого не равного нулю определителя, составленного из указанных показателей степени (матрица (2.4)). Причем анализ определителей нужно начинать с определителей порядка основных единиц измерения, то есть в нашем случае с четвертого порядка.

Определим число возможных комбинаций определителей четвертого порядка:

= = 210

Из следующих свойств определителей: 1) если в определителе имеются одинаковые строки, то такой определитель равен нулю; 2) если в определителе имеются пропорциональные столбцы, то такой определитель равен нулю; 3) если в определителе имеются нулевые строки, то такой определитель равен нулю; легко показать, что все определители четвертого порядка равны нулю. Следовательно, и число независимых параметров меньше четырех.

Анализируем определители третьего порядка. Определим число возможных комбинаций определителей третьего порядка:

С = = = 480

Рассчитаем любой произвольный определитель третьего порядка:

 

 

                  L  T  I   

          2 -3 -1

  D = -2 4 2    = 2

          0   0 1

Так как определитель третьего порядка оказался отличен от нуля, то число независимых параметров (К) равно трем, при этом в первой форме записи в качестве независимых параметров являются ,,. Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. На основании расчетов приложения видно, что число форм записи критериев подобия на базе π-теоремы составляет 210.

2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи

2.3.1 В первой форме записи

Определим первую форму записи критериев подобия:

Найдем соотношения между независимыми и зависимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:

[] =

[] =

[] =                                                                 (2.4)

[] =

          [] =

[] =

[] =

Следующая задача заключается в нахождении показателей , ,…, .

= = 1; = = = 1;

= = = 1; = = = 1;

= = = 1; = = = −1;

= = = 1; = = = 0;

= = = −1; = = = 0;

= = = 0; = = = 1;

= = = 2; = = = 1;

= = = −2; = = = 0;

  = = = 0; = = = 1

= = = −1; = = = −1;

= = = 1.

После подстановки найденных значений  , ,…, в систему (2.4), получаем:

[] =

[] =

[] =                                                                    (2.5)

[] =

          [] =

[] =

[] =

Учитывая, что связь между единицами измерения идентична связи между самим физическими величинами, мы можем записать следующее:

 =

 =

 =

=                                                                                                (2.6)

 =

=

=

Так как ,, - независимые величины, то мы можем выбрать их произвольно. Выберем их таким образом: = , = , =

Подставляя выбранные значения в выражение (2.2) вместо входящих в него параметров, получим:

f (, , , , , , ,, , ) = 0                             (2.7)       

f (, , , , , , , , , ) = 0                                       (2.8)        

 На основании первой теоремы подобия все отношения (отличные от единицы, входящие в выражение (2.8)) представляют собой критерии подобия в первой форме записи.

 = , = , = , = , = , = , = .

2.3.2 Во второй форме  записи

По аналогии с пунктом 2.3.1 определим вторую форму записи критериев подобия. Найдем определитель третьего порядка отличный от нуля и отличный от предыдущего хотя бы одной строкой.

 

                  L  T   I   

        2  -3 -1

  D =  -2 4 2   = 2

             0 -1 0

В качестве независимых параметров во второй форме записи будут являться,,. Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. Найдем соотношения между зависимыми и независимыми параметрами, и они будут иметь следующий вид:

[] =

[] =

[] =                                                                 (2.9)

[] =

          [] =

[] =

[] =

Следующая задача заключается в нахождении показателей , ,…, .

= =0; = = = −1;

= = = −2; = = = 1;

= = = 1; = = = 1;

= = = 0; = = = 0;

= = = −1; = = = 0;

= = = −1; = = = −1;