Модели задачи оптимизации и используемые методы решения

(3)

Средний или ожидаемый доход E(x) портфеля ценных бумаг определяется следующим образом:

(4)

Наряду со средним (ожидаемым) доходом важнейшей характеристикой портфеля ценных бумаг является риск, связанный с инвестициями. В качестве меры инвестиционного риска можно рассматривать величину отклонения доходности от ее среднего значения за последние T периодов. Тогда оценкой инвестиционного риска для бумаг вида j является дисперсия , которая вычисляется по формуле:

(5)

Кроме того, курсы некоторых ценных бумаг подвержены совместным колебаниям (примерами таких ценных бумаг являются акции нефтяных и автомобильных компаний). Оценкой инвестиционного риска для пары видов ценных бумаг, принадлежащих к взаимосвязанным областям экономики, является ковариация , которая вычисляется по формуле

.(6)

Заметим, что при i=j эта величина сводится к дисперсии бумаг вида j.

Таким образом, в качестве меры инвестиционного риска портфеля ценных бумаг может служить величина

(7)

Отметим, что слагаемые двойной суммы приведенного выражения определяются лишь для тех пар видов ценных бумаг, которые принадлежат к взаимосвязанным областям экономики.

На основании описанных характеристик − ожидаемый доход E(x) и инвестиционный риск V(x) − предложено несколько моделей, оптимизирующих портфель ценных бумаг. Рассмотрим три из них.

 

 

 

3. Модели задачи оптимизации и используемые методы решения

 

Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций.

Модель имеет вид

(8)

(9)

xj ≥0, .(10)

Данная модель является моделью линейного программирования (ЛП).

Оптимальное решение E*=E(x*)может быть найдено, например, симплекс-методом.

Портфель ценных бумаг может также формироваться с учетом различных ограничений, связанных с политикой фирмы.

 

Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Различные виды ценных бумаг можно отнести к различным группам инвестиционного риска. Например:

1-я группа − низкий  риск;

2-я группа − средний  риск;

3-я группа − высокий  риск.

К группе 1 могут быть отнесены обычные облигации, текущие банковские счета, банковские депозитные сертификаты и др. Такие «безопасные» с точки зрения риска инвестиции дают, однако, небольшой доход.

К группе 2 могут быть отнесены обычные акции. Доход от таких ценных бумаг выше, но он подвержен значительным колебаниям, что увеличивает риск.

К группе 3 могут быть отнесены различные «спекулятивные акции». Курс таких ценных бумаг имеет тенденцию к сильным колебаниям, что увеличивает риск, но ожидаемый доход от них может быть достаточно высок.

Политика фирмы состоит в том, что фирма выделяет из общей суммы наличного капитала определенные доли средств на вложения в бумаги различных групп.

Так, правления многих инвестиционных фирм считают необходимым вкладывать определенную часть капитала в бумаги с низким риском. Такое ограничение записывается следующим образом:

(11)

где J1 − множество индексов бумаг 1-й группы;

b1 − минимальная доля вложений в бумаги 1-й группы.

С другой стороны, большинство инвестиционных фирм ограничивают размеры вложений в обычные и тем более «спекулятивные» акции, так как доход от них подвержен значительным колебаниям. Такие ограничения записываются следующим образом:

(12)

(13)

где J2 , J3 − соответственно множества индексов бумаг 2-й и 3-й групп;

b2 , b3 − соответственно максимальные доли вложений в бумаги 2-й и 3-й групп.

Таким образом, оптимизационная модель имеет вид

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

xj ≥0,

.(19)

 

Данная модель также является моделью ЛП. Оптимальное решение E*=E(x*) может быть найдено любым из методов ЛП.

Главный недостаток моделей 1 и 2 состоит в том, что риск, связанный с инвестициями, в них не учитывается. Портфель ценных бумаг, который находится в результате решения соответствующих задач ЛП, может обещать высокий средний доход, но при этом инвестиционный риск также будет велик. Вследствие этого истинный доход может оказаться значительно ниже ожидаемого. Этого недостатка лишена модель 3.

 

Модель 3. Минимизация инвестиционного риска при заданном среднем доходе.

Владельцы ценных бумаг могут быть заинтересованы в получении заданного ожидаемого дохода R при минимальном риске. Оптимизационная модель в этом случае имеет вид

 

           (20)

        (21)

(22)

xj ≥0,

.(23)

 

Отметим, что в модель могут быть введены дополнительные (подобные рассмотренным выше) ограничения, определяемые политикой фирмы.

Данная модель является моделью квадратичного программирования, так как целевая функция квадратичная, а ограничения линейные. Оптимальное решение V*=V(x*) может быть найдено методом квадратичного программирования.

 

 

4. Расчётная часть

 

Решение задачи оптимизации в соответствии с моделью 1 проводилось в электронных таблицах Ecxel (скриншоты экранов представлены на рисунках 1 – 4).

 

Рисунок 1 – Ввод исходных данных

 

 

Рисунок 2. Ввод формул и ограничений

 

Рисунок 3.Ввод целевой функции и ограничения.

 

 

Рисунок 4. Полученное решение модели 1

 

Решение задачи оптимизации в соответствии с моделью 2 проводилось в электронных таблицах Ecxel (скриншоты экранов представлены на рисунках 5 – 8.

 

Рисунок 5.Ввод формул целевой функции и ограничений.

 

Рисунок 6.Ввод формул целевой функции и ограничений.

Рисунок 7.Полученное решение модели 2

Решение задачи оптимизации в соответствии с моделью 3 проводилось в электронных таблицах Ecxel (скриншоты экранов представлены на рисунках 9 – 13.

 

 

Рисунок 8. Ввод формул целевой функции и ограничений

 

 

Рисунок 9. Ввод формул целевой функции и ограничений

 

Рисунок 10. Ввод формул целевой функции и ограничений

 

Рисунок 11. Полученное решение модели 3.

 

Полученные результаты по трем моделям записаны в сводной таблице 3.

Таблица 3 - Полученные результаты.

Тип модели	x1	x2	x3	x4	x5	x6	E(x*)	V(x*)
1	0	0	0	0	700	0	1866.667
2	0	315	175	0	210	0	672.35
3	0	0	353.70	0	253	93	39935.88	1031.043

 

 

1. Можно ли спрогнозировать  по данным о доходностях µj оптимальное решение x*, E* в случае модели 1?

Да, можно. Так как в данной модели  не учитывается риск и единственное ограничение связано с общим объёмом инвестиций. Главным является получение максимальной прибыли, поэтому расчеты по модели 1 должны «рекомендовать»  вложить весь наличный капитал в ценные бумаги с наиболее высокой средней доходностью. Их можно определить напрямую по данным о доходности.

2. Как изменится величина E* при переходе от модели 1 к модели 2?

Величина Е* уменьшится с 1866,67р. до 672,35 р., поскольку необходимо часть капитала вложить в бумаги с наименьшим риском.

1. Как экономически обосновать оптимальное решение x* в случае модели 2?

 В первую очередь ,это  объясняется политикой фирмы. Т.е. лимитом средств  на покупку активов с определённым риском. В мировой практике, как правило, всегда  какую-то часть капитала вкладывают в ценные бумаги  с самым низким риском, для большей безопасности вкладов.

 

2. Каким образом влияет на решение x*, E* в случае модели 2 изменение политики фирмы?

Весь капитал делят на несколько частей, в зависимости от политики фирмы, для вложения в активы с разным риском. Следовательно, если фирма изменит политику, например, повысит долю капитала, направленную на покупку активов с большим риском, то средний ожидаемый доход возрастет.

3. Как определить диапазон возможных значений заданного дохода R для модели 3?

Определить диапазон возможных значений заданного дохода R для модели 3можно через значения целевых функций моделей 1 и 2, т.е. 1866,67р-будет точкой максимума, а 672,35р.- точкой минимума соответственно.

6. Как будут соотноситься  величины V* для моделей 1 и 3, если  выбрать в качестве значения R для модели 3 величину E*, полученную  в модели 1?

Они будут одинаковыми, т.к. риски для видов ценных бумаг не изменятся и чтоб достигнуть выбрать в качестве значения R для модели 3 величину E*, полученную в модели 1,нам придётся увеличить риск до уровня модели 1.

7. Как будут соотноситься  величины V* для моделей 2 и 3, если  выбрать в качестве значения R для модели 3 величину E*, полученную в модели 2?

Величины V* для модели 2 будет больше чем для модели 3,т.к. в 3 модели не накладываются ограничения на 1-ю группу

8. Как Вы обоснуете  выбранное значение R для модели 3?

Владельцы ценных бумаг заинтересованы в получении заданного ожидаемого дохода R при минимальном риске.

9. Каким образом влияет  на решение x*, V* в случае модели 3 характер взаимосвязи (положительная  или отрицательная) курсов ценных  бумаг?

Никак не влияет, т.к. величина учитывается в виде σ2.

10. Есть ли смысл решать  задачу оптимизации во всех  постановках или достаточно ограничиться  моделью 3?

Есть, т.к. выбор модели зависит от выбранного критерия -  максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций, максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы или минимизация инвестиционного риска при заданном среднем доходе.

11. Возможно ли в какой-либо  из моделей такое оптимальное  решение x*, при котором часть наличного капитала К останется неиспользованной (не будет вложена в ценные бумаги)?

Не возможно, т.к. главные задачи наших задач оптимизировать использование капиталов.

12. Как Вы теоретически (но популярно!) обоснуете владельцу  портфеля ценных бумаг те результаты, которые получили?

После проведённых нами исследований, мы пришли к выводу, что весь наличный капитал фирмы в следующем инвестиционном периоде следует вложить в бумаги 2-го и 6-го видов, согласно модели  3, т.к. тогда инвестор получит необходимый ему размер дохода и сравнительно невысокий уровень риска.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе дан анализ сущности портфельного инвестирования и произвели расчёты по 3 моделям. И так главным выводом в данной работе является то, что доходность портфеля ценных бумаг напрямую зависит от риска. Чем больше прибыль, тем больше риск потерять вложенные средства. Именно поэтому так важно проводить грамотный инвестиционный менеджмент.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента: Учеб. пособие / И.Т. Балабанов.  - М.: Финансы и статистика, 2000.
2.  Бланк И.А. Управление инвестициями предприятия / И.А. Бланк - Киев.: Эльга, Ника-Центр, 2004.
3. Рынок ценных бумаг России 2010 года. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www.invest-profit.ru/akcii-i-obligacii/fondovyjj-rynok/990-rynok-cennyx-bumag-rossii-2010.html. - Загл.с экрана
4. Бланк И.А. Финансовый менеджмент: Учебный курс./ И.А.  Бланк2-е изд., перераб. и доп. - К.: Эльга, Ника-Центр, 2004. С. 386.
5. Брюков В. Г. Управление портфелями акций в условиях подъема/ В. Г. Брюков // Инвестиционный банкинг. 2009. № 2. С. 22-29.
6. Садиков О.Н. Комментарий к Гражданскому кодексу РФ./ О.Н. Садиков-Москва, Юринформцентр. 1995 г.
7. Федеральный закон N160-ФЗ от 09.07.1999 «Об иностранных инвестициях в Российской Федерации» (в ред. Федеральных законов от 21.03.2002 №31-ФЗ, от 25.07.2002 №117-ФЗ, от 08.12.2003 №169-ФЗ, от 22.07.2005 №117-ФЗ, от 03.06.2006 №75-ФЗ).
8. Федеральный закон №39-ФЗ от 22.04.1996 «О рынке ценных бумаг».
9. Колчина Н.В., Учебник: Финансы предприятий / Н.В. Колчина, Г.Б. Поляк, Л.П. Павлова и др.; Под ред. проф. Н.В. Колчиной. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 2008. С. 202
10. Шамин С.В. Роль иностранных инвестиций и формы их привлечения в экономику Российской Федерации (Организационно-экономический аспект) : Дис. ... канд. экон. наук : 08.00.14, 08.00.05. –/ С.В. Шамин - Москва., 2012. С. 17.