Дослідження операцій

МІНІСТЕРСТВО  НАУКИ І ОСВІТИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ   УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ  НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“КРИВОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

КРИВОРIЗЬКИЙ  ЕКОНОМIЧНИЙ IНСТИТУТ

 

Індивідуальна робота  
з дисципліни 
«Дослідження операцій» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривий Ріг  – 2012 р.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

1. Тема “Ігрові  методи в управлінні економікою  і бізнесом”.

2. Тема “Елементи  теорії масового обслуговування”.

2.1. СМО з відмовленнями  (задача управління запасами “Розрахунок  складської площі”).

2.2. СМО з очікуванням для аналізу та оптимізації продуктивності (на прикладі наливних пристроїв).

3. Список використаних  джерел.

 

1. Тема “Ігрові методи  в управлінні економікою і  бізнесом”.

 

1. Торгова фірма  розробила декілька варіантів  плану продажу товарів з врахуванням  кон’юнктури ринку і попиту споживачів. Отримані від їх можливих сполучень показники доходів представлені в таблиці.

а) Визначити оптимальну стратегію фірми по продажу товарів.

б) Якщо є ризик і ймовірність реалізації плану П -b% = 30%, П -c% = =35%, П -d% = 35% то, яку стратегію фірми слід вважати оптимальною?

Таблиця 1

 

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	2	3	3
П	4	2	1
П	3	2	4

 

Розв'язання.

 

а) У нашому випадку  маємо матрицю надбань, оскільки можливі результати характеризують величину доходу.

Для розв’язання задач  вибору в подібних умовах існує безліч різних критеріїв.

Критерій Вальда. Його ще називають критерієм вибору «найменшого з зол». Він відповідає песимістичному типові поведінки в умовах невизначеності. Відповідно до цього критерію кращою вважається альтернатива Х^*, що задовольняє умові:

Х^* = max_imin_jq_ij,

Для умов нашого прикладу:

Х^* = max_i (2, 1, 2) = 1, тобто кращими є альтернативи П₁ і П₃.

Критерій домінуючого  результату. Відповідає над оптимістичному типу поведінки. Відповідно до нього краща з альтернатив вибирається за правилами:

Х^* = max_imax_jq_ij,

Для умов нашого прикладу:

Х^* = max_i (3, 4, 4) = 4, тобто кращими є альтернативи П₂ і П₃.

Критерій Севіджа (мінімального жалю). Цей критерій відповідає більш оптимістичному типові поведінки ніж критерій Вальда. Він базується на розрахунку матриці «жалю» (S), елементи якої визначаються в такий спосіб:

S_ij = q_ij – minq_ij.

Далі за цією матрицею «жалів» за допомогою максимінного критерію вибирається альтернатива.

Будуємо матрицю жалів  для нашого прикладу.

Таблиця 2

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	1	2	2
П	3	1	0
П	2	1	3

 

Отже, Х^* = max_i (1, 0, 1) = 1, тобто кращими є альтернативи П₁ і П₃.

Критерій Гурвіца. Його ще називають критерієм «песимізму – оптимізму». Цей критерій базується на оцінці кожної альтернативи за допомогою комбінації найкращого і найгіршого результатів. Розраховується оцінка Z_i для альтернативи X_i за правилом:

Z_i = a · min_jq_ij + (1 – a) · max_iq_ij,

де a – показник песимізму (0 ≤ a ≤ 1).

При a = 1 цей критерій перетворюється в максимінний. Якщо ми вибираємо a близьким до 1, то ми дотримуємося песимістичного типу поведінки, найменш ризикованого.

Найкращу альтернативу вибирають за наступним правилом:

Х^* = max_iZ_i

Для нашого прикладу приймемо a = 0,5.

Отже,

Z₁ = 0,5 · 2 + 0,5 · 3 = 2,5

Z₂ = 0,5 · 1 + 0,5 · 4 = 2,5

Z₃ = 0,5 · 2 + 0,5 · 4 = 3

Х^* = max_i(2,5; 2,5; 3) = 3, тобто кращою є альтернатива П₃.

 

Систематизуючи  розглянуті нами критерії та результати, отримані з їх допомогою, обираємо за найбільш оптимальну стратегію фірми по продажу товарів план П₃.

 

 

б) Якщо є ризик і ймовірність реалізації плану П -b% = 30%, П -c% = =35%, П -d% = 35% то, яку стратегію фірми слід вважати оптимальною?

Якщо при ухваленні  рішення ОПР відомі ймовірності Рj станів Пj, то будемо вважати, що розглядається ситуація в умовах часткової невизначеності.

У цьому випадку для  прийняття рішення можна використовувати такий критерій.

Критерій  Байєса. Це критерій максимізації середнього очікуваного доходу. Критерій Байєса називається також критерієм максимуму середнього виграшу.

Як відомо, математичне  очікування М(Qi) випадкової величини Qi представляє собою середній очікуваний дохід, який позначається також Qi можна знайти за формулою:

Для кожної стратегії  Аi ( i-го варіанта рішення) слід розрахувати  середній очікуваний дохід (математичне очікування), і відповідно до критерію Байєса слід вибирати варіант (стратегію Аi ), для якого досягається найбільше значення:

Критерій Байєса використовують в ситуації, в якій приймається рішення, що задовальняє наступним умовам: ймовірність появи стану Пj відома і не залежить від часу; ухвалене рішення теоретично допускає нескінчену велику кількість реалізацій; допускається певний ризик при малих числах реалізацій.

 

Розв'язання.

 

Запишемо матрицю виграшів з додатковим рядком з ймовірностями  станів у вигляді таблиці 3.

Таблиця 3

Матриця виграшів гри

План продажу	Величина доходу, грош. од.
	Д	Д	Д
П	2	3	3
П	4	2	1
П	3	2	4
Рі	0,3	0,35	0,35

 

Знайдемо для кожної стратегії Пi середній очікуваний дохід за формулою:

М(Д₁) = 2 · 0,3 + 3 · 0,35 + 3 · 0,35 = 2,7

М(Д₂) = 4 · 0,3 + 2 · 0,35 + 1 · 0,35 = 2,25

М(Д₃) = 3 · 0,3 + 2 · 0,35 + 4 · 0,35 = 3

Максимальний  середній очікуваний дохід дорівнює 3 і відповідає плану П . Отже за даних умов оптимальною стратегією для фірми є план П .

 

2. Тема “Елементи теорії  масового обслуговування”.

 

2.1. СМО з відмовленнями  (задача управління запасами “Розрахунок  складської площі”).

Проектується склад із такими робочими характеристиками:

Вантажообіг товарного  складу (Q) складатиме - 260 тис. т;

період надходження  матеріалу (T_n) - 365 діб;

середня маса вантажу  в одній партії (q) - 750 т;

середній термін зберігання на складі (Т_зб) - 18 діб;

середня завантаженість на 1 м площі складу (р_к) - 2,8 т/м.

Визначити споживану (корисну) складську площу, яка б  забезпечила пропуск даного вантажообігу з імовірністю Р_п = 0,95.

 

Розв'язання.

 

Розглянемо  склад як систему, що складається  з п обслуговуючих комірок-площадок. Кожна площадка забезпечує одночасне обслуговування (зберігання) окремої партії вантажу. Відмовлення у прийманні нової партії матеріалів настає в момент зайнятості всіх комірок. Площу кожної комірки (F) вважатимемо такою, що вміщує одиницю партії вантажу:

 

F = q/p_k = 750 / 2,8 = 268 м²,

 

де q - середня  маса вантажу в одній партії; р_к, - середня завантаженість на 1 м² площі складу.

 

Вважатимемо вхідний  потік близьким до найпростішого. Якщо склад виявиться переповненим, то нові вхідні заявки вважаються втраченими для обслуговування, тому у якості модельної системи обслуговування необхідно вибрати СМО з відмовами.

Для відповіді  на сформульоване питання необхідно  визначити наступні операційні характеристики системи: середню інтенсивність надходження заявок; середню інтенсивність обслуговування; коефіцієнт завантаженості; мінімальну кількість обслуговуючих приладів та ймовірність втрати заявку.

1) Інтенсивність  надходження вантажу на склад  знайдемо за формулою:

 

 

де, Q-вантажообіг  складу; q-середня маса однієї партії; T_n – період надходження вантажу.

 

2) Інтенсивність  обслуговування однієї партії  складом знайдемо за формулою:

 

 

де Т середній термін зберігання на складі.

 

3) Коефіцієнт  завантаженості системи:

 

 

Отже, мінімальна кількість комірок на складі повинна  бути n =16.

4) Обчислимо  ймовірність (Р ) заповнення складу і неможливість приймання вантажу для різної кількості комірок-площадок, починаючи з n=16. Для цього знайдемо:

Ймовірність простоювання системи (всі обслуговуючі прилади вільні):

Ймовірність втрати заявку (всі обслуговуючі прилади  зайняті):

 

P_відм=P₃=

 

Заповнення  складу і необхідність відмовлення  у прийманні вантажу відбудуться  тоді, коли всі комірки-площадки будуть зайнятими.

Ймовірність приймання  вантажу (Р_n) при наявності хоча б однієї вільної комірки-площадки модна визначити за формулою:

 

Р_n=1-P_відм.

 

Розрахунки будемо здійснювати за допомогою Excel. Результати обчислення ймовірності (Р_відм) відмовлення від приймання вантажу для різних значень корисної площі складу занесено у таблицю:

Таблиця 4

 

№ з/п	Кількість умовних комірок-площадок, n	Ймовірність відмови Р3	Ймовірність прийому 1-Р3	Корисна площа F, м2
1	16	0,18	0,82	4288
2	17	0,14	0,86	4556
3	18	0,11	0,89	4824
4	19	0,09	0,91	5092
5	20	0,06	0,94	5360
6	21	0,05	0,95	5628

 

Відповідь: При  кількості умовних комірок-площадок n=21 (корисної площі складу, що складатиме 5628 м²) забезпечується ймовірність 0,95 приймання вантажу на склад.