Прогнозирование наработки до отказа по заданной статистике параметров

= [0,4305; 0,6805]

Так как  вклад выходит за пределы интервала  [a,b], отбрасываем часть, выходящую за этот интервал, а над частью интервала, оставшейся внутри [a,b], надстроим прямоугольник с площадью, равной отброшенной.

 

Определяем  поправку:

 

Тогда функция  первого вклада с учетом поправки примет вид:

 

График функции  первого вклада f₃(U) представлен на рисунке П.2.3.

Рисунок П.2.3. – График функции первого вклада f₃(U)

Рисунок П.2.4. – График результирующей функции  плотности вероятности f(U)

Проверка  осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

 

 

 

 

S=

 

 

Математическое  ожидание (в начале эксперимента)

Математическое  ожидание – это значение случайной  величины, относительно которого группируются все заданные значения.

Математическое  ожидание случайной величины равно  сумме произведений случайной величины на их вероятности.

 

Это выражение  справедливо для дискретной случайной  величины, в нашем случае (непрерывная  случайная величина) сумма заменяется интегралом, а вероятность – элементом  вероятности, поэтому:

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 
Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее квадратичное значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

 

 
Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех

значений  ПКГ

На основании  расчетов было установлено, что:

 

Следовательно, значение является постоянным и можно записать:

 

Определение значение критерия Стьюдента

Значение критерия Стьюдента , соответствующее q-процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и (n-1) – степеней свободы определим по таблице.

 

где P – доверительная вероятность прогноза, P=0,98;

n-1=2;

n=3;

Следовательно,  = 6,965.

Определение значения доверительных границ с  учетом

критерия  Стьюдента

Верхняя доверительная граница:

 

Нижняя доверительная  граница:

 

Доверительные границы приведены  в таблице П.3.

 

 
Таблица П.3.

80000	0,4386	0,70404	0,17316
86000	0,4399	0,70504	0,17446
92000	0,4411	0,70654	0,17566
98000	0,4410	0,70644	0,17556
104000	0,4450	0,71044	0,17956
110000	0,4500	0,71544	0,18456
116000	0,4480	0,71344	0,18256
122000	0,4590	0,72444	0,19356
128000	0,4677	0,73314	0,20226
134000	0,4708	0,73624	0,20536
140000	0,4844	0,74984	0,21896
146000	0,4919	0,75734	0,22646
152000	0,5127	0,77814	0,24726
158000	0,5212	0,78664	0,25576
164000	0,5396	0,80504	0,27416
170000	0,5566	0,82204	0,29116

 

Обоснование выбора математической модели

прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию y=f(t) и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т.е.

 
 

Обозначим значения f(t) при соответствующих значениях аргумента так:

 

Величины

;

;

………………………………….

 

называют  разностями первого порядка (первыми  разностями).

Величины 

;

;

…………………….

 

называют  разностями второго порядка.

Аналогично  определяются разности произвольного  порядка m:

;

;

………………………………

 

Конечные  разности в более наглядной форме  представляют в форме таблицы, которая  называется диагональной. Каждый столбец  таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими  значениями уменьшаемого и вычитаемого. Составим диагональную таблицу 5 для  статистических данных таблицы 1.

 
Таблица 5

ti	Ui
80000	0,4386
		0,0013
86000	0,4399		-0,0001
		0,0012		-0,0012
92000	0,4411		-0,0013
		-0,0001		0,0054
98000	0,4410		0,0041
		0,004		-0,0031
104000	0,4450		0,001
		0,005		-0,0111
110000	0,4500		-0,007
		-0,002		0,02
116000	0,4480		0,013
		0,011		-0,0153
122000	0,4590		-0,0023
		0,0087		-0,0033
128000	0,4677		-0,0056
		0,0031		-0,0049
134000	0,4708		-0,0105
		0,0136		0,0044
140000	0,4844		-0,0061
		0,0075		0,0194
146000	0,4919		0,0133
		0,0208		-0,1363
152000	0,5127		-0,123
		0,0085		0,1329
158000	0,5212		0,0099
		0,0184		-0,0113
164000	0,5396		-0,0014
		0,017
170000	0,5566

 

 

Разности  второго порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином второй степени.

Определение параметров модели прогнозирования  по

методу  наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит  условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы  квадратов невязок было минимальным, т.е.

 

где 

Для этого  необходимо выполнить условие минимума суммы S, т.е.

;          ;           .

Составим  систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c.

 

Таким образом, путем преобразования получим:

 

 

 
Сократив уравнение  на 2, получим:

 

 

 

Введем  обозначения.

 

 

 

Уравнения принимают вид:

 

 

 

Данная  система уравнений далее решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

 

Определение параметров модели прогнозирования 

для кривой .

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определитель  системы находится так:

 

;

 

=

=

 

 

Определитель параметра а находится так:

=

 

 

 

Определитель  параметра b находится так:

=

 

 

 

Определитель параметра c находится так:

=

 

 

 

Далее:

 

 

 

Полученная зависимость:

 График приведен на рисунках П.3.1., П.3.2., П.3.3.

 

 

 

Рисунок П.3. – График моделей линии регрессии и ее доверительных границ

Определение параметров модели прогнозирования  верхней границы (для кривой по данным M(U_i)).

 

 

 

 

 

 

Определитель параметра а находится так:

=

 

Определитель параметра b находится так:

=

 

Определитель параметра с находится так:

=

 

 

 

 

 

 

 

Полученная зависимость:

 

Ее график приведен на рисунке П.3.

Определение параметров модели прогнозирования нижней границы (для кривой по данным N(U_i)).

  

 

 

 

Определитель параметра а находится так:

=

 

Определитель параметра b находится так:

=

 

Определитель параметра с находится так:

=

 

 

 

 

 

Полученная зависимость:

Ее график приведен на рисунке П.3. 
Заключение

В данной курсовой работе была определена интервальная оценка наработки до отказа объекта по заданному параметру  – критерию годности (ПКГ). Были найдены  оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки  до отказа  и .

 

Список используемой литературы

1. Надёжность технических систем и её прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ/В.В. Рыжаков.-Пенза: Изд-во ПГТА, 2011.-68 с.
2. Надёжность технических систем и её прогнозирование/В.В. Рыжаков.-Пенза: Изд-во ПГТА, 2011.-Ч.1.-104 с.
3. Надёжность технических систем и её прогнозирование/В.В. Рыжаков.-Пенза: Изд-во ПГТА, 2011.-Ч.2.-94 с.