Дослідження коливань робочих лопаток ГТД у системі MATLAB

Всеукраїнський конкурс студентських

наукових робіт

«Авіаційна  та ракето-космічна техніка. Аеронавігація»

 

 

зі спеціальності:

«Двигуни та енергетичні установки»

 

 

 

 

 

«Дослідження коливань робочих лопаток ГТД

у системі MATLAB»

шифр «Коливання»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2011 
Зміст

 

 

 

Вступ

При проектуванні ГТД, разом оцінкою статичної  міцності основних його елементів, важливим є оцінка динамічної міцності, що обумовлена їх коливаннями.

Коливання елементів  конструкції ГТД створює умови  для навантаження їх змінними напруженнями, що при значної за часом дії сприяють скороченню часу працездатності матеріалу і прискорюють руйнування конструкції.

Змінні напруження в елементах конструкції значно зростають при резонансних коливаннях, коли частота збудження співпадає з власною частотою коливань, яка суттєво залежить від ряду факторів, в першу чергу, обумовлених їх конструкцією.

Робочі лопатки відносяться до тих основних деталей ГТД, що визначають його надійність і ресурс. Проектування робочих лопаток є актуальною практичною задачею, вирішення якої полягає в одночасному задоволенні багатьох різнорідних умов з урахуванням усіх діючих факторів. Для аналізу впливу  основних діючих факторів на статичну і динамічну міцність лопаток ГТД на стадії проектування застосовують програмні комплекси для математичного моделювання.

Найбільш складним є моделювання динамічної міцності лопаток ГТД, що потребує рішення  наступних задач: визначення власних частот і форм коливань; аналіз джерел збудження коливань; аналіз умов появи резонансів і заходів щодо їх усунення; дослідження засобів демпфірування коливань і способів його підвищення; дослідження автоколивань і способів їх усунення; визначення критичних частот обертання ротора; дослідження способів зниження вібрацій і оптимізація упруго-демпферних опор; розробка методів діагностики вібрацій ГТД.

Тому актуальним питанням математичного моделювання є удосконалення розрахункових методів визначення динамічної міцності робочих лопаток, що обумовлена їх коливаннями.

Робота присвячена дослідженню коливань робочої лопатки  ГТД, що є найбільш небезпечним елементом  його конструкції

Метою роботи є дослідження коливань робочої лопатки ГТД шляхом математичного моделювання в системі MatLab.

Об’єктом  дослідження є робоча лопатка ГТД, що закріплена консольна.

Предметом дослідження є коливання робочої лопатки ГТД, що закріплена консольна.

Методом дослідження  є математичне моделювання напружено-деформованого стану і гармонійних коливань робочих лопаток ГТД.

Дослідження динамічної міцності конструкції вимагає створення  фізичної моделі і її випробування, що є дуже витратним, або розробки математичної моделі коливання для оцінки амплітуд, частот (власних і збуджуючих), форм коливань конструкції, сил і моментів, що викликають  змінні напруження, яка б дозволяла моделювати на їх вплив різних факторів (матеріалу, форми, умов закріплення та інші) для визначення віброміцності конструкції.

Розрахункова  схема математичної моделі розглядає робочу лопатку ГТД як простішу систему з однією ступінню свободи, що коливається  під впливом сили збудження, яка змінюється за гармонійним законом. При цьому можливо використати положення теоретичної механіки [ 1 ] для визначення можливих переміщень при коливаннях лопатки у вигляді

                                                       ,                                                   (1)

де  - амплітуда коливань, що вимушені (максимальні можливі переміщення лопатки при коливаннях);

         - амплітуда коливань, що вимушені при частоті нульової сили збудження (переміщення лопатки при статичному впливі сили)  коливань;

          - колова частота  коливань лопатки з однією ступінню свободи 

                                                               ,                                            (2)

          - маса лопатки;

          -  жорсткість закріплення лопатки;

          - коефіцієнт, що враховує розсіювання енергії лопатки, що коливається.

Наукова новизна результатів, що  одержані в роботі полягає в розробці числової моделі власних та змушених коливань робочих лопаток ГТД у системі MatLab, яка дозволяє визначати розміри вигину, кути повороту перетинів, моменти вигину, сили перерізування лопатки  і напруження, що діють  в перетинах лопатки.

Практичне значення результатів, що  одержані в роботі полягає в визначенні  напружень, що діють при коливаннях лопатки і коефіцієнтів запасу динамічної міцності лопатки ГТД.

1. Постановка задачі розрахунку коливань робочих лопаток

Рівняння власних  форм коливань лопаток ГТД постійного перетину за їх довжиною має вигляд [ 1 ]:

                           

,                                (3)

де  - функція прогину пера лопатки;

     - координата продовжної вісі;

     - модуль пружності матеріалу лопатки в перетині з координатою ;

     - осьовий момент інерції площі перетині з координатою ;

     - прискорення вільного падіння ( );

     - колова частота власних коливань лопатки;

     - площа перетину лопатки з координатою ;

     - густина матеріалу лопатки.

При умові, що модуль пружності, площа перетину, осьовий момент інерції площі перетину і питома вага матеріалу не змінюються за довжиною лопатки, рівняння (1) має  вигляд:

                                   

,                                       (4)

або

                                            

,                                                   (5)

 

 

 Відомо [ 2, 3 ], окремими рішеннями однорідного диференційного рівняння можуть  бути тригонометричні функції   та гіперболічний синус і гіперболічний косинус - .

При використанні зазначених функцій, загальний інтеграл рівняння (3) є функція прогину  лопатки в площині вільних коливань від довжини лопатки:

        

,            (6)

де - постійні інтегрування, що визначають межові умови ( умови закріплення лопаток на кінцях).

Конструкція кріплення  лопаток дозволяє визначити:

вигин лопатки в перетинах

                                                      

,                                              (7)

кути повороту перетинів лопатки

                                                

,                                                     (8)

моменти вигину

                                               

,                                                (9)

сили перерізування

                                              

.                                                  (10)

Якщо функція  вигину лопатки  при вільних коливаннях, що подана у вигляді рівняння (4)  є рішенням рівняння (3), тоді вона повинна задовольняти і межовим умовам.

За допомогою цієї функції можливо аналітично отримати вигин, кут повороту, момент вигину і силу перерізування в будь якому перетині лопатки, у тому числі і на її кінцях.

Визначення моменту вигину впродовж лопатки дозволяє розрахувати  напруження, що діють в її перетинах

                                            

,                                                   (11)

де  - момент опіру перетину лопатки

Порівняння  напружень, що діють в перетинах  лопатки , з межовим напруженням , яке визначається матеріалом (густина матеріалу) і умовами роботи (температура, від якої залежить модуль пружності матеріалу), дозволяє отримати значення коефіцієнта динамічної міцності лопатки, порівняння якого з межовим значенням коефіцієнта динамічної міцності лопатки , що визначається нормами міцності, дає можливість оцінювати динамічну міцність лопатки

                           

                                     (12)                          

 

Таким чином, при визначенні умов закріплення лопатки (консольна, шарнірна або жорстка) можливо отримати  відповідні сили, моменти, напруження і оцінити динамічну міцність лотоки ГТД.

2. Визначення межових умов, постійних інтегрування і власних частот коливання при консольному закріпленні лопатки

Враховуючи, що постійні інтегрування рівняння (6) визначаються межовими умовами, визначимо розрахункову схему лопатки з урахуванням консольного способу її кріплення.

При консольному  кріпленні лопатки не припускається  кутових і лінійних переміщень і  місце кріплення є абсолютно  жорсткім.

 При консольному кріпленні лопатки з абсолютно жорстким защемленням у місці кріплення - вигин і кут повороту перетину лопатки дорівнюють нулю, а момент вигину і сила перерізування на вільному кінці лопатки також дорівнюють нулю:

                           

,                                                 (13)

 де - довжина лопатки.

Підставляючи в ці межові умови (13) загальне рішення (6), що є рішенням рівняння (3) і повинно задовольняти цим умовам, отримаємо:

при  :

                   

            (14)

               

            (15)

при  :

             

            (16)

           

            (17)

Рівняння (14), (15), (16) і (17) розглянемо як систему чотирьох лінійних однорідних рівнянь відносно постійних інтегрування  :

                  ( 18)

Ця система (18) має рішення, що відрізняються від нуля при умові, коли її визначник   дорівнює нулю:

                                            ( 19 )                   

Дорівнюючи  визначник (19) нулю, отримуємо характеристичне рівняння або рівняння частот

                                 

                                          (20)

Рішення цього  рівняння дозволяє отримати параметр .

Відповідно  до алгоритму, що  визначений, з використанням системи MatLab [ 4 ], розроблена програма для розрахунку коренів характеристичного рівняння (додаток А).

Схема рішення  характеристичного рівняння для лопатки, що коливається і закріплена консольна наведена на рис. 1.

За результатами розрахунку отримані наступні перші шість коренів характеристичного рівняння для лопатки, що коливається і закріплена консольна:

                                    

Рис. 1. Схема  рішення характеристичного рівняння для лопатки,

що коливається  і закріплена консольна

 

                                                  (21)

 

Для кожного  кореня , де отримуємо параметр 

                                                 

.                                              (22)

Використання  значення параметра дозволяє розрахувати  власні частоти коливання лопатки

                                

,                                          (23 )

або в Герцах

                                      

                                         (24)

3. Визначення вигину лопатки, що закріплена  консольна

Перша форма.

Постійні інтегрування  розрахуємо з використанням першого кореня характеристичного рівняння і системи (18)

      (25)

З перших двох рівнянь цієї системи отримуємо, що

А в третє  і четверте рівняння підставляючи замість  і рівні їм   отримуємо

.

Підставляючи в рівняння (6) значення

і отримані співвідношення постійних інтегрування