Дослідження коливань робочих лопаток ГТД у системі MATLAB

Запишемо формулу  для побудови за першою формою вигину при  коливаннях лопатки постійного перетину у відносних одиницях

, (26)

де  , або в абсолютних розмірах вигин дорівнює .

Значення постійної  інтегрування , де - розмір вигину на кінці лопатки, що отримано при експериментальному вимірюванні.

Тоді залежність для отримання вигину в абсолютних розмірах є:

за 1-ю формою

,              (27)

за 2-ю формою

,             (28)

де  ;

за 3-ю формою

,               (29)

де  ;

за 4-ю формою

,             (30)

де  ;

за 5-ю формою

,               (31)

де  ;

за 6-ю формою

,               (32)

де ;

Координата  змінюється від 0 до l.

Відповідно  до алгоритму, що  визначений, з використанням системи MatLab розроблена програма для побудови 1-ої, 2-ої, 3-ої, 4-ої, 5-ої і 6-ої  форм коливання лопатки, що закріплена  консольна (додаток А).

Результати  побудови 1-ої, 2-ої, 3-ої, 4-ої, 5-ої і 6-ої  форм коливання лопатки, що закріплена  консольна наведені на рис. 2 … 7, відповідно.

Інші форми  коливання можливо аналогічно побудувати.

Рис. 2. Зміни  вигину лопатки, що закріплена консольна за 1-ю формою

Рис. 3. Зміни  вигину лопатки, що закріплена консольна за 2-ю формою

 

Рис. 4. Зміни вигину лопатки, що закріплена консольна за 3-ю формою

 

Рис. 5. Зміни  вигину лопатки, що закріплена консольна за 4-ю формою

 

 

 

 

 

Рис. 6. Зміни вигину лопатки, що закріплена консольна за 5-ю формою

 

Рис. 7. Зміни  вигину лопатки, що закріплена консольна за 6-ю формою

 

 

4. Визначення напруження, що діє в перетинах лопатки

Розрахунок  напруження вигину, що діє в перетинах лопатки, здійснюється з використанням залежності [ 5 ]

                                        

,                                                         (33)

де - момент вигину, що діє в - ому перетині лопатки і розраховується з використанням залежності (9);

     - осьовий момент опіру відносно вісі  розраховується з використанням залежності [5 ]

                                               

,                                                  (34)

- осьовий момент інерції   відносно вісі  розраховується з використанням залежності [ 6 ]

                            

,                                                          (35)

- хорда профіля;

- максимальна товщина профілю;

- максимальний прогин профілю.

- максимальна віддалена точка  поперечного перетину профілю  дорівнює

                                   

.                                                   (36)

Тоді залежність (34) приймає вигляд

                                 

,                                                       (37)     

 

Тоді залежність (33) для розрахунку напруження вигину, що діє в перетинах лопатки, має вигляд

 

 

                                 

.                                         (38) 

5. Дослідження власних частот коливань робочої лопатки 

Розрахувати власні частоти робочої  лопатки турбіни, що виготовлена з жароміцної сталі ЭИ437Б  (густина матеріалу ), має:

радіус корінного перетину профілю ;

радіус кінцевого перетину профілю ;

довжина лопатки ;

площу корінного перетину профілю ;

частоту обертання ротора змінюється від малого газу до максимального режиму ;

температура лопатки  змінюється від малого газу до максимального режиму ;

При визначеній температури лопатки для матеріалу, що використовується для виробництва  лопатки (ЭИ437Б)  за допомогою аналітичної  залежності модуля пружності від  температури у вигляді

,

отримуємо значення  модуля пружності матеріалу на кожному режимі роботи  двигуна;

момент інерції  J_h перетину відносно головної центральної вісі h, що перпендикулярна до площі коливання, для лопаток турбіни визначаються за наближеною залежністю (35) [ 5 ];

максимальна товщина  профілю лопатки ;

хорда профілю лопатки  ;

Використовуючи  значення коренів характеристичного рівняння для лопатки, що коливається і закріплена консольна (21):

  ; ; ;

; ; ,

для 1, 2, 3, 4, 5, 6 форм коливань лопатки, відповідно,  розраховуємо власні частоти коливання лопатки з використанням залежності:

                                                                 

 Відповідно до алгоритму, що  визначений, з використанням системи MatLab розроблена програма для побудови залежності власних частот коливання лопатки від частоти обертання ротора: - для 1-ої, - 2-ої, - 3-ої, - 4-ої, - 5-ої і - 6-ої  форм коливання лопатки, що закріплена  консольна  і частот збудження - для 50 збуджуючих елементів, - для 30 збуджуючих елементів, - для 16 збуджуючих елементів.

 Результати побудови залежності власних частот коливання лопатки від частоти обертання ротора: - для 1-ої, - 2-ої, - 3-ої, - 4-ої, - 5-ої і - 6-ої  форм коливання лопатки, що закріплена  консольна  і частот збудження - для 50 збуджуючих елементів, - для 30 збуджуючих елементів, - для 16 збуджуючих елементів наведені на рис. 8.

За результатами розрахунків власних частот коливання  лопатки і частот збудження від частоти обертання ротора можливо зробити наступні висновок -  у межах частот обертання ротора від режиму малого газу (2000 об/хв.) до максимального (10000 об/хв.) можливі резонансні явища для 5 і 6 форм коливань при 16 збуджуючих елементах, що встановлені в проточної частині двигуна.

 

 

Рис.8. Залежність власних частот коливання лопатки і частот збудження

від частоти  обертання ротора

 

Висновки

 

У роботі наведена методика дослідження коливань лопатки ГТД і програма математичного моделювання у системі MatLab власних та змушених коливань робочої лопатки, що закріплена консольна. 

За результатами математичного моделювання у системі MatLab власних та змушених коливань робочої лопатки ГТД, що закріплена консольна, отримані розміри вигину, кути повороту перетинів, моменти вигину, сили перерізування лопатки  і напруження, що діють  в перетинах лопатки.

Отримані величини дозволяють моделювати вплив різних факторів (матеріалу, форми, умов закріплення та інші) для визначення динамічної міцності конструкції лопатки, шляхом порівняння напружень, що діють при коливаннях лопатки з межовими напруженнями матеріалу і отримання значень коефіцієнтів запасу динамічної міцності лопатки ГТД.

Результати  роботи використовуються в навчальному  процесі при виконанні лабораторних робіт щодо оцінки динамічної міцності робочих лопаток та  можуть бути використані при проектуванні лопаток ГТД і  дослідженні їх  динамічної міцності.

 

Перелік використаних джерел

 

1. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем, ОГИЗ, 1946.
2. Левин А.В. Прочность и вибрация лопаток и дисков паровых турбин, - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1981. – 710 с., ил.
3. Динамика авиационных газотурбинных двигателей / Под ред.. д-ра техн. наук, проф. И.А. Биргера, д-ра техн. наук, проф.Б.Ф. Шорра. – М.: Машиностроение, 1981, 232 с., ил.
4. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. Учебный курс. – СПб.: Питер: Киев.- Издательская группа BHV. – 5121 с.
5. Сопротивление материалов / Под ред. А. Ф. Смирнова.-М.: Высшая школа, 1975.- 480 с.
6. Скубачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. – 5-е изд. М.: Машиностроение, 1981. – 550 с.

 

Додаток А.

Програма математичного  моделювання коливань робочої лопатки ГТД,

що закріплена консольна

% РІШЕННЯ  ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ

x=0:0.01:20;

y1= cos(x);

y21=-cosh(x);

y2=1./y21;

fun = inline('cos(x)*cosh(x)+1.0');

kl=fzero(fun,2 )

k2= fzero(fun,5)

k3=fzero(fun,8 )

k4= fzero(fun,11)

k5= fzero(fun,14)

k6= fzero(fun,17)

 for i=1:2001

k1l(i)=kl;

k2l(i)=k2;

k3l(i)=k3;

k4l(i)=k4;

k5l(i)=k5;

k6l(i)=k6;

 end

plot(x,y1,'g',x,y2,'b',k1l,y1,'--r',k2l,y1,'--r',k3l,y1,'--r',k4l,y1,'--r',k5l,y1,'--r',k6l,y1,'--r')

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

ylim([-1.2,1.2]);

xlim([0,20]);

%  1-а  ФОРМА КОЛИВАНЬ

B1=0.05;

P1=-(cos(kl)+cosh(kl))/(sin(kl)+sinh(kl))

xl=0:0.01:1;

yf1=P1*(sin(kl*xl)-sinh(kl*xl))+cos(kl*xl)-cosh(kl*xl) ;

yf1An=yf1*B1;

yf1Av=-yf1*B1;

figure (2)

plot(xl,yf1An,'--r',xl,yf1Av,'--r')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

xlabel('1-a форма коливань')

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

 % 2-а ФОРМА КОЛИВАНЬ

B2=0.05;

P2=-(cos(k2)+cosh(k2))/(sin(k2)+sinh(k2))

yf2=P2*(sin(k2*xl)-sinh(k2*xl))+cos(k2*xl)-cosh(k2*xl) ;

yf2An=yf2*B2;

yf2Av=-yf2*B2;

figure (3)

plot(xl,yf2An,'--r',xl,yf2Av,'--r')

xlabel('2-a форма коливань')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

%  3-я  ФОРМА КОЛИВАНЬ

B3=0.05;

P3=-(cos(k3)+cosh(k3))/(sin(k3)+sinh(k3))

yf3=P3*(sin(k3*xl)-sinh(k3*xl))+cos(k3*xl)-cosh(k3*xl);

yf3An=yf3*B3;

yf3Av=-yf3*B3;

figure (4)

plot(xl,yf3An,'--r',xl,yf3Av,'--r')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

xlabel('3-я форма коливань')

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

%  4-а  ФОРМА КОЛИВАНЬ

B4=0.05;

P4=-(cos(k4)+cosh(k4))/(sin(k4)+sinh(k4))

yf4=P4*(sin(k4*xl)-sinh(k4*xl))+cos(k4*xl)-cosh(k4*xl);

yf4An=yf4*B4;

yf4Av=-yf4*B4;

figure (5)

plot(xl,yf4An,'--r',xl,yf4Av,'--r')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

xlabel('4-a форма коливань')

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

%  5-а  ФОРМА КОЛИВАНЬ

B5=0.05;

P5=-(cos(k5)+cosh(k5))/(sin(k5)+sinh(k5))

yf5=P5*(sin(k5*xl)-sinh(k5*xl))+cos(k5*xl)-cosh(k5*xl);

yf5An=yf5*B5;

yf5Av=-yf5*B5;

figure (6)

plot(xl,yf5An,'--r',xl,yf5Av,'--r')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

xlabel('5-a форма коливань')

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

%  6-а  ФОРМА КОЛИВАНЬ

B6=0.05;

P6=-(cos(k6)+cosh(k6))/(sin(k6)+sinh(k6))

yf6=P6*(sin(k6*xl)-sinh(k6*xl))+cos(k6*xl)-cosh(k6*xl) ;

yf6An=yf6*B6;

yf6Av=-yf6*B6;

figure (7)

plot(xl,yf6An,'--r',xl,yf6Av,'--r')

axis equal

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

xlabel('6-a форма коливань')

ylim([-0.2,0.2]);

xlim([0,1]);

% РОЗРАХУНОК  ВЛАСНИХ ЧАСТОТ

% МАТЕРІАЛ  ЛОПАТКИ ЭИ696

% ГУСТИНА  МАТЕРИАЛУ, КГ/М3

Rom=8200;

%  ДОВЖИНА  ЛОПАТКИ, М

Llo=0.25;

% ПЛОЩА  ПЕРЕТИНУ ЛОПАТКИ, М2

Flo=0.0005;

% ЧАСТОТА  ОБЕРТАННЯ РОТОРА, ОБ/ХВ

nn=0;

nmg=2000;

nmax=10000;

nm=12000;

nd=nn:1:nm;

nds=nm-nn+1;

for i=1:nds;

  nmg1=nmg;

   nmax1=nmax;

end;

% ТЕМПЕРАТУРА  ЛОПАТКИ НА РЕЖИМІ МГ, С

Tn=600;

% ТЕМПЕРАТУРА  ЛОПАТКИ НА РЕЖИМІ МAX, С

Tm=900;

q=2;

% ТЕМПЕРАТУРА  ЛОПАТКИ НА ВІДПОВІДНОМУ РЕЖИМІ, С

Ti=Tn-(Tn-Tm)*((nd-nn)/(nm-nn)).^q;

% МОДУЛЬ  ПРУЖНОСТІ НА ВІДПОВІДНОМУ РЕЖИМІ

Ei=-78.8889+228388.9.*Ti-abs(21.11112-12611.115.*Ti);

%[nd' Ti' Ei']

% ХОРДА  ПРОФІЛЮ, М

Bpr=0.081;

% МАКСИМАЛЬНА  ТОВЩИНА  ПРОФІЛЮ, М

Cmax=0.016;

% МОМЕНТ  ІНЕРЦІЇ

Jpr=0.038*Bpr^3*Cmax;

flop1=((kl^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

flop2=((k2^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

flop3=((k3^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

flop4=((k4^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

flop5=((k5^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

flop6=((k6^2)/(Llo^2))*((Ei.*Jpr*9.81)/(Flo*Rom)).^0.5;

 %КІЛЬКІСТЬ ЕЛЕМЕНТІВ ПРОТОЧНОЇ ЧАСТИНИ, ЩО ПОРУШУЮТЬ ОДНОРОДНІСТЬ ПОТОКУ

nz1=50;

nz2=30;

nz3=16;

fv1=nd.*nz1;

fv2=nd.*nz2;

fv3=nd.*nz3;

figure (8)

plot(nd,flop1,'c',nd,flop2,'m',nd,flop3,'g',nd,flop4,'b',nd,flop5,'k',nd,flop6,'r',nd,fv1,'--r',nd,fv2,'--r',nd,fv3,'--r',nmg1,fv1,'r',nmax1,fv1,'r',3039,4.862e+004,'bo',2000,3.25e+004,'bo')

grid on

set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',14);

ylabel('f, Гц')

xlabel('частота обертання ротора, об/хв')

ylim([0,60000]);

xlim([0,12000]);