Погрешности измерительных преобразователей

- Оценка случайных погрешностей

     Задача состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным путем результатам наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины — результат измерения. Будем полагать, что систематические погрешности в результатах наблюдений отсутствуют или исключены. К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку. Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в рамках законодательной метрологии. Распределения погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания Х_ц, т.е. центра симметрии распределения случайной погрешности (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятое в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала, симметричного относительно результата измерения (Хц ± DХ:). Координата Хц может быть найдена несколькими способами. Наиболее общим является определение центра симметрии из принципа симметрии вероятностей, т.е. нахождение такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют Р1 = Р2 = 0,5. Такое значение Хц называется медианой. Координата Хц может быть определена и как центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины. При асимметричной кривой плотности распределения вероятностей оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности. Однако есть распределения, у которых не существует моды (например, равномерное), и распределения, у которых не существует математического ожидания. В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределением плотности вероятностей. Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок и в целях обеспечения единства измерений, правила обработки результатов наблюдений обычно регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями). Так, в стандарте на методы обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями указывается, что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению.

Законы распределения

     Пусть некоторая случайная величина (СВ) является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.

    Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

     При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели). Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения. Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности, либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

- Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

     Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем. Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

P(X= k) = , где k=0,1,…n

Формулу  называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний  биномиальное распределение стремиться к нормальному.

- Распределение Пуассона

     Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.). Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т. Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит

P(Z=k) =

- Нормальное (гауссовское) распределение

     Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений. Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

где совпадает с математическим ожиданием величины Х: =М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s =s(Х). График функции нормального распределения, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; ). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох. Нормальное распределение с параметрами =0 и s=1 называется нормированным. Функция распределения СВ в этом случае будет иметь вид:

.

     Эта кривая при μ=0, σ=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой. Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, что не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.

- Равномерное распределение

     Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:

,  где N – количество возможных значений СВ.

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все  свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности  на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

 

- Распределение Стьюдента

     Это распределение связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пьезоэлектрические  и магнитоупругие датчики динамических величин: принцип действия и характеристики.

Пьезоэлектрические  преобразователи

     Пьезоэлектрические преобразователи - преобразователи генераторного типа. Принцип действия их основан на явлении пьезоэлектричества, характерного для определенного класса кристаллов, не имеющих центра симметрии. Пьезоэлектрические кристаллы обладают прямым пьезоэффектом, заключающимся в появлении поляризации при действии давления, и обратным, заключающимся в том, что кристаллы деформируются в электрическом поле. На использовании прямого пьезоэффекта строятся преобразователи усилий, ускорений, давлений; обратного - вибраторы, ультразвуковые излучатели и другие устройства. В пьезоэлектрических трансформаторах и преобразователях на их основе используется совместное действие прямого и обратного пьезоэффектов. В настоящее время получено большое число пьезоэлектрических материалов, которые подразделяют на две основные группы: пьезоэлектрические монокристаллы и поликристаллические материалы или пьезокерамика. Среди монокристаллических пьезоэлектриков особое место занимает кварц. Он обладает высокими значениями добротности и стабильности характеристик. Недостаток кварца — низкое значение диэлектрической проницаемости и коэффициента электромеханической связи, что ограничивает его применение в пьезоэлектрических преобразователях некоторых типов. В последнее время широкое применение находят искусственно выращиваемые монокристаллы ниобита лития, германата висмута и силиката висмута, которые имеют более высокие значения коэффициента электромеханической связи и диэлектрической проницаемости по сравнению с кварцем. Кроме того, ниобит лития обладает очень высокой температурой Кюри, а германосилиниты не имеют температуры фазового перехода, поэтому они успешно используются в условиях высоких температур. Пьезокерамические материалы получены трех разновидностей: титанат бария, соединения ниобата свинца и соединения цирконата, титаната свинца. Пьезокерамика имеет высокие значения пьезоэлектрических характеристик. Вместе с тем пьезо-элементы из пьезокерамики дешевы в изготовлении и технологичны. Недостатки пьезокерамики - более низкие по сравнению с монокристаллами временная и температурная стабильности. Пьезоэлектрический преобразователь в обычном исполнении представляет собой пьезоэлектрическую пластинку, к электродам которой подключен вольтметр, а к граням прикладывается измеряемое усилие (рис.2).

Рис.2 Пьезоэлектрический преобразователь динамических усилий

 

     Такие преобразователи применяют только для измерения динамических усилий и не применяют для измерения статических и медленно меняющихся нагрузок. В системах автоматики промышленных производств приходится иметь дело, как правило, с медленно изменяющимися технологическими параметрами, поэтому они не нашли широкого применения в промышленности. Воздействие на преобразователь измеряемой величины осуществляется следующими способами: изменением размеров, плотности и упругих свойств самого пьезоэлемента, а также изменением акустического сопротивления (импеданса) среды, контактирующей с пьсэоэлементом, которое определяется ее плотностью, скоростью звука, контактной жесткостью и площадью контакта пьезоэлемента со средой.

     В зависимости от вида воздействия на преобразователь измеряемой величины существуют различные виды пьезоэлектрических преобразователей статических нагрузок. На основе изменения размеров, плотности и упругих свойств пьезоэлемента от воздействия измеряемой величины строятся тензочувствитсльные, термочувствительные и масс-чувствительные преобразователи. На основе изменения акустического сопротивления среды, контактирующей с пьезоэлементом, строятся пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом. Выходной сигнал тензочувствительных, термочувствительных и масс-чувствительных преобразователей - изменение частоты колебаний автогенератора, в частотозадающую цепь которого включен резонатор (рис. 3).

Рис.3 Схема включения тензочувствительных пьезоэлектрических преобразователей.

     Пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом строят на основе пьезоэлектрических резонаторов и пьезоэлектрических трансформаторов. Об измеряемом усилии судят либо по изменению тока в цепи пьезорезонатора либо по изменению выходного напряжения или сдвига фаз между входным и выходным напряжениями пьезотрансформатора. Пьезорезонаторы и пьезотрансформаторы включаются также в частотозадающую цепь автогенератора. В этом случае об измеряемом усилии судят по изменению частоты колебаний или напряжения на выходе автогенератора. Измеряемая нагрузка прикладывается либо непосредственно к пьезорезонатору или пьезотрансформатору, либо к сочлененному с ними акустическому чувствительному элементу. В первом случае преобразователи называют контактными преобразователями, во втором - преобразователями с акустическими чувствительными элементами. Пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом применяют для измерения широкого круга механических величин, параметров жидкостей и газов, а также электрических и магнитных величин.