Система массового обслуживания(СМО).Марковский случайный процесс. СМО с отказами

(22)

 

 

 

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью  , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону   мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

 

Решение. Имеем   (1/ч),   мин. Интенсивность потока обслуживании  (1/мин)=30  (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО  , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит  =0,75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) 

=90*0.25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

 

 

 

 

 

 

Многоканальная  система (СМО) с отказами.

 

Рассмотрим классическую задачу Эрланга. Имеется   каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью  . Поток обслуживании имеет интенсивность  . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

 

Система   (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе):  , где   — состояние системы, когда в ней находится   заявок, т.е. занято  каналов.

 

Граф состояний СМО  соответствует процессу гибели и  размножения и показан на рис. 7.

 

 

Поток заявок последовательно  переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с  одной и той же интенсивностью  . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии   (два канала заняты), то она может перейти в состояние   (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет  . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния   (три канала заняты) в  , будет иметь интенсивность  , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

 

В формуле (16) для схемы  гибели и размножения получим  для предельной вероятности состояния

 

(23)

 

где члены разложения  , будут представлять собой коэффициенты при   в выражениях для предельных вероятностей  . Величина

 

(24)

 
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь 

(25)

 

(26)

 

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

 

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что  все я каналов системы будут  заняты, т.е.

 

(27)

 

Относительная пропускная способность  — вероятность того, что заявка будет обслужена:

 

(28)

 

 

 

 

Абсолютная пропускная способность:

 

(29)

 

Среднее число занятых  каналов   есть математическое ожидание числа занятых каналов:

 

 
где   — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26). 
 

Однако среднее число  занятых каналов можно найти  проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы   есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем   заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

 

(30)

или, учитывая (29), (24):

(31)

 

 

 

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

 

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25)  , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора   мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

 

Будем постепенно увеличивать  число каналов (телефонных номеров)   и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при  имеем

и т.д.

 

Значение характеристик  СМО сведем в табл. 1.

 

По условию оптимальности  , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае   — см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок  , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30)  .

 

 

 

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

 

Решение. По условию   (1/ч),  =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании  . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24)  . Найдем предельные вероятности состояний:

 

– по формуле (25)  ;

 

– по формуле (26)  ;

 
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной  заявки, 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени — три  заявки (заняты три ЭВМ). 
 

Вероятность отказа (когда  заняты все три ЭВМ), таким образом,  .

 

По формуле (28) относительная  пропускная способность центра  , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

 

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра  , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

 

По формуле (30) среднее  число занятых ЭВМ  , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на  .

 

При оценке эффективности  работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих  ЭВМ (с одной стороны, у нас  высокая пропускная способность  СМО, а с другой стороны — значительный простой каналов обслуживания) и  выбрать компромиссное решение.

 

 

 

Список используемой литературы.   

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В., Федосеев В.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели:  
     Учебное пособие для вузов -2-е изд. Переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям. Рекомендовано Учебно-методическим центром "Профессиональный учебник" в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям М.: ЮНИТИ-ДАНА.-2005 
 
     2. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование:  
     Практическое пособие по решению задач. М.: Вузовский учебник, 2006. 
 
     3. Экономико-математические методы и прикладные модели. Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. Для студентов III курса по специальностям 060400 -"Финансы и кредит" и 060500 - "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". М: ВЗФЭИ, 2004.  
 
     4. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде ЕХСЕL / Практикум:  
     Учебное пособие для вузов. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям М.:ЗАО Финстатинформ, 2002 
 
     5. Половников В.А., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Федосеев В.В., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели:  
     Учебное пособие для вузов. Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям М.: ЮНИТИ, 2000.

6.Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2001.