Статистические методы изучения взаимосвязей социально-экономических явлений

Пример 2

Группы банков по размеру кредитных вложений, млн. руб.	Группы банков по сумме прибыли, млн.   руб.
	6,2 – 27,2	27,2 – 48,2	48,2 – 69,2	69,2 – 90,2	Итого
40 – 90	2	1			3
90 – 140	2	2	2		6
140 – 190		2	10	0	12
190 – 240			2	7	9
Итого	5	5	5	15	30

 Анализ данных корреляционной таблицы показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между объемом кредитных вложений и суммой прибыли банков.

IV Метод аналитических группировок. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода нужно произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и для каждой группы вычислить среднее значение результативного признака. Сопоставляя изменения результативного признака по мере изменения факторного, выявляют направление, характер и тесноту связи между ними с помощью эмпирического корреляционного отношения.

Эмпирическое корреляционное отношение  вычисляется на основе данных комбинационной таблицы, содержащих группировку значений показателя  y в зависимости от значений x по формуле:

 

 

 

Эмпирическое корреляционное отношение  показывает степень влияния на вариацию результативного показателя y изменения показателя x, положенного в основу аналитической группировки (в основу построения корреляционной таблицы). Эмпирическое корреляционное отношение  изменяется в пределах от 0 до 1. Для аналитической характеристики степени связи можно использовать шкалу Чэддока, которая представлена в таблице:

Значение эмпирического  корреляционного отношения	Характеристика  связи
0	Нет связи
0 – 0,3	Слабая
0,3 – 0,5	Умеренная
0,5 – 0,7	Заметная
0,7 – 0,9	Тесная
0,9 – 0,999	Почти функциональная
1	Функциональная

 

Метод аналитических группировок не позволяет определить форму (аналитическое выражение) влияния факторных переменных на результативные

3. Корреляционно-регрессионный метод анализа. Уравнение регрессии как форма аналитического выражения статистической связи.

Корреляционный  анализ и регрессионный анализ являются смежными разделами математической статистики, и предназначаются для изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин; некоторые из которых являются случайными. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму. Итак, корреляционно-регрессионный метод анализа включает:

1) Корреляционный анализ – количественное определение тесноты связи между факторным (факторными) и результативным признаками, осуществляемое с помощью показателей корреляции.

2) Регрессионный анализ – определение теоретического выражения связи между признаками (построение уравнения регрессии), т.е. нахождение математической функции, описывающей зависимость результативного показателя Y, от наиболее значимых факторных Х. Эта функция выполняет роль модели, которая аналитически выражает зависимость условного среднего значения  результативного признака от факторных переменных .

4. Методика построения однофакторных регрессионных моделей.

Наиболее разработанной  в теории статистики является методология парной корреляции. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).

Важным этапом регрессионного анализа является определение  типа функции, с помощью которой  характеризуется зависимость между признаками. Наиболее часто для характеристики связей экономических явлений используют следующие типы функций:

Линейная:
Гиперболическая:
Параболическая:
Степенная:

Рассмотрим пример построение линейного уравнения парной регрессии.

По 20 партиям деталей была установлена величина среднего времени межоперационных перерывов между двумя смежными технологическими операциями и величина средней занятости рабочего места выполнением одной операции.

№ партии	Средняя занятость рабочего места	Среднее время межоперационного перерыва, ч, у
1	0,22	1,46
2	0,22	1,12
3	0,22	1,18
4	0,324	0,82
5	0,24	1,26
6	0,24	0,90
7	0,24	1,02
8	0,24	1,08
9	0,26	0,57
10	0,26	1,37
11	0,26	0,69
12	0,30	0,80
13	0,30	0,61
14	0,30	0,95
15	0,30	0,73
16	0,32	0,50
17	0,32	0,37
18	0,32	0,47
19	0,32	0,32
20	0,32	0,36
Итого	5,44	16,58

Построим поле корреляции:

В рассматриваемом  примере теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением прямой: ;

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов.

Критерий методов наименьших квадратов можно записать таким  образом:

т. к. , то

После преобразований с используем частных производных получим систему нормальных уравнений для определения параметров а и b уравнения линейной корреляционной связи:

Для определения параметров а и b уравнения линейной корреляционной связи построим вспомогательную таблицу:

№ партии	Средняя занятость рабочего места	Среднее время меж- операционного перерыва, ч, у	x2	xy
1	0,220	1,460	0,048	0,321
2	0,220	1,120	0,048	0,246
3	0,220	1,180	0,048	0,260
4	0,324	0,820	0,105	0,266
5	0,240	1,260	0,058	0,302
6	0,240	0,900	0,058	0,216
7	0,240	1,020	0,058	0,245
8	0,240	1,080	0,058	0,259
9	0,260	0,570	0,068	0,148
10	0,260	1,370	0,068	0,356
11	0,260	0,690	0,068	0,179
12	0,300	0,800	0,090	0,240
13	0,300	0,610	0,090	0,183
14	0,300	0,950	0,090	0,285
15	0,300	0,730	0,090	0,219
16	0,320	0,500	0,102	0,160
17	0,320	0,370	0,102	0,118
18	0,320	0,470	0,102	0,150
19	0,320	0,320	0,102	0,102
20	0,320	0,360	0,102	0,115
Итого	5,524	16,580	1,555	4,372
Среднее значение	0,276	0,839

уравнение линейной регрессии имеет вид:

Экономическая интерпретация параметров регрессии

Параметр b в уравнении называют коэффициентом регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной - коэффициент регрессии отрицательный.

Коэффициент регрессии  показывает, насколько в среднем  изменится величина результативного признака y при изменении факторного признака x на единицу.

Коэффициент регрессии применяют для определения коэффициента эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменится величина результативного признака Y при изменении признака - фактора Х на один процент.

Для определения  коэффициента эластичности используется формула:

Это означает, что  при расчете средней занятости  рабочего места на 1% величина межоперационных  перерывов снизится на 2,223%.

Этот вывод  справедлив только для изучаемой  совокупности. Если же данная совокупность и приведенные условия типичны, то коэффициент регрессии может  быть использован для нормирования и планирования распределения времени занятости рабочих мест и межоперационных перерывов между двумя смежными технологическими операциями

Оценка значимости параметры регрессии

Значение корреляционной зависимости между двумя переменными  имеет существенное практическое значение, т. к. дает возможность составить прогноз значений результирующего признака в предположении, что признак - фактор имеет определенное значение. Однако, если анализ на ограниченной по объему совокупности, то необходимо убедиться, что полученные параметры регрессии статистически значимы.

Для определения значимости коэффициентов линейной регрессии, при объеме совокупности n < 30 используют t-критерий Стьюдента. Вычисляются фактические значения t-критерия:

Для а       

Для b        

Где n – объем выборки и

 

 

 

Фактические значения t-критерия сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице Стьюдента, с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы v = n – 2.

Параметр признается значимым, если 

Проверим значимость коэффициентов регрессии в нашем  примере. Проведем дополнительные вычисления в таблице:

№ партии	Средняя занятость рабочего места	Среднее время межопера- ционного перерыва, ч, у
1	0,220	1,460	0,0674	0,0032
2	0,220	1,120	0,0065	0,0032
3	0,220	1,180	0,0004	0,0032
4	0,324	0,820	0,0988	0,0023
5	0,240	1,260	0,0373	0,0013
6	0,240	0,900	0,0278	0,0013
7	0,240	1,020	0,0022	0,0013
8	0,240	1,080	0,0002	0,0013
9	0,260	0,570	0,1319	0,0003
10	0,260	1,370	0,1908	0,0003
11	0,260	0,690	0,0591	0,0003
12	0,300	0,800	0,0180	0,0006
13	0,300	0,610	0,0031	0,0006
14	0,300	0,950	0,0807	0,0006
15	0,300	0,730	0,0041	0,0006
16	0,320	0,500	0,0010	0,0019
17	0,320	0,370	0,0264	0,0019
18	0,320	0,470	0,0039	0,0019
19	0,320	0,320	0,0451	0,0019
20	0,320	0,360	0,0297	0,0019
Итого	5,524	16,580	0,8344	0,0296
Среднее значение	0,276	0,839	0,0417	0,0015

 

 

 

     .  (при α = 0,05)

Оба параметра  признаются значимыми, т.е. отклоняется  гипотеза о том, что каждый из этих параметров равен нулю.

Проверка адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом, для этого определяют тесноту связи между переменными x и y .

5. Применение линейного коэффициента корреляции, индекса корреляции, теоретического корреляционного отношения, коэффициента детерминации в анализе качества однофакторной регрессионной модели.

 

Теоретическое корреляционное отношение, представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выровненных результативного признака, со средним квадратическим отклонением эмпирических значений результативного признака:

 

 

 

 

 

 

Рассчитаем  теоретическое корреляционное отношение  для нашего примера, проведя дополнительные вычисления в таблице:

№ партии	Средняя занятость рабочего места	Среднее время межопера- ционного перерыва, ч, у
1	0,220	1,460	0,138	0,398
2	0,220	1,120	0,138	0,085
3	0,220	1,180	0,138	0,123
4	0,324	0,820	0,105	0,000
5	0,240	1,260	0,057	0,186
6	0,240	0,900	0,057	0,005
7	0,240	1,020	0,057	0,036
8	0,240	1,080	0,057	0,063
9	0,260	0,570	0,011	0,067
10	0,260	1,370	0,011	0,293
11	0,260	0,690	0,011	0,019
12	0,300	0,800	0,027	0,001
13	0,300	0,610	0,027	0,048
14	0,300	0,950	0,027	0,015
15	0,300	0,730	0,027	0,010
16	0,320	0,500	0,088	0,108
17	0,320	0,370	0,088	0,211
18	0,320	0,470	0,088	0,129
19	0,320	0,320	0,088	0,259
20	0,320	0,360	0,088	0,220
Итого	5,524	16,580	1,3233	2,2756
Среднее значение	0,276	0,839	0,0662	0,1138