Методы принятия решений в условиях риска и неопределенности

 

 

Таблица 4 –  Ежегодные переменные затраты пропорционально  числу

проданных автомобилей

Наименование  затрат	Количество  автомобилей
	100	200	300	400	500
1. Транспортировка  с месту продажи	460,0	920,0	1380,0	1840,0	2300,0
2. Гарантийное обслуживание	510,0	1020,0	1530,0	2040,0	2550,0
Итого	970,0	1940,0	2910,0	3880,0	4850,0

 

Таблица 5 –  Доходы от продажи автомобилей

 

Количество  автомобилей	100	200	300	400	500
Доходы	3000	6000	9000	120000	15000

 

Таблица 8 –  Распределение спроса

 

Спрос на автомобили	0	100	200	300	400	500
Вероятность	0,1	0,05	0,03	0,32	0,25	0,25

 

Выбрать лучший проект легкового автомобиля для  производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа, «Линейная  комбинация математического ожидания и дисперсии», анализ чувствительности, формализованное описание неопределенности, имитационную модель оценки риска проекта.

 

Решение:

На основании  этих данных можно построить таблицу  ежегодного дохода для различных  значений числа произведенных (S) и числа проданных (R) автомобилей.

 

Таблица 6 - Ежегодный  доход для различных значений числа произведенных (S) и числа проданных (R) автомобилей

Доходы, тыс.руб.	R = 0	R = 100	R = 200	R = 300	R = 400	R = 500
S = 200	-1750,0	280,0	2310,0	2310,0	2310,0	2310,0
S = 300	-3430,0	-1400,0	630,0	2660,0	2660,0	2660,0
S = 400	-5110,0	-3080,0	-1050,0	980,0	3010,0	3010,0
S = 500	-6790,0	-4760,0	-2730,0	-700,0	1330,0	3360,0

 

0 – (70,0 + 1680,0) = -1750,0 тыс.руб. – затраты при S = 200 и R = 0;

0 – (70,0 + 3360,0) = - 3430,0 тыс.руб. – затраты при S = 300 и R = 0;

0 – (70,0 + 5040,0) = - 5110,0 тыс.руб. – затраты при S = 400 и R = 0;

0 – (70,0 + 6720,0) = - 6790,0 тыс.руб. – затраты при S = 300 и R = 0;

3000,0 – (70,0 + 1680,0 + 970,0) = 280,0 тыс.руб. – доход при S = 200 и            R = 100;

3000,0 – (70,0 + 3360,0 + 970,0) = - 1400,0 тыс.руб. – доход при S = 300 и       R = 100;

3000,0 – (70,0 + 5040,0 + 970,0) = - 3080,0,0 тыс.руб. – доход при S = 400 и     R = 100;

3000,0 – (70,0 + 6720,0 + 970,0)= - 4760,0 тыс.руб. – доход при S = 500 и        R = 100;

6000,0 – (70,0 + 1680,0 +1940,0) = 2310,0 тыс.руб. – доход при S = 200 и         R = 200;

6000,0 – (70,0 + 3360,0 +1940,0) = 630,0 тыс.руб. – доход при S = 300 и           R = 200;

6000,0 – (70,0 + 5040,0 +1940,0) = -1050,0 тыс.руб. – доход при S = 400 и       R = 200;

6000,0 – (70,0 + 6720,0 +1940,0) = -2730,0 тыс.руб. – доход при S = 500 и       R = 200;

9000,0 – (70,0 + 3360,0 +2910,0) = 2660,0 тыс.руб. – доход при S = 300 и         R = 300;

9000,0 – (70,0 + 5040,0 +2910,0) = 980,0 тыс.руб. – доход при S = 400 и           R = 300;

9000,0 – (70,0 + 6720,0 +2910,0) = -700,0 тыс.руб. – доход при S = 500 и         R = 300;

12000,0 – (70,0 + 5040,0 +3880,0) = 3010,0 тыс.руб. – доход при S = 400 и R = 400;

12000,0 – (70,0 + 6720,0 +3880,0) = 1330,0 тыс.руб. – доход при S = 500 и       R = 400;

15000,0 – (70,0 + 6720,0 +4850,0) = 3360,0 тыс.руб. – доход при S = 500 и       R = 500;

1) Критерий Лапласа опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому различным состояниям природы R можно приписать равные вероятности наступления 1 / j. При этом, исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие S_i, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решений вычисляют математическое ожидание (среднее арифметическое значение) выигрыша М_j.

В нашем примере  состояний природы 6, следовательно, вероятность 1/6.

                                    

где   Д_i – значение полезности;

p_i – соответствующие вероятности,

n – число  состояний природы.

Среди выигрышей M_i выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии S_i. Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков (потерь), то среди M_i выбирают минимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии S_i.

Д_{вер 200} = 1/6 ∙ (-1750,0 + 280,0 + 2310,0 ∙ 4) = 1295,0 тыс.руб.;

Д_{вер 300} = 1/6 ∙ (-3430,0 – 1400,0 + 630,0 + 2660,0 ∙ 3) = 630,0 тыс.руб.;

Д_{вер 400} = 1/6 ∙ (-5110,0 – 3080,0 – 1050,0 + 980,0 + 3010,0 ∙ 2) = - 373,33 тыс.руб.;

Д_{вер 500} = 1/6 ∙ (- 6790,0 – 4760,0 – 2730,0 – 700,0 + 1330,0 + 3360,0) =            - 1715,0 тыс.руб.

Руководствуясь критерием Лапласа, фирма должна выбрать производство 200 автомобилей, т.к. эта стратегия обеспечивает наибольший ожидаемый доход.

2) Критерий Вальда. Субъект, принимающий решение,  избирает чистую стратегию, гарантирующую  ему наилучший (максимальный) вариант  из всех наихудших (минимальных)  возможных исходов действия по  каждой стратегии.

Для определения  оптимальной стратегии S₂ в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {x_ij}, а затем выбирается действие S_i, которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов.

W = max [min x_ij] → S₂,

где   W – решение

S₂ – максиминная стратегия, так как при любом состоянии внешних

факторов результат  будет не хуже, чем W.

Аналогичным образом  выводится минимаксная стратегия  для противопо-ложной стороны или  при минимизации исследуемой  на рисковость величины (если в исходной матрице результат представляют потери ЛПР).

Находим в матрице  ежегодного дохода (таблица 6) минимальные  значения по каждой строке (соотв. столбцу R = 0: -1750,00 тыс.руб., -3430,0 тыс.руб, -5110,0 тыс.руб., -6790,0  тыс.руб.), из этих значений выбираем наибольшее (- 1750,0 тыс.руб.)

Руководствуясь критерием Вальда, фирма выберет производство 200 автомобилей, гарантирующее убыток не более 1750,0 тыс.руб.

Максиминная (минимаксная) оценка по критерию Вальда является един-ственной абсолютно надежной при принятии решений в условиях неопределенности. Однако, решение, получаемое при этом, является самым пессимистичным. Возникает риск упущенной выгоды в случае более благоприятного хода событий.

3) Критерий Гурвица.  При выборе решения из двух  крайностей, связанных с пессимистической  оценкой по критерию Вальда и оптимистической оценкой по критерию Лапласа разумнее придерживаться промежуточной позиции. В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей:

x_i = α ∙ min x_ij + (1 – α) ∙ max x_ij → S₃,

где   x_i – линейная комбинация минимального и максимального выигрышей;

α – показатель оптимизма-пессимизма, принимающий  значение от 0 до 1

включительно.

W = max [α ∙ min x_ij + (1 – α) ∙ max x_ij]

При α = 1 получаем критерий Вальда, при α = 0 – максимаксный критерий «здорового оптимизма».

В нашем примере  примем α = 0,5.

х₂₀₀ = 0,5 ∙ (-1750,0) + 2310,0 ∙ 0,5 = 280,0 тыс.руб.

х₃₀₀ = 0,5 ∙ (-3430,0) + 2660,0 ∙ 0,5 = -385,0 тыс.руб.

х₄₀₀ = 0,5 ∙ (-5110,0) + 3010,0 ∙ 0,5 = -1050,0 тыс.руб.

х₅₀₀ = 0,5 ∙ (-6790,0) + 3360,0 ∙ 0,5 = -1715,0 тыс.руб.

Согласно критерию Гурвица  при α = 0,5 предпочтительнее вариант производства 200 автомобилей, так как он обеспечивает максимальное значение показателя оптимизма-пессимизма 280,0 тыс.руб.

4) Критерий Сэвиджа.  Чтобы оценить, насколько то  или иное состояние природы  влияет на исход, в соответствии  с критерием Сэвиджа вводится показатель риска r_ij, определяемый как разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы (R_j) и выигрышем при выбранной стратегии(S_i): Если исходная матрица – матрица потерь, то r_ij – разность между потерями при выбранной стратегии(S_i) и минимально возможными потерями.

r_ij = β_j – х_ij,

где   r_ij – показатель риска;

β_j – максимально возможный выигрыш;

х_ij – выигрыш при выбранной стратегии.

На этой основе строят матрицу  рисков, которая показывает сожаление  между действительным выбором и наиболее благоприятным, если бы были известны намерения природы. Затем выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации:

При R = 0 максимально  возможный выигрыш составит – 1750,0 тыс.руб.

r₁₁ = -1750,0 – (-1750,0) = 0

r₂₁ = - 1750,0 – (-3430,0) = 1680.0;

r₃₁ = - 1750,0 – (-5110,0) = 3360,0;

r₄₁ = - 1750,0 – (-6790,0) = 5040,0;

При R = 100 максимально возможный выигрыш 280,0 тыс.руб.

r₁₂ = 280,0 – 280,0 = 0;

r₂₂ = 280,0 – (-1400,0) = 1680,0 тыс.руб.;

r₃₂ = 280,0 – (-3080,0) = 3360,0 тыс.руб.;

r₄₂ = 280,0 – (-4760,0) = 5040,0 тыс.руб.;

При R = 200 максимально  возможный выигрыш 2310,0 тыс.руб.

r₁₃ = 2310,0 – 2310,0 = 0;

r₂₃ = 2310,0 – 630,0 = 1680,0 тыс.руб.;

r₃₃ = 2310,0 – (-1050,0) = 3360,0 тыс.руб.;

r₄₃ = 2310,0 – (-2730,0) = 5040,0 тыс.руб.;

при R = 300 максимально возможный выигрыш 2660,0 тыс.руб.

r₁₄ = 2660,0 – 2310,0 = 350,0 тыс.руб.;

r₂₄ = 2660,0 – 2660,0 = 0;

r₃₄ = 2660,0 – 980,0 = 1680,0 тыс.руб.;

r₄₄ = 2660,0 – (-700,0) = 3360,0 тыс.руб.;

при R = 400 максимально  возможный выигрыш 3010,0 тыс.руб.

r₁₅ = 3010,0 – 2310,0 = 700,0 тыс.руб.;

r₂₅ = 3010,0 – 2660,0 = 350,0 тыс.руб.;

r₃₅ = 3010,0 – 3010,0 = 0;

r₄₅ = 3010,0 – 1330,0 = 1680,0 тыс.руб.;

при R = 500 максимально возможный выигрыш 3360,0 тыс.руб.

r₁₆ = 3360,0 – 2310,0 = 1050,0 тыс.руб.;

r₂₆ = 3360,0 – 2660,0 = 700,0 тыс.руб.;

r₃₆ = 3360,0 – 3010,0 = 350,0 тыс.руб.;

r₄₆ = 3360,0 – 3360,0 = 0;

 

Таблица 7 –  Определение функции риска

Состояние R     Стратегия S	Величина риска						max {rij}	S = min max {rij}
	0	100	200	300	400	500
S = 200	0	0	0	350,0	700,0	1050,0	1050,0	-
S = 300	1680,0	1680,0	1680,0	0	350,0	700,0	700,0	-
S = 400	3360,0	3360,0	3360,0	1680,0	0	350,0	350,0	350,0
S = 500	5040,0	5040,0	5040,0	3360,0	1680,0	0	5040,0	-

 

По критерию Сэвиджа фирма выберет производство 400 автомобилей и будет иметь сожаление не больше, чем 350,0 тыс.руб.

 

Оценка различных  вариантов стратегии по критерию «линейная комбинация математического  ожидания и дисперсии»

 

Таблица 8 –  Распределение спроса

Спрос на автомобили	0	100	200	300	400	500
Вероятность	0,1	0,05	0,03	0,32	0,25	0,25