Основы теории надежности и диагностика

Плотность распределения f(t) имеет размерность, обратную размерности случайной величины Т (наработки до отказа), т. е км^-1, мото-час^-1, машино-час^-1 и т. д.

В теории надежности важное значение имеет величина, характеризующая скорость, с которой наступает то или иное случайное событие. Эта величина называется интенсивностью событий. Она определяет вероятность появления событий за определенный промежуток времени Δt при улови, что это событие произошло до момента наблюдения t, и поэтому является условной вероятностью. Поскольку интересующим нас случайным событиям является отказ, то применительно к свойству безотказности целесообразно использовать показатель интенсивности отказов, то есть условную плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени (наработки) при условии, что до этого времени отказ не возник.

Интенсивность отказов λ(t) определяется отношением

,  (29)

и имеет размерность, аналогичную размерности плотности  распределения f(t), но в ряде случаев, возможно для большей информативности, размерность λ(t) записывают в виде: отказ/км, отказ/мотто-час и т. д.

Необходимо отметить, что, несмотря на разнообразие машин, и условий их работы, формирование показателей надежности происходит по общим законам, подчиняется единой логике событий, и раскрытие этих связей является основой для оценки, расчета и прогнозирования надежности.

Получим выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов. Для этого в предыдущее выражение подставим: , разделим переменные и проведем интегрирование

;    ; 

 (30)

Это соотношение является одним из основных уравнений теории надежности.

3.2. Нормальный  закон распределения и его  параметры

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории надежности и занимает среди других законов распределения особое положение.

Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

В теории вероятностей доказывается, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше количество случайных величин суммируются.

Нормальный закон распределения  хорошо описывает влияния, в которых действуют много случайных факторов, ни один из которых не является превалирующим. Например, в теории надежности нормальный закон хорошо согласуется с такими процессами, при которых отказы вызываются многими равно влияющими причинами.

Плотность распределения f(t) нормального закона при этом имеет вид

,  (31)

где m_t – математическое ожидание наработки до отказа, ч; σ_t – среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа, ч; t – текущее значение времени (наработки), ч.

Кривая распределения  наработки до отказа по нормальному  закону имеет симметричный холмообразный вид (рис. 7, а). Максимальная ордината кривой, равная 1/(σ_t∙ ), соответствует точке t = t_ср = m_t; по мере удаления от точки m_t плотность распределения падает, и при t → ±∞ кривая асимптотически приближается у оси абсцисс.

Как видно из выражения (3.8), нормальное распределение является двухпараметрическим и зависит от математического ожидания m_t и СКО σ_t.

Математическое ожидание m_t характеризует положение распределения на оси абсцисс, т. е. указывает некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины Т. Если изменять математическое ожидание m_t, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рис. 7, б). Размерность математического ожидания m_t – та же, что и размерность случайной величины Т.

Среднее квадратичное отклонение (СКО) σ_t характеризует не положение, а форму кривой распределения (рис. 7, в). Это и есть характеристика рассеивания. Изменение параметра σ_t равносильно изменению масштаба кривой распределения – увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой. Размерность параметра σ_t также совпадает с размерностью случайной величины Т, что делает параметр σ_t более предпочтительным, чем другой параметр рассеивания – дисперсия Dt:

Dt = σ_t², (32)

Для нормального  закона распределения часто используют правило «3 – х сигма», которое  гласит, что для нормального распределения  случайной величины все рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке m_t ± 3σ_t (рис. 3.3, а).

Определим вероятность  отказа F(t) и вероятность безотказной работы Р(t) для - ∞ ≤ t ≤ + ∞, используя выражения (3.4), (3,5) и (3,8):

 (33)

 (34)

Однако вычислить  интегралы в (3.9) и (3.10) в замкнутом виде нельзя, поэтому необходимо сделать переменной в подынтегральном выражении. Введем центрированную нормированную случайную величину χ квантиль

χ = , (35)

которая также  распределена по нормальному закону с плотностью

φ(χ) = , (36)

После замены переменной в выражении для функции  распределения наработки до отказа (3.9) имеем

,  (37)

Вычислить этот интеграл можно через специальную  функцию - интеграл вероятностей, одной из разновидностей которого является нормальная функция распределения

,  (3.14)

Нетрудно  видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию  распределения для нормального  распределенной случайной величины Т (3.13) с параметрами m_t = 0 и σ_t =1 (D_t = 1).

Таким образом, можно выразить функцию распределения  наработки до отказа F(t) с заданными параметрами m_t и σ_t через нормальную функцию распределения F₀(χ). Очевидно,

,  (38)

. (39)

Необходимо  отметить, что область случайной  величины Т, распределенной по нормальному закону, определяется диапазоном (- ∞, + ∞). Но в большинстве технических задач определение ВБР и интенсивности отказов в диапазоне от - ∞ до t является операцией некорректной, т. к. в большинстве случаев как наработка t, так и другие параметры (m_t, σ_t и D_t) положительны. Поэтому более точным является использование усеченного нормального распределения со специальным нормирующим множителем, необходимость ввода которого вызвана тем, что при 0 ≤ t < ∞ он должен обеспечивать равенстве единице площади под кривой f(t) в области положительных значений t. Но при m_t/σ_t > 2 нормирующий множитель приблизительно равен единице и неусеченное распределение фактически не отличается от усеченного.

3.3. Логнормальный  закон распределения и его параметры

Логарифмически  нормальный закон распределения  наряду с распределением Вейбула сравнительно точно описываются усталостные и приработочные отказы элементов и систем машин, а также отказы подшипников качения.

При логнормальном распределении  по нормальному закону распределяется не сама случайная величина Т (наработка до отказа), а ее натуральный логарифм lnT.

Плотность распределения  случайной величины U = lnT

, (40)

где m_U и σ_U – соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение натурального логарифма случайно величины Т, обозначающей наработку до отказа, м/ч; t – текущее значение наработки (времени), м/ч.

Плотность распределения  случайной величины Т, которая связана с величиной U показательной функцией t = e^U, можно выразить следующим образом:

.  (41)

Подставляя в выражение (4.2) f(U) из (4.1), получим зависимость для определения плотности вероятности отказа f(t):

.  (42)

Математическое  ожидание наработки до отказа при логнормальном распределении можно определить по зависимости

. (43)

а дисперсию наработки до отказа, как

.  (44)

Функцию распределения  наработки до отказа (или вероятность отказа) F(t) и вероятность безотказной работы P(t) при заданных значениях m_U и σ_U можно выразить через нормальную функцию распределения F₀(х). Однако предварительно необходимо ввести центрированную нормированную случайную величину χ (как и для случая нормального распределения наработки до отказа), которая имеет вид

,  (45)

и распределена по нормальному  закону с плотностью φ(χ), определяемой из выражения. Напомним, что случайную  величину χ называют квантилем нормированного нормального распределения.

Таким образом,

,  (46)

,  (47)

Интенсивность отказов λ(t) определяется из выражения

,  (48)

Таким образом, значения функции логарифмически нормального распределения и определяемые ими значения показателей безотказности легко вычислить, используя зависимости для нормированного нормального распределения F₀(х) и φ(χ).

3.4. Вейбулловский  закон распределения и его  параметры

Распределение Вейбулла широко используется для описания ресурсных отказов подшипников качения трансмиссии и ходовой части автомобилей, а также усталостных и приработочных отказов.

Плотность распределения Вейбулла имеет вид

,  (49)

где m – параметр формы, ч; t₀ – параметр масштаба, ч; t – текущее значение времени (наработки), ч.

Из выражения (3.26) видно, что распределения Вейбулла так же, как нормальное и логнормальное, характеризуется двумя параметрами: параметром формы m > 0 и параметром масштаба t₀ > 0. Однако отличительной особенностью распределения Вейбулла по отношению к указанным выше распределениям является его «гибкость», т. е. существует возможность с помощью изменения параметров деформировать кривую плотности распределения, приближая ее к реальному случаю.

Таким образом, распределения Вейбулла дает возможность моделировать различные виды законов распределения путем изменения параметра m.

Например, при m = 1 распределения Вейбулла превращается в экспоненциальное: λ(t) = const и f(t) – убывающая функция. При m > 1, функция f(t) одновершинная, функция λ(t) непрерывно возрастающая, причем при 1 < m < 2 с выпуклостью вверх, а при m > 2 с выпуклостью вниз. При m = 2 функция λ(t) является линейной и распределение Вейбулла превращается в распределение Рэлея, а при m = 3,3 близко к нормальному.

Кроме выражения (4.10) используются также  следующие зависимости для определения  основных показателей безотказности:

- вероятность безотказной работы, которая определяется по формуле

,  (50)

- интенсивность отказов

. (51)

Средняя наработка  до первого отказа при распределении Вейбулла определяется выражением

,  (52)

а дисперсия наработки до первого отказа

,  (53)

где Г(χ) – гамма-функция;

.  (54)

3.5. Экспоненциальный закон распределения и его параметры

Экспоненциальное  распределение наработки до отказа типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с  различными распределениями наработки до отказа.

В теории надежности экспоненциальное распределение используется для описания внезапных отказов и характеризуется следующими зависимостями:

- плотность  вероятности возникновения отказа

f(t) = λP(t) = λe^-λt; (55)

- вероятность  безотказной работы (функция надежности)

P(t) = e^-λt; (56)

- функция  распределения наработки до отказа (вероятность отказа)

F(t) = 1 - P(t) = 1-e^-λt; (57)

- средний  срок службы (наработка) до отказа

t_ср = 1/λ (58)

где λ –  интенсивность отказов, ч^-1.

Причинами возникновения внезапных отказов  не связана с изменением состояния  изделия и временем его предыдущей работы, а зависит от уровня внешних воздействий. Поэтому при построении модели внезапного отказа надо охарактеризовать внешние условия и характер воздействий, которые могут привести к отказу. Эти внешние условия могут оцениваться интенсивностью отказов λ – вероятностью возникновения отказа в единицу времени Δt при условии, что до этого момента времени (на промежутке от 0 до t) отказ не возник.

Таким образом, для модели внезапного отказа принимается  условие λ = const, соответствующее случаю, когда время предшествующей работы объекта не оказывает влияние на вероятность его отказа в данный промежуток времени.

Такое положение  является неоправданно идеализированным, особенно в области машиностроения, ведь все машины изнашиваются, стареют и вероятность их безотказной работы с течением времени (наработки) снижается.

Для машиностроения можно считать допустимым и оправданным  применение экспоненциального закона для расчета надежности систем с высокими требованиями безотказности для любой схемы отказов (внезапных и постепенных), если этот закон применим для оценки данной вероятности отказа, априорное значение которой известно из практики или заодно. Но его нельзя применять для случаев прогнозирования поведения этих систем при повышении ресурса и для оценки тех мероприятий, которые потребуются для повышения их надежности в пределах, выходящих за значение принятого ресурса Т_р.