Исследование проблемы выявления и коррекции гетероскедастичности с использованием тестов Голдфельда-Квандта и Бреуша-Пагана

Табл. 1

Перед построением модели регрессии следует  проверить каждый из временных рядов на стационарность, а в случае нестационарности - определить порядок интегрированности. Исходя из анализа коррелограмм наших временных рядов показателей ,все ряды однозначно определяются как нестационарные временные ряды

1) Ряд выручки нестационарен в уровнях, но интегрирован в первых разностях относительно тренда.

2) Ряд индекса промышленного производства также нестационарен в уровнях, но интегрирован в первых разностях относительно тренда.Также присутствует сезонность

3) Ряд средне-экспортных цен нестационарен в уровнях ,но интегрирован во вторых разностях относительно тренда.

4) Ряд курса доллара нестационарен в уровнях ,но интегрирован во впервых разностях.

 
 

По  данным  Таблицы 1 построим исходную модель с помощью пакета Eviews

Получим следующее  уравнение построенной модели:

 

Y = 234591.65283 + 405040.779693*INDEX - 18799.6880198*KURS + 44.3987522823*PRICE

 

 Где,

Y- выручка «Газпрома»(млрд рос.рубл)

INDEX-индекс промышленного производства (%)

KURS-Курс доллара к российскому рублю ( рос. рубль)

PRICE- средне-экспортные цены на природный газ (рос. рубл)

 

 

 

 

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 12/12/12   Time: 15:56
Sample: 2004Q1 2011Q4
Included observations: 32
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	234591.7	246829.2	0.950421	0.3500
INDEX	405040.8	82385.98	4.916380	0.0000
KURS	-18799.69	9437.540	-1.992011	0.0562
PRICE	44.39875	15.57229	2.851138	0.0081
R-squared	0.874727	Mean dependent var		669171.9
Adjusted R-squared	0.861304	S.D. dependent var		304348.9
S.E. of regression	113345.1	Akaike info criterion		26.23073
Sum squared resid	3.60E+11	Schwarz criterion		26.41395
Log likelihood	-415.6917	Hannan-Quinn criter.		26.29146
F-statistic	65.17039	Durbin-Watson stat		1.898518
Prob(F-statistic)	0.000000

 

Проверим  модель на нормальное распределение

 

 

Статистика  Жака-Бера и соответствующее ей Р- значение говорят об  нормальности ошибок рассматриваемой модели при выбранном уровне значимости α=0,05.В модели нормальное распределение.

 

Проверим  на значимость коэффициенты уравнения  регрессии. Для этого оценим t-статистику:

 

Y = 234591.65283 + 405040.779693*INDEX - 18799.6880198*KURS + 44.3987522823*PRICE

        (t)   (0.95)                      (4.9)                          (-1.99)                      (2.85)

              (не знач)               (знач)                         (знач)                        (знач)

 

 

Используем  в данном случае уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

t0.1,32=1,310

Значения  t-статистик рассматриваемых переменных больше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод о их значимости. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный вывод об адекватности построенной модели.

Продолжая оценивать общее качество модели, используем критерий Фишера:

                                                     

 

 

 

 

 

 

Н0: =0

Н1: >0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна.

Хотелось  бы отметить тот факт, что курс не значим. Для этого я его скорректировала . Причины  не значимости могут быть различны. Это обусловлено

После скорректированного курса  получилось новое уравнение.

 

Y = 405586.530379 + 467557.749252*INDEX - 25627.4753493*KURS + 34.0225898772*PRICE(-1)

     (t)   (1,544)                      (5,37)                          (-2,534)                      (1,86)

           (знач)                       (знач)                         (знач)                        (знач)

 

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 12/13/12   Time: 21:55
Sample (adjusted): 2004Q2 2011Q4
Included observations: 31 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	405586.5	262569.3	1.544684	0.1341
INDEX	467557.7	86958.41	5.376797	0.0000
KURS	-25627.48	10109.86	-2.534900	0.0174
PRICE(-1)	34.02259	18.21195	1.868146	0.0726
R-squared	0.847653	Mean dependent var		682505.0
Adjusted R-squared	0.830725	S.D. dependent var		299729.0
S.E. of regression	123317.5	Akaike info criterion		26.40283
Sum squared resid	4.11E+11	Schwarz criterion		26.58786
Log likelihood	-405.2438	Hannan-Quinn criter.		26.46314
F-statistic	50.07561	Durbin-Watson stat		1.850715
Prob(F-statistic)	0.000000

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

    Оценим общее качество модели снова:

 

                                                     

 

 

 

 

 

 

Н0: R-квадрат=0

Н1: R-квадрат>0

Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1, согласно которой модель адекватна. Поскольку значение F-наблюдаемого велико, можно сделать предположение о наличии мультиколлинеарности, что будет проверено мною в дальнейшем.

 

Выполним проверку регрессионной  модели на мультиколлинеарность.  
Построим корреляционную матрицу коэффициентов:

	index	kurs	prise
index	1
kurs	0,401157614	1
price	0,837368118	0,222301242	1

 

=0,40345

 

 

 

=-0,2269

 

 

=0,8377

 

Делаем вывод  об отсутствии высокой зависимости (коллинеарности) между переменными в двух случаев. Следует заметить коллинеарность   у третьего коэффициента (kurs).Следовательно, в модели присутствует мультиколлинеарность. Эта проблема оказывает определенное влияние на качество модели, однако ее устранение не является обязательным этапом, поэтому перейдем к дальнейшему исследованию качества регрессионной модели.

 

Проверим модель на присутствие  автокорреляции.

  Для этого будем использовать тест Дарбина-Уотсона. Суть метода определения автокорреляции на основе статистики Дарбина-Уотсона состоит в вычислении статистики DW и на основе ее величины осуществлении выводов об автокорреляции.  Статистика Дарбина-Уотсона может принимать значения 0 ≤ DW ≤ 4, которые могут указать на наличие  либо  отсутствие  автокорреляции. Для более точного определения, какое значение DW свидетельствует об отсутствии автокорреляции, а какое - об ее наличии, была построена таблица критических точек распределения Дарбина-Уотсона. По ней для заданного уровня значимости α, числа наблюдений n и количества  объясняющих  переменных m  определяются  два  значения: dl - нижняя граница и du - верхняя граница и делаются выводы по следующей схеме:

0  ≤ DW < dl - существует положительная автокорреляция,

dl  ≤ DW < du - вывод о наличии автокорреляции не определен,

du ≤ DW < 4 - du - автокорреляция отсутствует,

4 - du ≤ DW < 4 - dl - вывод о наличии автокорреляции не определен,

4 - dl ≤ DW ≤ 4 -  существует отрицательная автокорреляция.

 

Приведем  значение статистики:

DW=1.850715

Значения критических точек

при уровне значимости :

dl=1.244

du=1.650

4-dl=2.756

4-du=2.35

 

По приведенной  выше схеме получается, что du ≤ DW < 4 - du, откуда можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции. Таким образом, согласно статистике Дарбина-Уотсона построенная регрессионная модель автокорреляции не имеет

Делаем вывод об отсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики

DW в данном случае близко к 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование  проблемы гетероскедастичности с помощью тестов  Бреуша-Пагана-Годфри и Гольфельда-Квандта

 

Проведем  тест Гольфельда-Квандта и проверим гипотезу о наличии гетероскедастичности в остатках в данной регрессионной  модели.

Порядок выполнения следующий:

1. Формулируются  основная (нулевая) и альтернативная  гипотезы.

При тестировании модели на гетероскедастичность ошибок основная гипотеза – это всегда гипотеза о гомоскедастичности (т. е. о том, что гетероскедастичности нет: дисперсия ошибок одинакова во всех наблюдениях).

Альтернативная  гипотеза (о гетероскедастичности) в каждом тесте своя. В тесте Гольдфельда-Квандта это гипотеза о монотонной зависимости дисперсии ошибки от какого-нибудь фактора.

2.По фактору, от которого может зависеть дисперсия ошибки, требуется упорядочить наблюдения (в порядке возрастания или убывания).

3. Исключаем из рассмотрения С центральных наблюдений. С –

это любое целое число  из интервала [n/5; n/3], где n – число  наблюдений в выборке . В данном случае С должно быть четным, чтобы оставшиеся две группы имели одинаковое число наблюдений.

4. Для каждой из оставшихся групп в отдельности переоцениваем

регрессию. Получим две  суммы квадратов остатков .

5.Разделить суммы квадратов остатков и сравнить с критическим значением.

a)Проверим гомоскедастичность по фактору kurs

Находим остаточную дисперсию S1 = 398397950640,39

Аналогично определим остаточную дисперсию

S2 = 1379208888767,35

Найдем отношение

S2 : S1 =3,461887509

Определим критическое значение для теста Гольдфельда–Квандта  .

F крит=F0,05;12;12=2,69

Так как S2 : S1 = 3,46 > Fкрит, то нарушается предпосылка о ра-

венстве дисперсий, т. е. о  гомоскедастичности остатков по переменной kurs

б) Проверим гомоскедастичность по фактору index. Действуя

получим следующие величины остаточных дисперсий S1 =28968984846,07

S2 = 478517712719,08

Так как отношение S2 : S1 = 16,52> Fкрит, то нарушается предпосылка о равенстве дисперсий, т. е. о гомоскедастичности остатков по переменной index

в)Проверим гомоскедастичность по фактору price.

S1=55631765194,66

S2=391896539143,55

S2:S1=7,044474>46 > Fкрит, то нарушается предпосылка о ра-

венстве дисперсий, т. е. о  гомоскедастичности остатков по переменной price

 

Далее проведем тест Бреуша-Годфри-Пагана

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey
F-statistic	4.635620	Prob. F(3,27)		0.0097
Obs*R-squared	10.53888	Prob. Chi-Square(3)		0.0145
Scaled explained SS	6.762455	Prob. Chi-Square(3)		0.0799
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 12/14/12   Time: 00:15
Sample: 2004Q2 2011Q4
Included observations: 31
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-5.59E+10	3.19E+10	-1.749142	0.0916
INDEX	1.59E+10	1.06E+10	1.499377	0.1454
KURS	1.46E+09	1.23E+09	1.190825	0.2441
PRICE(-1)	217008.7	2214797.	0.097981	0.9227
R-squared	0.339964	Mean dependent var		1.32E+10
Adjusted R-squared	0.266627	S.D. dependent var		1.75E+10
S.E. of regression	1.50E+10	Akaike info criterion		49.82001
Sum squared resid	6.07E+21	Schwarz criterion		50.00504
Log likelihood	-768.2102	Hannan-Quinn criter.		49.88033
F-statistic	4.635620	Durbin-Watson stat		2.264538
Prob(F-statistic)	0.009682