Эконометрика и эконометрическое моделирование

 

 

где  - фактические значения случайных переменных x и y,

  .    

 

Ковариация зависит от единиц, в  которых измеряются переменные .

Поэтому для измерения силы связи  между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая  коэффициентом корреляции.

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Вычисление коэффициента парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции

Для двух переменных

коэффициент парной корреляции определяется следующим образом:

 

=       ,       (1)                         

 

где               - оценки дисперсий величин .

 

Дисперсия (оценка дисперсии)

 

                                                                           

характеризуют степень разброса значений   ( )  вокруг своего среднего    ( , соответственно), или вариабельность  (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (n−p), где n - объем выборки, p - число наложенных на выборку связей. В данном случае p = 1, т.к. выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, поэтому число наложенных связей равно единице, а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (n −1).

Более естественно  измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением, или  стандартной ошибкой  переменной Х (переменной Y), определяемый соотношением:

 

                                                                               

 

Слагаемые в числителе формулы (1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак (положительной или отрицательной) корреляции. Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента корреляции просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности,  в диапазоне от -1 до 1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, называется ковариацией Х и Y. Несмотря на то, что иногда он используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Следует отметить, что  величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи  с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком, обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности.

В этой связи и возникает  необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Оценка  значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием  t - критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле:

 

                                                                            

 

Вычисленное по этой формуле  значение     t_набл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n-2).

Если t_набл > t_кр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю генерального коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными  есть тесная статистическая взаимосвязь.

Удобным графическим  средством анализа парных данных является  диаграмма рассеяния, которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам.

Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты X_i   и Y_i. По мере того, как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина r будет ближе к 1.

 

Тема 5. Парная регрессия

Регрессионный анализ³ занимает ведущее место в математике статистических методах эконометрики. До регрессионного анализа следует проводить корреляционный анализ, в процессе которого оценивается степень тесноты статистической связи между исследуемыми переменными. От степени тесноты связи зависит прогностическая сила регрессионной модели.

Регрессионный анализ предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

В регрессионных  моделях зависимая (объясняемая) переменная Y  может быть представлена  в виде  функции     f ( ), где -   независимые (объясняющие) переменные, или факторы.

Связь между переменной Y и k независимыми факторами Х можно охарактеризовать функцией регрессии Y= f ( ),  которая показывает, каково будет в среднем значение переменной y_i, если переменные X_i примут конкретные значения.

Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.

 

Сформулируем регрессионную  задачу для случая одного факторного признака.

Пусть имеется набор  значений двух переменных: Y= - объясняемая переменная и X= -  объясняющая переменная,  каждая из которых содержит n наблюдений.

 Пусть между переменными X=   и Y= теоретически существует некоторая линейная зависимость

                                      .

              Данное уравнение будем называть  «истинным» уравнением регрессии.

 Однако в действительности  между X и Y наблюдается не столь жесткая связь. Отдельные наблюдения будут отклоняться от линейной зависимости в силу воздействия различных причин. Обычно зависимая переменная находится под влиянием целого ряда факторов, в том числе и не известных исследователю, а также случайных причин (возмущения и помехи); существенным источником отклонений в ряде случаев являются ошибки измерения. Отклонения от предполагаемой формы связи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильного выбора вида самого уравнения, описывающего эту зависимость. Учитывая возможные отклонения, линейное уравнение связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде

                                 ,                                                          (2)

где - постоянная величина (или свободный член уравнения), - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной , при изменении значения на единицу. Если - переменные и положительно коррелированные, если < 0 – отрицательно коррелированны; - случайная переменная, или случайная составляющая, или остаток, или возмущение.  Она отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением Х – присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.

 Таким образом, в уравнении (2) значение каждого наблюдения представлено как сумма двух частей — систематической и случайной . В свою очередь систематическую часть можно представить в виде уравнения

                                                   

Можно сказать, что общим  моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части — объясненную и случайную.

                                                     .

Тема 6. Основные предпосылки метода наименьших квадратов.

 

Свойства коэффициентов  регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квадратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, должны выполняться следующие условия, известные  как условия Гаусса – Маркова.

· Первое условие.  Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайная составляющая будет положительной, иногда отрицательной, но она не должна иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений.

                                                                                                 

Фактически  если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции , которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

· Второе условие состоит в том, что модели (2) возмущение (или зависимая переменная ) есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина неслучайная.

Если это  условие выполнено, то теоретическая  ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю.

 

· Третье условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях. Например, если случайная составляющая велика и положительна в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что она будет большой и положительной в следующем наблюдении. Случайные составляющие должны быть  независимы друг от друга.

В силу того, что  , данное условие можно записать следующим образом:

                                                                   

Возмущения  не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях).

 

Это условие  означает, что отклонения регрессии (а значит, и сама зависимая переменная) не коррелируют. Условие некоррелируемости ограничительно, например, в случае временного ряда . Тогда третье условие означает отсутствие автокорреляции ряда .

· Четвертое условие означает,  что дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайная составляющая будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы она порождала  большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.

Эта постоянная дисперсия  обычно обозначается , или часто в более краткой форме , а условие записывается следующим образом:

                                                                                        

    Величина  , конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайной составляющей.

Это условие  гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).

    · Предположение о нормальности

Наряду с  условиями Гаусса— Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена. Дело в том, что если случайный член нормально распределен, то так же будут распределены и коэффициенты регрессии.

Тема 7. Свойства оценок МНК.

В тех случаях, когда предпосылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.