Эконометрика и эконометрическое моделирование

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. Поэтому несмещенность оценки должна дополняться минимальной дисперсией.

Степень достоверности  доверительных интервалов параметров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только несмещенными и эффективными, но и состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.

Оценка параметров регрессионного уравнения

Дня оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов дает оценки, имеющие наименьшую дисперсию в классе всех линейных оценок, если выполняются предпосылки нормальной линейной регрессионной модели.

МНК минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .

Согласно  принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов

по всем возможным значениям  и при заданных (наблюдаемых) значениях .

В результате применения МНК  получаем формулы  для вычисления параметров модели парной регрессии.

 

                                                       (3)

                                                                                    

                      

Такое решение может  существовать только при выполнении условия

что равносильно отличию  от нуля определителя системы нормальных уравнений. Действительно, этот определитель равен

Последнее условие называется условием идентифицируемости модели наблюдений , и означает, что не все значения совпадают между собой. При нарушении этого условия все точки , лежат на одной вертикальной прямой

Оценки  и называют оценками наименьших квадратов. Обратим внимание на полученное выражение для  параметра .  В это выражение входят суммы квадратов, участвовавшие ранее в определении выборочной дисперсии

и выборочной ковариации так что, в этих терминах параметр  можно получить следующим образом: 

 

 

                        = =   =

=       

 

Оценка качества уравнения регрессии

Качество  модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков.

После построения уравнения регрессии  мы можем разбить значение Y, в каждом наблюдении на две составляющих - и .

                                                                      

Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: ( ).

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от теоретических ( ). Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения.

При анализе качества модели регрессии используется основное  положение дисперсионного анализа, согласно которому  общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения    может быть разложена на две составляющие — объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии:

                                                     

                    (4)

где     - значения  y, вычисленные по модели  .

Разделив правую и  левую часть (4) на

 

  ,   

 

 получим 

.

 

 

Тема 8. Коэффициент  детерминации

 

Коэффициент  детерминации  определяется следующим образом:

 

 

  

 

Коэффициент  детерминации  показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе  к 1, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей  целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R

 

Данный  коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных.

При построении однофакторной модели он равен коэффициенту линейной корреляции .

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.

 Также для оценки  качества регрессионных моделей  целесообразно использовать среднюю ошибку аппроксимации:

                                                             

  Чем  меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7 % свидетельствует о хорошем качестве модели.

После того как уравнение регрессии  построено,  выполняется проверка значимости  построенного уравнения  в целом и отдельных параметров.

Оценить значимость уравнения регрессии  – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка значимости уравнения  регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравнения — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с n₁= k  и n₂ = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

 

 

 

                                

                 Для модели парной регрессии:

                                                                     

 

 

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n- k -1), где k – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины  ( ) называется стандартной ошибкой:

                           Для модели парной регрессии                                           

 

Прогнозирование с применением уравнения регрессии

Регрессионные модели могут быть использованы для  прогнозирования возможных ожидаемых  значений зависимой переменной.

Прогнозируемое  значение переменной получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора .

                                                                               

Данный  прогноз называется точечным. Значение независимой переменной не должно значительно отличаться от входящих в исследуемую выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.

Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный  интервал прогноза с достаточно большой надежностью.

доверительные интервалы, зависят от следующих параметров:

• стандартной ошибки ,
• удаления от своего среднего значения ,
• количества наблюдений n
• и уровня значимости прогноза α.

В частности, для прогноза  будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал 

 

 

 

  

 

 

 

Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогноз значений зависимой переменной по уравнению регрессии хорош только в случае, если значение фактора Х не выходит за пределы выборки. Иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие – М.: Вузовский учебник, 2007.
2. Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001,2002,2003,2004 . - 344с.
3. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.
4. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001,2002,2003,2004. - 192с
5. Орлова И.В.   Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL: Практикум: Учебное пособие / И. В. Орлова; ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2000. - 136с.
6. Орлова И.В.   Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач / И. В. Орлова; ВЗФЭИ. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144с.
7. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
8. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов – М.: «Экзамен», 2002.

 

 

 

 

 

 

 

 

¹ Большой энциклопедический словарь – М:  Изд-во "Большая Российская Энциклопедия", 1997

² Эта тема изучается только студентами 2-го образования. Студенты 1-го образования изучают эту тему в рамках дисциплины ЭММ и ПМ

³ Термин регрессия  (латинское regressio — движение назад) введен английским статистиком Ф. Гальтоном, который, изучая зависимость между ростом родителей и их детей, обнаружил явление «регрессии к среднему» — у детей, родившихся у очень высоких родителей, рост имел тенденцию быть ближе к средней его величине.