Контрольная работа по "Эконометрическому моделированию стоимости квартир в Московской области"

 

В соответствии с полученными расчетными данными запишем модель регрессии в линейной форме:

Коэффициенты уравнения регрессии  показывают, что при увеличении только общей площади квартиры (Х3) на 1 кв.м. цена квартиры увеличится на тыс. долл., а при изменении площади кухни на 1 кв.м. (X6) цена квартиры уменьшится на тыс. долл.

 

7. В соответствии с полученными  результатами оценим качество линейной множественной регрессии через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

В соответствии с расчетом коэффициент  детерминации , следовательно, вариация результативного признака Y (цена квартиры) на 73,81% объясняется вариацией факторного признака ХЗ (общая площадь квартиры) и факторного признака X6 (площадь кухни). Значение коэффициента детерминации достаточно близко к 1, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Оценка статистической значимости уравнения множественной регрессии  осуществляется по F-критерию Фишера. В результате расчетов .

Определим табличное  значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACTIOBP (для , k1=2, k2=40-2-1). . Так как , уравнение регрессии признается статистически значимым.

Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

где n - число наблюдений.

 

Наблюдение	Y цена квартиры	Предсказанное Y^	ABS((Y-Y^)/Y)
	115	107,1582	0,06819
	85	116,9166	0,37549
	69	85,87076	0,244504
	57	73,68305	0,292685
	184,6	122,5422	0,336175
	56	42,352	0,243714
	85	93,10992	0,095411
	265	239,5671	0,095973
	60,65	94,09281	0,551407
	130	139,0794	0,069841
	46	51,09257	0,110708
	115	89,51461	0,221612
	70,96	78,50814	0,106372
	39,5	43,94021	0,11241
	78,9	46,55029	0,410009
	60	78,35203	0,305867
	100	139,3375	0,393375
	51	77,50378	0,519682
	157	138,944	0,115006
	123,5	150,1736	0,21598
	55,2	50,35983	0,087684
	95,5	102,768	0,076105
	57,6	79,58975	0,381766
	64,5	72,75756	0,128024
	92	130,4137	0,41754
	100	112,2477	0,122477
	81	67,54696	0,166087
	65	43,51645	0,330516
	110	88,56205	0,19489
	42,1	41,80804	0,006935
	135	98,59448	0,26967
	39,6	42,78371	0,080397
	57	80,95092	0,420191
	80	42,31139	0,471108
	61	72,75756	0,192747
	69,6	109,7372	0,576684
	250	221,9083	0,112367
	64,5	91,13387	0,412928
	125	71,8169	0,425465
	152,3	116,1568	0,237316
			9,99531
			24,98827

 

В среднем расчетные  значения Y^ для модели множественной регрессии отличаются от фактических значений на 24,99%.

Произведем сравнение  коэффициентов ранее рассмотренной  парной регрессии для фактора X3 (как наиболее значимого фактора) и коэффициентов множественной регрессии.

Вид модели	R2	Еотн	F	Fтабл
Парная регрессия	0,714957	27,870385	95,313221	2,84244
Множественная регрессия	0,7380749	24,988827	52,13090	2,45201

В соответствии с данной таблицей можно сделать вывод, что лучшей по качеству является модель множественной регрессии, так как она имеет большее значение коэффициента детерминации ( ). Значение средней относительной ошибки в модели множественной регрессии уменьшилось по сравнению с моделью парной регрессии, что также свидетельствует о более высоком качестве модели множественной регрессии.

Произведем оценку значимости факторов множественной регрессии  с помощью t-критерия Стьюдента.

Оценим качество построенной  множественной модели с помощью  коэффициентов эластичности, β - и Δ - коэффициентов.

Коэффициенты эластичности оценивают относительную силу влияния  параметров X3 и Х6 на результативный признак Y. Коэффициент эластичности определяется по формуле:

β-коэффициент определяется по формуле:

Δ-коэффициент характеризует удельное влияние конкретного факторного признака в совместном влиянии на результативный показатель всех факторных признаков, включенных в модель множественной регрессии. Определяется по формуле:

Результаты вычислений представлены в таблице 15.

 

Таблица 15.

 

№ наблюдения	Y цена квартиры	ХЗ общая площадь  квартиры	Х6 площадь кухни
	115	70,4	7
	85	82,8	10
	69	64,5	10
	57	55,1	9
	184,6	83,9	9
	56	32,2	7
	85	65	8,3
	265	169,5	16,5
	60,65	74	12,1
	130	87	6
	46	44	10
	115	60	7
	70,96	65,7	12,5
	39,5	42	11
	78,9	49,3	13,6
	60	64,5	12
	100	93,8	9
	51	64	12
	157	98	11
	123,5	107,5	12,3
	55,2	48	12
	95,5	80	12,5
	57,6	63,9	11,4
	64,5	58,1	10,6
	92	83	6,5
	100	73,4	7
	81	45,5	6,3
	65	32	6,6
	110	65,2	9,6
	42,1	40,3	10,8
	135	72	10
	39,6	36	8,6
	57	61,6	10
	80	35,5	8,5
	61	58,1	10,6
	69,6	83	12
	250	152	13,3
	64,5	64,5	8,6
	125	54	9
	152,3	89	13
Сумма	3746,01	2768,3	402,2
Средне значение	93,65025	69,2075	10,055
bi		1,696496871	-3,759364352
Эластичность Эi		1,253710558	–0,043633824
Дисперсия	336232,7308	182928,2328	3848,333615
	579,8557845	427,7011022	62,03493867
βi-коэффициент		0,845551302	-0,40218955
ryxi		0,845551302	0,277274009
R2		0,73807498	0,73807498
Δ-коэффициент		1,43355024	-0,151091301

 

По результатам расчета  можно сделать следующие выводы.

При изменении на 1% среднего значения фактора X6 (площадь кухни) среднее значение цены квартиры уменьшится на 4,4% (при неизменном значении других факторов). При увеличении на 1% среднего значения фактора ХЗ (общей площади квартиры) среднее значение цены квартиры увеличится на 125,5%. В данном случае наибольшее воздействие на цену квартиры оказывает размер ее общей площади, а наименьшее – площадь кухни.

Согласно полученным Δ-коэффициентам фактор X6 на результативный показатель Y не влияет, а фактор ХЗ на 143,3% объясняет вариацию результативного показателя Y. Следовательно, информативным и значимым является показатель X3, поэтому включение в модель показателя X6, было не правильным.

Для организации эконометрического  моделирования стоимости квартир  в Московской области (в соответствии с исходными данными) достаточно при расчете использовать один фактор ХЗ (общая площадь квартиры). Статистически значимая функция при этом имеет следующий вид: . Данная функция рассмотрена ранее.

 

Задача 2.

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1,2,...,9)
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
5	5	7	10	12	15	18	20	23	26

Требуется:

1) Проверить наличие  аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с тремя знаками в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение.

1. Наличие аномальных  наблюдений приводит к искажению  результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Аномальные наблюдения легче всего обнаружить визуально, используя графическое представление временного ряда. График временного ряда представлен на рис. 1. Исходя из построенного графика, можно сделать вывод о том, что аномальных наблюдений нет.

 

Рис. 1. Графическое представление  временного ряда.

2. Расчет параметров линейной парной регрессии , произведем с использованием программы MS Excel. Полученные данные представлены в таблицах 3,4,5.

 

Таблица 3.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,999
R-квадрат	0,998
Нормированный R-квадрат	0,998
Стандартная ошибка	0,343
Наблюдения	9

Таблица 4.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	416,067	416,067	3542,189	9,923E-11
Остаток	7	0,822	0,117
Итого	8	416,889

 

Таблица 5.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,944	0,249	7,809	0,00010	1,356	2,533	1,356	2,533
t (наблюдение)	2,633	0,044	59,516	9,923E-11	2,529	2,738	2,529	2,738

 

В соответствии с полученными  расчетными данными модель регрессии  в линейной форме будет выглядеть  следующим образом:

Таким образом, в течение  недели спрос на кредитные ресурсы  увеличится на 2,633 млн. руб.

В соответствии с полученными  результатами оценим качество линейной парной регрессии через коэффициент  детерминации, среднюю ошибку аппроксимации  и F-критерия Фишера.

Коэффициент детерминации в соответствии с расчетом равен  . Вариация спроса на кредитные ресурсы (Y) на 99,8% объясняется изменением времени (t). Значение близко к единице, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Оценку значимости уравнения  регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. В результате расчетов .

Определим табличное  значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACПOБP (для , k1=1, k2=7). .

, следовательно, уравнение регрессии признается статистически значимым.

 

3. Произведем оценку  адекватности построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

3.1 Оценка адекватности  построенной модели по свойству  случайности производится исходя из неравенства

где р – количество поворотных точек определяемых из графика остаточной компоненты, N – длина временного ряда; квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Для определения числа  поворотных точек необходимо построить  график остаточной компоненты. Построим с использованием имеющихся результатов расчета график остаточной компоненты (рис.2)

Рис. 2. График остаточной компоненты.

 

Исходя из построенного графика, определяем количество поворотных точек: р=5. При выполнении расчетов по приведенной выше формуле получаем, что 5>2, следовательно, неравенство соблюдается, ряд остатков можно считать случайным, а значит, свойство случайности возникновения отдельных отклонений от тренда выполняется.

3.2. Оценка адекватности  построенной модели по свойству  независимости остаточной компоненты определяется по d-критерию Дарбина-Уотсона (проверяется наличие/отсутствие автокорреляции).

Результаты расчета  представлены в таблице 6.

Таблица 6.

t (номер наблюдения)	Y (спрос, млн. руб.)	Предсказанное Y (спрос, млн. р)	E(t)	E(t)-E(t-1)	(E(t)-E(t-1))2	E2(t)
1	5	4,578	0,422	–	–	0,18
2	7	7,211	-0,211	-0,63	0,40	0,04
3	10	9,844	0,156	0,37	0,13	0,02
4	12	12,478	-0,478	-0,63	0,40	0,23
5	15	15,111	-0,111	0,37	0,13	0,01
6	18	17,744	0,256	0,37	0,13	0,07
7	20	20,378	-0,378	-0,63	0,40	0,14
8	23	23,011	-0,011	0,37	0,13	0,00
9	26	25,644	0,356	0,37	0,13	0,13
Сумма					1,88	0,82
d						2,28