Контрольная работа по "Эконометрике"

=α+β*х_i=-11,70880054+1,5425936570*Х_прогн

= - 11,70880054+1,5425936570*135,6=197,46 тыс. долл.

Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна  нулю, поэтому рассчитаем доверительный  интервал прогноза с заранее заданной вероятностью α=0,1

Величину отклонения от линии регрессии вычисляют по формуле ε_i=у_i- , Вычисляем ε_i  или берем значение = из протокола регрессионного анализа Excel (пересечение SS – сумма квадратов и Остаток) для фактора Х3 (Таблица 4)

Величину стандартной ошибки S_ε находят по формуле:

S_ε= = 27,85

Или берем значение стандартной ошибки из протокола регрессионного анализа Excel (Стандартная ошибка) для фактора Х3 (Таблица 4).

Табличный коэффициент t-критерия (t_α.) Стьюдента при степени свободы ν=(n-2)=40-2=38 и заданном уровне значимости α=0,1 берется из таблицы значений или определяется с использованием надстройки Excel:

• Выбираем пустую ячейку. Функция-СТЬЮДРАСПОБР-задаем вероятность α= 0,1 и степени свободы ν=38- ОК

t_α. = 1,685954461 при (α=0,1; ν=38)

Доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений у_i определяется из соотношения:

у_{прогн =} .        

 

у_прогн € [ ŷ _прогн ± U_i ]

 

U_{i =}

U_{(x=135,6, ,n=40,α=0,1)}= 27,85*1,685954461* =50,72

 

Прогнозное значение = 196,07 с вероятностью 80% будет находиться между верхней границей, равной 196,07 + 50,72 =246,79 и нижней границей, равной 197,46 - 50,72 =146,74

 

Представим графически фактические и модельные значения точки прогноза:

• Выделяем диаграмму модели парной регрессии для фактора Х3– Диаграмма - исходные данные - ряд, добавить - задаем координаты трех точек х и трех точек y (Yпрогн=246,79, Хпрогн=135,6; Yпрогн=197,46, Хпрогн=135,6; Yпрогн=146,74, Хпрогн=135,6)-ОК
• Строим график: первый столбик – значения Х3, второй – Y, третий Y модельный – задаем формулу : в модель y_х3i=-11,7088+1,5426*Х_3i поочередно подставляем Х_i, четвертый верхняя граница: задаем формулу: Y модельное i + 50,7219, пятый нижняя граница: задаем формулу: Y модельное - 50,7219
• Вызываем мастер диаграмм – точечная – диаграмма, соединенная сглаженными линиями- ОК.

 

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построить модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Ответ: Получили однофакторную модель со значимым фактором Х3

Y = − 11,70+ 1,543Х3

Коэффициент детерминации (R²⁼0,714957) высокий хорошее качество модели. 71% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора Х₃ (общая площадь квартиры). Значимость модели (F=6,62395E-12) - высокая, фактор значим. Вычисляем табличное значение t-критерия Стьюдента=2,028 (при вероятности=0,05) и сравниваем с табличными значениями t-статистика=9,76>2,028 - t_табл., фактор Х3 – значим.

В нашей  задаче β_х3=1,5426 (коэффициент при Х₃) показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м², цена квартиры увеличится на 1,5426 тыс. долл. α = -11,70 - постоянная величина уравнения имеет отрицательное значение и экономической значимости не имеет, так как при общей площади квартиры равной нулю, цена квартиры тоже равной нулю.

Качество  модели осталось прежним, модель уравнения  парной регрессии со значимым фактором не изменилась (см. п.4).

 

Решение: Используя пошаговую регрессию (метод исключения), построим модель формирования цены квартиры в зависимости от значимых факторов.

Шаг 1: Построим модель линейной регрессии формирования цены квартиры от всех трех факторов (Х3, Х5, Х6):

Y = 14,038 + 1,696Х3 + 0,084Х5 - 3,815Х6

Проанализируем полученные данные, используя протокол линейной регрессии (Таблица 9):

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R		0,772092
R-квадрат		0,596126
Нормированный R-квадрат		0,56247
Стандартная ошибка		34,06006
Наблюдения		40
Дисперсионный анализ
		df	SS	MS
Регрессия		3	61643,25	20547,75
Остаток		36	41763,16	1160,088
Итого		39	103406,4
		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение		1,173842	24,15774	0,048591
Переменная X 1		1,218234	0,179279	6,795194
Переменная X 2		-0,75183	1,510865	-0,49762
Переменная X 3		1,178291	2,599217	0,453326
t-критерий Стьюдента	2,024394

 

Коэффициент детерминации (R²=0,596126) и (R² нормированный=0,56247) высокий, значимость модели (F=1,42292E-10) хорошая, вычисляем табличное значение t-критерия Стьюдента=2,0264 (при вероятности=0,05) и сравниваем с табличными значениями t-статистика, значим только один фактор Х3, такой моделью пользовать нельзя, так как все факторы, используемые в модели, должны быть значимыми. Исключаем фактор Х5 с самым низким значением по модулю t-статистика=-0,49.

Шаг 2: Построим модель линейной регрессии формирования цены квартиры от двух факторов (Х3, Х6):

Y = 14,04 + 1,696Х3 - 3,759Х6

Проанализируем полученные данные, используя протокол линейной регрессии 

(Таблица 10):

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,859112903
R-квадрат	0,73807498
Нормированный R-квадрат	0,723916871
Стандартная ошибка	27,05586127
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS
Регрессия	2	76321,68483	38160,84242
Остаток	37	27084,72627	732,0196288
Итого	39	103406,4111
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	14,04035138	18,89059717	0,743245502
X3  Общая площадь квартиры, кв. м.	1,696496871	0,175540046	9,664443592
X6  Площадь кухни, кв. м.	-3,759364352	2,080305652	-1,807121155
		t-критерий Стьюдента	2,028192447

Коэффициент детерминации (R²=0,73807498) и (R² нормированный=0,723916871) высокий. Значимость модели (F=1,72296E-11) улучшилась, по сравнению с первой. Вычисляем табличное значение t-критерия Стьюдента=2,028 (при вероятности = 0,05) и сравниваем с табличными значениями t-статистика, значим только один фактор Х3, такой моделью пользовать нельзя, так как все факторы, используемые в модели, должны быть значимыми. Исключаем фактор Х6 с самым низким значением по модулю t-статистика= -1,807.

Сравним дополнительно верхние и нижние пределы:

	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-24,23563394	52,3163367
X3  Общая площадь квартиры, кв. м.	1,340818956	2,052174786
X6  Площадь кухни, кв. м.	-7,974463953	0,455735248

 

Пределы фактора Х6 включают 0 – значит фактор не значим, исключаем его из модели.

Шаг 3: Построим однофакторную модель со значимым фактором Х3:

Y = -13,11+ 1,54*Х3

Проанализируем полученные данные, используя протокол линейной регрессии 

(Таблица 4):

Регрессионная статистика
Множественный R			0,8455513
R-квадрат			0,714957
Нормированный R-квадрат			0,70745587
Стандартная ошибка			27,8507645
Наблюдения			40
Значимость F
6,62395E-12
		Коэффициенты			Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение		-13,10880054			11,78859601	-1,111989972
X3  Общая площадь квартиры, кв. м.		1,542593657			0,158006505	9,762849051
					t-критерий Стьюдента  табл.	2,024394147

Коэффициент детерминации (R²⁼0,714957) высокий хорошее качество модели. 71% вариации зависимой переменной Y учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора Х₃ (общая площадь квартиры). Значимость модели (F=6,62395E-12) улучшилась, по сравнению с первой и второй моделью. Вычисляем табличное значение t-критерия Стьюдента=2,028 (при вероятности=0,05) и сравниваем с табличными значениями t-статистика=9,76>2,028 - t_табл., фактор Х3 – значим.

В нашей  задаче β₃=1,5426 (коэффициент при Х₃) показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м², цена квартиры увеличится на 1,5426 тыс. долл. α = -13,11 - постоянная величина отрицательная и экономической значимости не имеет, так как при общей площади квартиры равной нулю, цена квартиры тоже равной нулю.

Качество  модели осталось прежним, модель уравнения парной регрессии со значимым фактором не изменилась.

 

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

Ответ: Качество модели Y = -13,11+ 1,54*Х3 осталось прежним, так как модель уравнения парной регрессии со значимым фактором не изменилась и осталась однофакторной со значимым фактором Х3 (общая площадь квартиры).

Регрессионная статистика
Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции	0,8455513
R-квадрат	Коэффициент детерминации, R2	0,714957
F	Критерий Фишера	95,3132216> Fтабл.= 4,098172
отнж	Средняя относительная ошибка аппроксимации	28%

 

Оценка влияния отдельных  факторов на зависимую переменную на основе модели Y =  -13,11+ 1,54Х3.

Учитывая, что коэффициент  регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов (Х) на зависимую переменную(Y) из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э), b-коэффициент и D-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:

• Рассчитаем эластичность для модели Y = -13,11+ 1,543Х3.:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько  процентов изменяется зависимая  переменная при изменении фактора на один процент. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на объясняемую переменную.

 

а_j=1,543 - берем из уравнения регрессии коэффициент при Х3

Считаем в Excel среднее  значение Х3: функция – СРЗНАЧ, выделяем значения в столбце Х3

 = 69,2075

Аналогично считаем  среднее значение Y: функция – СРЗНАЧ, выделяем значения в столбце Y

= 93,65025

1,543´69,2075/93,65025=1,14

Эластичность не нормирована  и может изменяться от - ∞ до + ∞.

Э_.=1,14 означает, что если среднее значение общей площади квартиры =69,2075, изменится на 1%, это приведет к изменению =93,65025 среднего значения цены квартиры на 1,14%

 

• Рассчитаем b-коэффициент для модели Y = -13,11+ 1,54Х3: