Контрольная работа по "Эконометрике"

Бета-коэффициент с  математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных

 

а_j=1,543 - берем из уравнения регрессии коэффициент при Х3

Стандартные отклонения вычисляются по формулам:

S_x²= , S_y²=

Или находятся с помощью надстройки Excel:

S_x² = Функция – СДАНДОТКЛОН – выделяется значения столбика Х3

S_y² =Функция – СДАНДОТКЛОН – выделяется значения столбика Y

S_x²=28,226

S_y²=51,492

1,543 ´28,226/51,492=0,846

Или берем в Таблице 11 построенной при помощи программы SPSS:

Таблица 11

Модель		Нестандартизованные коэффициенты		Стандартизованные коэффициенты	t	Знч.
		B	Стд. ошибка	Бета
1	(Константа)	-13,109	11,789		-1,112	,273
	X3	1,543	,158	,846	9,763	,000

a  Зависимая  переменная: Y

 

Это означает, что при увеличении общей площади квартиры в нашем примере на 28,23 м² , цена квартиры увеличится на 43,56 тыс. долл. (0,846*51,492).

 

7.3 Эластичность и бета-коэфициенты позволяют упорядочить факторы Х по степени их влияния на зависимую переменную Y, долю влияния каждого фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэфициента по формуле:

 

 

Вычисляем r_yx3 при помощи надстройки Excel:

Сервис-анализ данных – корреляция – выделяем столбцы Y и всех Х с надписями- метки – ОК

r_yx3 = 0,845551302214632

 

 

1,543 ´28,226/51,492=0,846

R² берем из протокола регрессионного анализа (Таблица 4)

Или рассчитываем по формуле:

 

R² = 0,714957004676861

= 0,846*0,846/0,715=1

 

4. Проверим выполнение условия гомоскедастичности остатков методом Голдфельда-Кванта:

Построим уравнения регрессии  с помощью надстройки Excel:

• Разместим рядом столбцы со значениями Y и Х3, упорядочим по мере возрастания переменной Х3 от min к max значений через функцию (А-Я), выбирая расширенный диапазон, каждому Х3_i должен соответствовать изначальный Y_i,
• Разделим совокупнось значений на две группы первые 15 значений с малыми значениями фактора Х3_i и соответствующими Y_i и последние 15 с большими значениями и найдем уравнение регрессии для каждой подвыборки.
• Сервис – Анализ данных – Регрессия.

 

Таблица 12

Y1	X31		Y2	X32
65	32		135	72
56	32,2		100	73,4
80	35,5		60,65	74
39,6	36		95,5	80
42,1	40,3		85	82,8
39,5	42		92	83
46	44		69,6	83
81	45,5		184,6	83,9
55,2	48		130	87
78,9	49,3		152,3	89
125	54		100	93,8
57	55,1		157	98
64,5	58,1		123,5	107,5
61	58,1		250	152
115	60		265	169,5

 

Y₁₌ 11,77+ 1,2*Х3₁

Y₂₌ -38,98+ 1,81Х3₂

Определим остаточную сумму квадратов для первой и второй регрессии по формуле:

S_1ŷ= ,   S_2ŷ=

Или возьмем значения из протокола регрессионного анализа (Таблицы 13,14)

Таблица 13

Дисперсионный анализ для первой подвыборки
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1876,984	1876,984	3,3554	0,089988163
Остаток	13	7 272,094	559,3918
Итого	14	9149,077
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	11,77082	30,79139	0,382276	0,708433	-54,74994579
X3	1,20162	0,655986	1,831775	0,089988	-0,215552836

 

Таблица 14

Дисперсионный анализ для второй подвыборки
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	36933,74	36933,73501	32,6289049	7,14626E-05
Остаток	13	14 715,13	1131,933025
Итого	14	51648,86
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	-38,9791	31,3934	-1,241634014	0,236307542	-106,800435
X3	1,80897	0,316687	5,712171645	7,14626E-05	1,1248093

 

S_{1ŷ =} 7272,09376320821; 

S_{2ŷ =} 14715,13

Вычислим отношение

Табличное значение F-критерия можно  найти EXCEL: Fтабл.=  2,58

• Функция – FРАСПОБР - при доверительной вероятности 0,05;
• Степень свободы 1 = n₁ – k-1 =15—1-1=13,

где n₁ – количество наблюдений в первой подвыборке=15

k – количество оцениваемых параметров в уравнении регрессии = 1

• Степень свободы 2 = n - n₁– k-1 = 30 - 15 - 1=13,

где n – количество наблюдений в исходных данных=30

n₁ – количество наблюдений в первой подвыборке=15

k – количество оцениваемых параметров в уравнении регрессии = 1

Fтабл.= 2,58 > F_расч.=2,02

Вывод: гомоскедастичность имеет место, остатки распределены равномерно.

 

5. Проверка условия независимости случайных составляющих в различных наблюдениях. Зависимость текущих значений случайного члена от их непосредственно предшествующих значений называется автокорреляцией. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверяют с помощью dw критерия Дарбина-Уотсона:

Рассчитаем по формуле, используя надстройку Excel:

• Берем остатки из протокола регрессионного анализа для фактора Х3 (Таблица 4)

dw= = =2,066

где e_i= y_{i −} ŷ_i

или берем значение критерия Дарбина-Уотсона из протокола регрессионного анализа для фактора Х3, рассчитанного в программе SPSS:

Дурбин-Уотсон

2,066

 

d₁=1,44, d₂=1,54 < dw=2,066>2

Преобразовываем критерий по формуле dw' =4 – dw = 4-2,066 = 1,934

d₂< dw' =1,934 <2 нулевая гипотеза принимается, автокорреляция отсутствует.

Задача 2 Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя:

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5	6.4	8.4	11.4	13.4	16.4	19.4	21.4	24.4	27.4

Требуется: 

1) Проверить наличие  аномальных наблюдений. 

2) Построить линейную  модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с тремя знаками в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Выявление аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа  данных, так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина.

Для всех или только для  подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляется величина :

, где

 

Вычисляем λ_расч. для каждого наблюдения

 

t  Номер наблюдения	Y(t)   Спрос (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании	λрасч =	(yt - )2	Расчетные значения	Числовое выражение
1	6.4	−	102,232	=	16,511
2	8.4	0,278	65,788	∑(yt - )2=	416,886
3	11.4	0,415	26,122	Sy=	7,219
4	13.4	0,278	9,678
5	16.4	0,415	0,012
6	19.4	0,415	8,346
7	21.4	0,278	23,902
8	24.4	0,415	62,236
9	27.4	0,415	118,570
	16.511			∑(yt - )2	416,886