Контрольная работа по "Экономике"

Эконометрика. Вариант.  1.

ЗАДАЧА 1.

По данным, представленным в таблице 1 приложения, изучается  зависимость результативного признака от факторного признака .

Таблица 1. Исходные данные.

№	Расход на одну корову, центнеров кормовых единиц.	Среднегодовой удой молока на одну корову, ц.	№	Расход на одну корову, центнеров кормовых единиц.	Среднегодовой удой молока на одну корову, ц.
1	48,2	32,8	11	47,1	29,6
2	43,1	29,2	12	46,1	32,3
3	60,7	51,4	13	53,9	34,8
4	60,1	46,3	14	53,4	32,3
5	59,4	49,5	15	39,4	23,7
6	52,5	50,0	16	40,1	26,1
7	44,0	27,9	17	42,5	30,0
8	54,2	43,4	18	41,4	29,6
9	53,2	41,6	19	47,8	31,0
10	46,4	26,6	20	46,3	27,2

ЗАДАНИЕ.

1. Рассчитать параметры линейной регрессии.
2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
4. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.
5. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня .  Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

РЕШЕНИЕ.

Таблица 2. Исходные данные по порядку.

№	Расход на одну корову, центнеров кормовых единиц.	Среднегодовой удой молока на одну корову, ц.	№	Расход на одну корову, центнеров кормовых единиц.	Среднегодовой удой молока на одну корову, ц.
15	39,4	23,7	19	47,8	31
16	40,1	26,1	1	48,2	32,8
18	41,4	29,6	6	52,5	50
17	42,5	30	9	53,2	41,6
2	43,1	29,2	14	53,4	32,3
7	44,0	27,9	13	53,9	34,8
12	46,1	32,3	8	54,2	43,4
20	46,3	27,2	5	59,4	49,5
10	46,4	26,6	4	60,1	46,3
11	47,1	29,6	3	60,7	51,4

РЕШЕНИЕ.

1. Рассчитаем параметры линейной регрессии.

 Уравнение линейной регрессии имеет вид¹:

Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 2.

          

, .

    Составим расчётную  таблицу.

Таблица 3. Расчёты

1	23,7	39,4	933,8	1552,36	-11,065	122,43	-9,59	91,97	106,11
2	26,1	40,1	1046,6	1608,01	-8,665	75,08	-8,89	79,03	77,03
3	29,6	41,4	1225,4	1713,96	-5,165	26,68	-7,59	57,61	39,20
4	30	42,5	1275,0	1806,25	-4,765	22,71	-6,49	42,12	30,92
5	29,2	43,1	1258,5	1857,61	-5,565	30,97	-5,89	34,69	32,78
6	27,9	44	1227,6	1936,00	-6,865	47,13	-4,99	24,90	34,26
7	32,3	46,1	1489,0	2125,21	-2,465	6,08	-2,89	8,35	7,12
8	27,2	46,3	1259,4	2143,69	-7,565	57,23	-2,69	7,24	20,35
9	26,6	46,4	1234,2	2152,96	-8,165	66,67	-2,59	6,71	21,15
10	29,6	47,1	1394,2	2218,41	-5,165	26,68	-1,89	3,57	9,76
11	31	47,8	1481,8	2284,84	-3,765	14,18	-1,19	1,42	4,48
12	32,8	48,2	1581,0	2323,24	-1,965	3,86	-0,79	0,62	1,55
13	50	52,5	2625,0	2756,25	15,235	232,11	3,51	12,32	53,47
14	41,6	53,2	2213,1	2830,24	6,835	46,72	4,21	17,72	28,78
15	32,3	53,4	1724,8	2851,56	-2,465	6,08	4,41	19,45	-10,87
16	34,8	53,9	1875,7	2905,21	0,035	0,00	4,91	24,11	0,17
17	43,4	54,2	2352,3	2937,64	8,635	74,56	5,21	27,14	44,99
18	49,5	59,4	2940,3	3528,36	14,735	217,12	10,41	108,37	153,39
19	46,3	60,1	2782,6	3612,01	11,535	133,06	11,11	123,43	128,15
20	51,4	60,7	3120,0	3684,49	16,635	276,72	11,71	137,12	194,80
	695,3	979,8	35040,4	48828,3		1486,05		827,90	977,60
Среднее значение	34,765	48,99	1752,02	2441,42

 

Значения параметров линейной модели определим, используя данные таблицы 2.

          

  .

  .

Следовательно, уравнение  линейной регрессии имеет вид:

.

2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Определим линейный коэффициент  парной корреляции по следующей формуле:

.

Где  среднее значение, среднее значение. Все суммы возьмём из таблицы 3.

Тогда, линейный коэффициент парной корреляции

.

Таким образом, можно сказать, что связь между расходом кормовых единиц на одну корову и среднегодовым удоем молока на одну корову прямая и, довольно, сильная.

Рассчитаем коэффициент  детерминации, для линейной модели имеем:

.

     Вариация  результата  (среднегодового удоя молока на одну корову) на 77,68 % объясняется вариацией фактора (расходом кормовых единиц на корову).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

Составим расчётную  таблицу 3.

Таблица 3.

				Отклонение
1	23,7	39,40	23,44	0,26	1,09	0,07
2	26,1	40,10	24,27	1,83	7,02	3,36
3	29,6	41,40	25,80	3,80	12,83	14,42
4	30	42,50	27,10	2,90	9,66	8,40
5	29,2	43,10	27,81	1,39	4,76	1,93
6	27,9	44,00	28,87	-0,97	3,49	0,95
7	32,3	46,10	31,35	0,95	2,93	0,90
8	27,2	46,30	31,59	-4,39	16,13	19,26
9	26,6	46,40	31,71	-5,11	19,20	26,08
10	29,6	47,10	32,53	-2,93	9,91	8,60
11	31	47,80	33,36	-2,36	7,61	5,57
12	32,8	48,20	33,83	-1,03	3,15	1,07
13	50	52,50	38,91	11,09	22,18	122,99
14	41,6	53,20	39,74	1,86	4,48	3,47
15	32,3	53,40	39,97	-7,67	23,75	58,87
16	34,8	53,90	40,56	-5,76	16,56	33,21
17	43,4	54,20	40,92	2,48	5,72	6,16
18	49,5	59,40	47,06	2,44	4,93	5,97
19	46,3	60,10	47,88	-1,58	3,42	2,51
20	51,4	60,70	48,59	2,81	5,46	7,88
	695,3	979,8	695,30		184,30	331,67

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации:

.

 В среднем расчётные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 12,29 %. «Хорошее» значение относительной ошибки аппроксимации лежит в пределах 8 – 10 %. 

4. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

 

    Оценку значимости уравнения регрессии проведём с помощью критерий Фишера, для линейной модели справедливо соотношение:

.

Наблюдаемое значение критерий Фишера больше табличного значения для данного уровня значимости и числа степеней свободы и .

    Где   число уровней ряда, количество параметров при неизвестных.

То есть,

.

Следовательно, уравнение  регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.

Для основного теста  на значимость находим расчётное  значение Стьюдента:

,

где   стандартная ошибка коэффициента регрессии .

Аналогично,

,

 стандартная ошибка коэффициента  регрессии .

    Найденные  значения  и сравним с табличным значением , где уровень значимости, число степеней свободы. В нашем случае имеем . Тогда,

.

Найдём стандартные  ошибки для коэффициентов регрессии.

Выше нашли:

331,69; 827,90; 48828 .

Тогда,

   0,1492.

  7,3714.

    Находим расчётное  значение t – статистики Стьюдента для каждого коэффициента.

1,1808, -23,0840, 0,1492, 7,3714.

 

, .

Следовательно, (основной тест на значимость) с вероятностью 0,95

  , то  параметр  статистически значим,

  , то  параметр статистически значим.

5. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня .  Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости .