Контрольная работа по "Экономике"

- коэффициент детерминации R². Расчетное значение этого коэффициента приводится в табл.4.1 (R-квадрат) R²  = 0,712. Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов х₁ и х₂. Следовательно, около 71,2% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

- средние коэффициенты эластичности Э₁ и Э₂. Учитывая, что коэффициенты регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, рассчитаем средние коэффициенты эластичности Э₁ и Э₂ для факторов х₁ и х₂  соответственно  по формулам:

;    j = 1, 2

где, - коэффициент регрессии для фактора х_j, - среднее значение для фактора х_j (табл.1), - среднее значение для результирующей переменной y:

 

Э₁ = 0,089*59,4/78,8 = 0,067

Э₂ = 0,833*47,6/78,8 = 0,503.

 

Коэффициент эластичности показывает, насколько процентов  изменяется зависимая переменная у  от своего среднего значения при изменении фактора  х_j на один процент от своего среднего значения .

- бетта-коэффициенты ( ). Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем  бетта-коэффициенты, значения которых рассчитываются по формулам:

 ; j = 1, 2

где  - коэффициент регрессии для фактора х_j, - среднеквадратическое отклонение фактора х_j; - среднеквадратическое отклонение зависимой переменной у. Расчет среднеквадратических отклонений для факторов х_j и зависимой переменной у представлен в таблице 5.

 

Таблица 5.

(Х1-Хср)2	(Х2-Хср)2	(У-Уср)2
11,56	309,76	353,44
129,96	57,76	116,64
54,76	12,96	219,04
1,96	384,16	46,24
43,56	5,76	0,64
6,76	70,56	84,64
129,96	5,76	125,44
43,56	70,56	10,24
112,36	153,76	174,24
73,96	207,36	231,04
608,4	1278,4	1361,6
		Корень из S
Sx12	67,60	8,22
Sx22	142,04	11,92
Sy2	151,29	12,30

 

Значения бетта-коэффициентов составят:

= 0,089*8,22/12,30 = 0,059

= 0,833*11,92/12,30 = 0,807.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую  часть величины среднего квадратического  отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратической отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении ставок по кредитам на 12,30 тыс. руб. ( у = 0,46 *12,30) объем прибыли увеличится на 5,66 тыс. руб. ( у = 0,352*16,10).

-  дельта-коэффициенты ( ) оценивают долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов и рассчитываются по формулам:

 ; j = 1, 2

где  - коэффициент парной корреляции между фактором х_j и зависимой переменной у (табл.2), - бетта-коэффициент фактора х_j; R² - коэффициент детерминации (табл. 4.1).

= 0,537*0,059/0,712 =0,044

= 0,842*0,807/0,712 =0,954.

4. Оценка надежности и качества  уравнения регрессии

Качество  модели оценивается по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии  . Расчетные значения ŷ_i получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных в модель факторов. В таблице 4.4 приведены вычисленные по модели (1)  расчетные значения ŷ_i и значения остаточной компоненты , представляющие собой разности между фактическими у_i и расчетными ŷ_i значениями, т.е. =y_i - ŷ_i.

Анализ  остатков позволяет получить представление  о правильности выбора вида модели и метода оценки коэффициентов. Наглядное представление об остатках можно получить с помощью графика остатков.

 

График остатков хорошо показывает резко отклоняющиеся от модели наблюдения – выбросы. По данным графика остатков выбросами можно считать значения в четвертом и седьмом наблюдениях. Устранение выбросов может производиться  путем удаления этих точек из массива  анализируемых данных. В данном случае удаление двух наблюдений из сравнительно короткого ряда наблюдений (n = 10) нецелесообразно, оно приведет к снижению надежности оценок коэффициентов уравнения регрессии и всего уравнения в целом.  Метод механического сглаживания позволяет скорректировать аномальные значения, не сокращая количество наблюдений. В этой связи аномальное наблюдение у₄ = 72 заменяем на среднее значение между двумя соседними значениями у₃ = 64 и у₅ = 78, т.е. у₄^, = (64+78)/2 = 71. Аналогично для у₇ = 90, у₇^, = (88+82)/2 = 85. При скорректированных значениях у₄^, = 71 и у₇^, = 85 расчеты выполняются вновь по всем рассмотренным выше пунктам задания.

Проверка  значимости полученного уравнения  множественной линейной регрессии  в целом осуществлялась с помощью  F-критерия Фишера.

Расчетное значение F-критерия Фишера определялось по формуле:

= = 34,732

Табличное значение F-критерия Фишера при доверительной вероятности 0,05 при ₁ = k = 2 и ₂ = n – k – 1 = 10 – 2 – 1 = 7 составляет 4,74.

Поскольку F_расч. > F_табл., уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость уравнения множественной регрессии

Значимость коэффициентов  уравнения регрессии a₀, a₁, a₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

t_a0 = 1,859;   t_a1 = 0,238;  t_a2 = 3,206.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а₀, a₁, a₂ приведены в четвертом столбце таблицы 4.3 (использована программа Excel). Табличное значение t-критерия Стьюдента t(0,05; 7) равно t_табл = 2,36. Так как |t_расч.| < t_табл., то коэффициенты а₀, a₁  не значимы, а коэффициент a₂ значим, так как |t_расч.| > t_табл.

 

 

6. Построение точечного и интервального прогнозов результирующего показателя на два шага вперед

Прогнозируемые точечные значения результирующего показателя у_прогн  по модели  (1)  можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов. В соответствии с методом экстраполяции необходимо определить прогнозируемые значения по факторам X₁ и X₂ на первом и на втором шагах. То есть необходимо определить значения факторов X₁ и X₂ в одиннадцатом X_1,11, X_2,11 и двенадцатом X_1,12 и X_2,12 наблюдениях по наилучшим  подобранным моделям. Наилучшей считается та модель, для которой значение индекса (коэффициента) детерминации R² максимально. В качестве анализируемых рассмотрим линейную, квадратичную и степенную зависимости значений факторов X₁ и X₂ от номера наблюдения (времени t). Исходные данные представлены в табл.1.

Для фактора X₁ Ставки по кредитам выбрана модель вида:

X₁ = 0,1212*t² + 0,4727*t + 52,133,

 имеющая наибольшее  значение индекса детерминации  R² = 0,4551. По данной модели при t = 11 и t = 12 получен прогноз на 2 шага вперед. График модели временного ряда Ставки по кредитам приведен на рис. 6.1. Прогнозируемые значения по фактору X₁ составили:

X_1,11 = 0,1212*11² + 0,4727*11+ 52,133 = 71,9979

X_1,12 = 0,1212*12² + 0,4727*12 + 52,133 = 75,2582.

Для фактора X₂  Ставки по депозитам выбрана модель вида:

X₁ = - 0,0227*t² + 3,6439*t + 28,433,

которая имеет  наибольшее значение индекса детерминации R² = 0,7436

Рис. 6.1 Ставки по кредитам

. По данной модели  при t = 11 и t = 12 получен прогноз на 2 шага вперед. График модели временного ряда Ставки по депозитам приведен на рис. 6.2. Прогнозируемые значения по фактору X₂ составили:

 

X_2,11 = - 0,0227*11² + 3,6439*11 + 28,433 = 65,9735

X_2,12 = - 0,0227*12² + 3,6439*12 + 28,433 = 68,891 .

 

Рис. 6.2. Ставки по депозитам 

Для получения точечных оценок прогноза зависимой переменной  у_прогн в   одиннадцатом у_{прогн., 11} и двенадцатом у_{прогн., 12} наблюдениях по модели:

у  = 33,846 + 0,089*x₁ + 0,833*x₂

подставим в нее найденные  прогнозные значения факторов X₁, X₂ соответственно в   одиннадцатом X_1,11, X_2,11 и двенадцатом X_1,12,  X_2,12 наблюдениях:

у_{прогн., 11} = 33,846 + 0,089*71,9979 + 0,833*65,9735= 95,2097,

у_{прогн., 12} = 33,846 + 0,089*75,2582 + 0,833*68,891= 97,9302.

Предельная ошибка прогноза, которая  в 95% случаев не будет превышена, составит:

=   = _,

где 

- среднеквадратическое отклонение  зависимой переменной у; 

= 7,488 (табл.4.1. стандартная ошибка);

t_кр – критическое или табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости  = 0,05, т.е. при доверительной вероятности 95%, и числе степеней свободы = n - m – 1 = 10 - 2 - 1 = 7; t_кр (0,05; 7) = 2,36;

X      -        матрица значений факторов X₀, X₁, X₂, включенных в модель (табл.3); размерность матрицы X – (10 3);

X^T     -       транспонированная матрица X; размерность матрицы   X^T – (3 10);

(X^T*X)^-1  - матрица обратная к матрице X^T*X; размерность матриц X^T*X и (X^T*X)^-1 – (3 3);

X_пр     -     матрица-столбец прогнозируемых значений факторов; размерность матрицы   X_пр – (3 1);

X_пр^T    -     транспонированная матрица прогнозируемых значений факторов X_пр; размерность матрицы  X_пр^T  – (1 3).

Расчеты интервального  прогноза представлены в приложениях (в таблицах Excel).

Предельная ошибка прогноза на первом шаге, т.е. в одиннадцатом наблюдении составит:

11 =   = 7,488*2,36*0,656 = 11,586.

Предельная ошибка прогноза на втором шаге, т.е. в двенадцатом  наблюдении составит:

12 =   = 7,488*2,36* 0,765  = 13,512.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

- верхняя граница прогноза: у_прогн. +

- нижняя граница  прогноза: у_прогн.  - 

Результаты расчетов прогнозных оценок модели регрессии представлены в таблице 6.

Результаты прогнозирования                        Таблица 6.

Шаг	Точечн. прогноз	Предел. ошибка	Нижняя граница	Верхняя граница
1	95,2097	11,586	83,6236	106,7959
2	97,9302	13,512	84,4187	111,4417

 

 

 

 

1. Построение линейной модели парной  регрессии                           Таблица 1.1

 

t	y	x	y*x	x*x	yi-yср	(yi-yср)2	xi-xcр	(xi-xcр)2	yрасч	ei=yi-yрасч	abs(ei/yi) *100%	(yi-yср)* (xi-xср)	(y-yрасч)/y
1	40	22	880	484	-13,429	180,327	-15,857	251,449	40,792	-0,792	1,979	212,939	-0,020
2	44	28	1232	784	-9,429	88,898	-9,857	97,163	45,573	-1,573	3,575	92,939	-0,036
3	48	30	1440	900	-5,429	29,469	-7,857	61,735	47,167	0,833	1,735	42,653	0,017
4	52	32	1664	1024	-1,429	2,041	-5,857	34,306	48,761	3,239	6,229	8,367	0,062
5	56	44	2464	1936	2,571	6,612	6,143	37,735	58,324	-2,324	4,150	15,796	-0,041
6	64	51	3264	2601	10,571	111,755	13,143	172,735	63,903	0,097	0,152	138,939	0,002
7	70	58	4060	3364	16,571	274,612	20,143	405,735	69,481	0,519	0,741	333,796	0,007
итого	374	265				693,714		1060,857		0,000	18,562	845,429	-0,008
ср. знач	53,429	37,857	2143,429	1584,714							2,652
дисперия
Урасч.=а+bx		b	0,797
		a	23,259
				ry,x	0,986
				линейный коэф парной регрессии
				R2=ry,x2	0,971
				коэф детерминации
				F	168,714
				оценка значимости ур-я регрессии
				Еср.отн	2,652
				средняя относительная ошибка