Математические методы в экономике

российская  федерация

министерство  образования и науки

федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Тюменский государственный  университет

международный институт финансов, управления и бизнеса

институт  дистанционного обазования

 

 

В. А. Аксентьев

 

 

математические методы в экономике

Практикум

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Издательство

Тюменского  государственного университета

2007

 

В.А. Аксентьев. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ. Практикум. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2007

 

Учебное пособие составлено в соответствии с действующей программой курса «Математические методы в экономике». Включает в себя теоретический материал, подробное описание основных методов решения, множество разобранных примеров и задач, демонстрирующих особенности алгоритма при различных числовых данных, 900 типовых задач для самостоятельного решения, подготовленные автором, список рекомендуемой литературы, ответы. Предназначено для студентов направления «Экономика» всех форм обучения, в том числе заочной с применением дистанционных технологий, и преподавателей, ведущих практические занятия.

 

 

 

Рекомендовано УМК Международного института финансов, управления и  бизнеса, Редакционно-издательским советом  ИДО ТюмГУ

Обсуждено и одобрено на заседании кафедры математических методов и информационных технологий в экономике МИФУБ

 

 

Рецензенты:

 

 

Ответственный за выпуск: А.В. Трофимова, зав. отделом учебно-методического обеспечения ИДО ТюмГУ

 

 

© ГОУ ВПО Тюменский государственный  университет,2007

© Институт дистанционного образования, 2007

© Международный институт финансов, управления и бизнеса, 2007

© Издательство Тюменского государственного университета, 2007

© В.А. Аксентьев, 2007

 

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Рабочая программа

Пояснительная записка

Содержание дисциплины

Рекомендации по самостоятельной  работе обучающегося

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ГЛАВА 1. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ …………………………..

Пример 1.1…………………………………………………………………

Практикум по теме 1. Задачи 1 – 100……...…………………………….

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ……………….

Формулировка задачи……………………………………………..……..

Свойства решений задачи……………………………………….……….

Графический метод решения  стандартной задачи………………..........

Примеры графического решения  стандартной задачи ………………..

Пример 2.1 (единственный минимум, единственный максимум).........

Пример 2.2 (альтернативные оптимальные планы на отрезке)………..

Пример 2.3 (альтернативные оптимальные решения на луче)..……….

Пример 2.4 (неограниченное значение целевой функции)…….……....

Пример 2.5 (множество решений пусто)…………………..……………

Пример 2.6 (множество решений  состоит из одной точки)……………

Графический метод решения  канонической задачи……………..……..

Пример 2.7…………………………………………………………………

Алгоритм симплекс-метода……………………………………..……….

Пример 2.8 (единственный оптимальный план)………………………..

Метод искусственного базиса……………………………………..……..

Пример 2.9 (применение метода искусственного базиса)..…….………

Пример 2.10 (единственное оптимальное решение)………….………...

Пример 2.11 (множество решений пусто)………………………....…….

Пример 2.12 (целевая функция не ограничена)……………….....……...

Двойственность в линейном программировании……………………….

Правила построения двойственных задач……………………………….

Несимметричные двойственные задачи…………………………………

Пример 2.13 (применение первой теоремы двойственности)…….……

Симметричные двойственные задачи……………………………………

Пример 2.14 (вторая теорема двойственности)………….……………...

Пример 2.15 (комплексная задача 1)…………………………………….

Пример 2.16 (вырожденное оптимальное решение прямой задачи, альтернативные оптимальные решения двойственной)………………..

Пример 2.17 (комплексная  задача 2)……………………………………

Практикум по теме 2. Задачи 101 – 200 ………………………………..

Практикум по теме 2. Задачи 201 – 300 ………………………………..

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 3. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА………………………………………..

Постановка задачи и ее математическая модель……………………..

Пример 3.1………………………………………………………………..

Метод северо-западного  угла…………………………………………...

Пример 3.2………………………………………………………………..

Метод минимального элемента…………………………………………

Пример 3.3………………………………………………………………..

Метод Фогеля……………………………………………………………

Пример 3.4………………………………………………………………..

Пример 3.5………………………………………………………………..

Циклы в транспортной задаче……………………………………………

Метод потенциалов……………………………………………………...

Пример 3.6………………………………………………………………..

Открытая модель транспортной задачи. Пример 3.7…………………..

Практикум по теме 3. Задачи 301 – 400 ………………………….........

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА НА СЕТИ……………………………

Метод потенциалов……………………………………………………...

Пример 4.1………………………………………………………………..

Практикум по теме 4. Задачи 401 – 500 ………………………….........

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 5. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ………………………………………

Метод потенциалов……………………………………………………...

Пример 5.1………………………………………………………………

Пример 5.2……………………………………………………………….

Венгерский метод………………………………………………………..

Пример 5.3………………………………………………………………..

Пример 5.4. Задача о разборчивой невесте……………………………

Практикум по теме 5. Задачи 501 – 600 ………………………….........

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 6. Транспортная задача с ограниченными пропускными

способностями………………………………………………………………….

Метод потенциалов…………………………………………………..

Пример 6.1 (неразрешимая задача)…………….………….……….......

Пример 6.2………………………………………………………………..

Классический метод…………………………………………………….

Метод минимального резерва пропускной способности………..........

Практикум по теме 6. Задачи 601 – 700 ……………………………….

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР………………………………………..

Практикум по теме 7. Задачи 701 – 800 ……………………………….

Вопросы для самопроверки

ГЛАВА 8. ЛИНЕЙНОЕ И ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ...

Практикум по теме 8. Задачи 801-900………………………………….

Вопросы для самопроверки

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ  ПРАКТИКУМА…………………………………………

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

Тесты для самоконтроля

Указания по выполнению контрольных работ

Вопросы к зачету

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современных условиях возрастает устойчивая потребность освоения математических методов для использования в реальной экономической и управленческой практике. В связи с этим появилось большое количество работ, посвященных различным разделам прикладной математики, информационным технологиям, теории оптимизации. Однако, наряду с учебниками и справочниками, для подготовки экономистов требуются задачники для закрепления теоретического материала на практических занятиях и при самостоятельной работе студентов. Особый спрос на задачники возникает при заочной и дистанционной формах обучения.

Это обстоятельство послужило  поводом для написания практикума по математическим методам в экономике. Данное учебное пособие составлено в соответствии с Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования.

В разделе «Математические  методы в экономике» студенты знакомятся с понятием математической модели и  изучают методы решения задач.

В учебное пособие включены задачи принятия решений и оптимизации ресурсов. Рассмотрены основные экономико-математические методы и модели: исследование систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса; решение задач линейного программирования графическим методом и симплекс-методом; теория двойственности; методы решения простейшей транспортной задачи и транспортной задачи с ограниченными пропускными способностями; оптимизация на сетях; решение задачи о разборчивой невесте методом потенциалов и венгерским методом; решение задачи целочисленного линейного программирования методом Гомори; элементы теории игр. Особое место уделено эвристическому методу минимального резерва пропускной способности для построения допустимого множества перевозок.

Все темы снабжены краткими теоретическими сведениями, в которых приведены постановка задач, основные определения и описание методов решения. Затем дается подробное решение типовых задач и экономическая интерпретация полученного результата, выявление особенностей, возникающих при различных числовых данных.

В конце каждой темы формулируются контрольные задания  для практикума и приводится 100 вариантов типовых задач для самостоятельного решения. В пособии содержится 900 задач, подготовленных автором специально для этого сборника. Все задачи снабжены ответами.

Большое число примеров и задач позволит использовать эту книжку на практических занятиях и для формирования контрольных работ, а также для самостоятельного изучения.

Учебное пособие подготовлено доцентом кафедры математических методов и информационных технологий в экономике МИФУБ Тюменского государственного университета, кандидатом экономических наук В. А. Аксентьевым.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА  ДИСЦИПЛИНЫ

Пояснительная записка

Предметом курса является теоретический материал, охватывающий указанный раздел, прикладные задачи экономического характера, решаемые математическими методами.

Цели курса: познакомить студентов с основными типами задач прикладного, экономического характера, решаемых с помощью математических методов; научить строить математические модели, отражающие сущность задачи, проводить анализ построенной экономической модели; выбор наиболее удачного метода решения, возможности решения данной задачи с применением современных пакетов прикладных программ; анализировать полученные результаты с математической и экономической точки зрения; а так же помочь студентам овладеть искусством принятия эффективных управленческих решений, распределения и оптимизации ресурсов; создать базу для изучения специальных дисциплин, связанных с математическим моделированием социально-экономических систем и процессов.

Студент, успешно освоивший  программу курса, должен

знать:

− теорию систем линейных уравнений, методы их решения;

− постановку основных типов  задач линейного программирования;

− графический метод решения задачи линейного программирования, возможности его применения;

− симплекс-метод для  решения задачи линейного программирования;

− метод потенциалов  для решения транспортной задачи;

− основные теоремы двойственности;

− метод Гомори;

− венгерский метод.

уметь:

− вычислять определители и находить обратную матрицу методом  Жордана-Гаусса;

− исследовать неопределенные системы линейных уравнений методом  полного исключения неизвестных;

− выписывать общее и  базисное решение системы;

− строить по текстовой задаче математическую модель;

− объяснять смысл  переменных и ограничений в задаче линейного программирования;

− приводить задачу к  каноническому виду;