Математические методы в экономике

Большое количество числовых задач включают все особенности  предложенных математических моделей и алгоритмов. Из них можно составить множество комплектов контрольных работ, при решении которых у студента возникнет необходимость думать, помня, что «главная цель расчетов − не цифры, а понимание» (Хемминг).

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

Тесты для самоконтроля

Тесты для самопроверки размещены в учебном пособии: Аксентьев В.А., Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. «Математические методы в экономике и финансах»,  Тюмень: издательство ТюмГУ, 2007.

 

 

Указания по выполнению контрольных работ

Изучение дисциплины заканчивается выполнением домашней контрольной работы, состоящей из 6 задач, которые следует выбирать из учебного пособия [1]. Из каждой сотни задач (1-100,  101-200,  201-300,  301-400,  401-500,  501-600) выбирается одна. Номер задачи определяется по двум последним цифрам зачетки. Например, номер зачетки заканчивается цифрами 07 – контрольная работа будет состоять из задач (7, 107, 207, 307, 407, 507), если номер заканчивается цифрами 00 – из задач (100, 200, 300, 400, 500, 600).

Ссылка на методические указания по решению задач контрольной работы записаны в таблице

 

Задача	Задания (страницы)	Пример решения (страницы)	Литература
1	12	7 – 10	[1]
2	84	61 – 63, 75 – 77	[1]
3	91	37 – 40, 54 – 60, 68 –  71, 74	[1]
4	116	105 – 108, 111 – 116	[1]
5	143	135 – 143	[1]
6	196	180 – 187, 191 - 196	[1]

 

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу  следует выполнять в отдельной  тетради чернилами любого цвета,  кроме красного, оставляя поля  для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради  должны быть ясно написаны  фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует указать использованную литературу.

3. В работу должны  быть включены все задачи, указанные  в задании, строго по своему варианту, Контрольные работы, содержащие не все задачи  или задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решение задач необходимо  располагать в порядке, указанном  в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой  задачи необходимо полностью  написать ее условие. В том случае, если несколько задач имеют общую формулировку, следует заменить общие данные числовыми из соответствующего номера.

6. Решение следует  излагать подробно и аккуратно,  объясняя все действия по ходу  решения и делая необходимые  чертежи.

7. После получения прорецензированной работы как допущенный, так и не допущенный к собеседованию студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях должны обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия к ней. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. По каждой работе  проводится собеседование, после  чего выставляется зачет по контрольной работе. Без зачтенной контрольной работы студент к зачету (экзамену) не допускается.

9. Студентам, не выполнившим  контрольную работу до начала  экзаменационной сессии, может быть предложена аудиторная контрольная работа во время сессии.

 

 

Вопросы к зачету

1. Предмет математических  методов в экономике. Этапы  решения задач о принятии решений.

2. Примеры конкретных  практических задач с экономическим  содержанием и их математическая формулировка: задача о раскрое; задача о ресурсах; задача о диете; задача об инвестициях; транспортная задача, задача о загрузке оборудования.

3. Решение систем линейных  уравнений методом полного исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса). Вывод формул пересчета коэффициентов системы. Базисные неизвестные. Свободные неизвестные. Общее решение. Частное, базисное решение. Геометрическая интерпретация базисного решения.

4. Разложение векторов  по векторам базиса. Теорема о  единственности разложения. Переход от одного базиса к другому.

5. Основная задача  линейного программирования. План, оптимальный план.

6. Стандартная задача  ЛП. Каноническая задача ЛП. Опорный  план. Приведение основной задачи ЛП к каноническому виду.

7. Выпуклые множества.  Внутренние, граничные, крайние (угловые) точки. Выпуклый многоугольник, многогранник, опорная плоскость.

8. Объединение множеств, пересечение множеств, лемма о  пересечении выпуклых множеств.

9. Теорема о представлении  выпуклого многогранника через  угловые точки.

10. Геометрическая интерпретация  задачи ЛП.

11. Теорема о выпуклости планов задачи ЛП.

12. Теорема о достижении  оптимума в угловой точке многогранника решений. Альтернативный оптимум.

13. Теорема о соответствии  угловой точки многогранника  решений линейно независимой  системе векторов.

14. Теорема о соответствии линейно независимой системы векторов угловой точке многогранника решений.

15. Графический метод  решения стандартной задачи ЛП  с двумя переменными.

16. Графический метод  решения канонической задачи  ЛП, где число переменных больше двух.

17. Идея симплекс-метода. Построение опорных планов. Вывод формулы пересчета коэффициентов.

18. Теорема о возможности  улучшения плана для задачи  на минимум. Критерий оптимальности.

19. Теорема о возможности  улучшения плана для задачи  на максимум. Критерий оптимальности.

20. Алгоритм симплекс-метода, алгебра симплекс-метода.

21. Составление первой  симплекс-таблицы, переход к последующим, контроль за ведением таблиц.

22. Геометрический и  экономический смысл симплекс-метода.

23. Поиск начального  опорного плана методом искусственного базиса. Признак неразрешимости задачи ЛП.

24. Задачи со смешанными  ограничениями и методы их  решения.

25. Понятие о двойственных  задачах ЛП. Примеры построения  двойственных задач, имеющих экономическое содержание.

26. Основная задача ЛП и двойственная к ней (правила построения двойственных задач).

27. Несимметричные двойственные  задачи. Первая теорема двойственности.

28. Вторая теорема двойственности. Условия дополняющей нежесткости.

29. Определение решения  двойственной задачи, используя оптимальную симплекс-таблицу прямой задачи (по первой теореме двойственности).

30. Определение оптимального  решения прямой задачи по решению двойственной, используя условия дополняющей нежесткости.

31. Общая постановка  транспортной задачи по критерию стоимости и ее математическая модель. Допустимый план. Оптимальный план. Вырожденность. Закрытая транспортная задача. Открытая модель.

32. Теорема о допустимости  и разрешимости закрытой транспортной задачи.

33. Теорема о ранге  системы ограничений-уравнений закрытой транспортной задачи.

34. Определение цикла.  Примеры построения циклов. Теорема  о четности вершин в цикле.  Означенный цикл. Цикл пересчета.

35. Методы построения  начального плана транспортной  задачи: «северо-западного угла»,  «минимального элемента», «двойного предпочтения», «метод Фогеля».

36. Критерий оптимальности  транспортной задачи. Метод потенциалов (теоретическое обоснование).

37. Сетевая постановка  транспортной задачи по критерию  стоимости. Опорные планы. Требования, предъявляемые к опорному плану.

38. Метод потенциалов  для транспортной задачи на  сети. Вычисление потенциалов. Условия оптимальности. Переход от одного плана к другому.

39. Постановка задачи  «о  разборчивой невесте» , ее  математическая формулировка (запрет на многомужество, многоженство и однополые браки).

40. Метод потенциалов  для задачи «о разборчивой  невесте». Решение проблемы вырожденности. Критерий оптимальности.

41. Определение эквивалентности  матриц. Теорема Эгервари.

42. Венгерский метод  для решения задач о назначениях, «о разборчивой невесте».

43. Двойственный симплекс-метод.  Правила выбора ведущего элемента.

44. Целочисленное программирование. Метод Гомори. Вывод формулы отсекающей гиперплоскости.

45. Метод ветвей и  границ.

45. Понятие о выпуклом  программировании.

46. Вычислительные методы  квадратичного программирования.

47. Простейшие задачи  динамического программирования. Вывод  рекуррентных соотношений.

48. Постановка транспортной  задачи с ограниченными пропускными способностями коммуникаций по критерию стоимости. Математическая модель задачи.

49. Критерий оптимальности  задачи Td, метод потенциалов.

50. Классический метод  построения опорного плана задачи Td.

51.Метод минимального  резерва пропускной способности  для построения опорного плана задачи Td.

 

 

Список источников информации

Основная

1. Аксентьев В.А. Сборник задач по математическим методам в экономике. Учебное пособие для студентов экономических специальностей. Тюмень: издательство ТюмГУ, – 2003, 264 с.
2. Аксентьев В.А., Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Математические методы в экономике и финансах. Учебное пособие для студентов экономических специальностей дистанционной формы обучения.  Тюмень: издательство ТюмГУ, 2007. – 600 с.
3. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 902 с.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

4. Аксентьев В.А. Математическое программирование. Методическое пособие для студентов. Тюмень: издательство ТюмГУ, 1992. – 73 с.
5. Аксентьев В.А. Руководство к решению задач по математическим методам в экономике. Тюмень: издательство ТюмГУ, 2006. – 52 с.
6. Аксентьев В.А. Транспортные задачи с ограниченными пропускными способностями коммуникации (метод потенциалов). Тюмень: издательство ТюмГУ, 1990. – 38 с.
7. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. «Высшая школа», 1986. – 318 с.
8. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. М.: Изд-во МГУ, 1977. – 256 с.
9. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 1 / Пер. с англ. Б.Т. Вавилова. – М.: Издательство «Мир», 1972. – 331 с.
10. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 2 / Пер. с англ. В.Я. Алтаева. – М.: Издательство «Мир», 1973. – 488 с.
11. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 3 / Пер. с англ. Б.Т. Вавилова. – М.: Издательство «Мир», 1973. – 501 с.
12. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1977. – 368 с.
13. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997, - 407 с.
14. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. «Высшая школа», 1975.
15. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования, ЛГУ, 1976, 192 с.
16. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: математическое программирование. Минск.: «Высшая школа», 1994. – 286с.
17. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Учебник, 2-е издание<span class="dash041e_0431_044b_0447_043d_044b_0439__C