Многоканальная СМО с отказами

Выражение для стационарного числа N заявок в системе нетрудно получить либо непосредственно из распределения вероятностей (4), либо воспользовавшись очевидным соотношением .

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Стационарное распределение W(x) времени ожидания начала обслуживания принятой в систему M/M/n/r заявки вычисляется практически так же, как и для системы . Заметим, что заявка, заставшая при поступлении i других заявок в системе, немедленно начинает обслуживаться, если i<n. При полностью загруженной системе заявки выходят из нее через экспоненциально распределенные с параметром времена.

Путем несложных преобразований находим, учитывая независимость времени обслуживания от времени ожидания начала обслуживания, находим, что стационарное распределение V(x) времени пребывания в системе принятой к обслуживанию заявки имеет ПЛС

.

Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания и пребывания заявки в системе задаются формулами:         ,  .

Последнее выражение можно также получить из формул Литтла.

Нестационарные характеристики

Нестационарное распределение числа заявок в системе получается интегрированием системы (1) с учетом начального распределения .

Если , то система (1) представляет собой линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Выходящий поток

В системе , в установившемся режиме поток заявок, покидающих систему, является пуассоновским. То же самое можно сказать и о выходящем потоке из системы M/M/n/r, если понимать под ним суммарный поток как обслуженных, так и потерянных заявок. Доказательство этого с помощью метода обращения времени полностью совпадает с доказательством аналогичного факта для системы .

 

2 Обоснование и выбор инструментальной среды для проведения расчетов

Моделирование систем является важным инструментом, когда необходимо понять, объяснить непонятную проблему или решить поставленную задачу с помощью компьютера. Серией компьютерных экспериментов исследуют модель и получают подтверждение или опровержение передэкспериментальных гипотез о поведении модели.

Результаты поведения модели менеджер использует для реального объекта, то есть принимает плановое или прогнозируемое решение, полученное с помощью исследования модели.

Simulink – это компьютерная  программная система для моделирования систем управления. Simulink является составным элементом Matlab и использует для моделирования все возможности. С помощью Matlab Simulink моделируются линейные, нелинейные, дискретные, стохастические и гибридные системы.

При этом, в отличие от классических способов моделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и многочисленные методы математики, а достаточно общих знаний, которые нужны для работы с компьютером, и знаний о той предметной области, в которой он работает.

При работе в Matlab Simulink можно моделировать динамические системы, выбирать методы решения дифференциальных уравнений, а также способов изменения модельного времени (с фиксированным или переменным шагом). В ходе моделирования имеется возможность следить за процессами, которые происходят в системе. Для этого используются специальные устройства наблюдения, входящие в состав библиотеки Simulink. Результаты моделирования могут быть представлены в виде графиков и таблиц.

Преимущество Simulink заключается в том, что он позволяет пополнять библиотеки блоков с помощью программ, написанных как на языке Matlab, так и на языках С++, Fortran и Ada.

Исследуемую модель системы составляют в виде блок-схемы. Каждый типичный блок является объектом с графическими чертежами, графическими и математическими символами исполняемой программой и числовыми или формульными параметрами. Блоки соединяются линиями, которые отражают движение материальных, финансовых и информационных потоков между объектами.

 Одной из самых  распространенных областей, в которой  используется инструментарий Matlab Simulink, является экономика. Simulink, в частности  используется при исследовании  таких экономических процессов  как рыночное равновесие, проектирование  оптимальных ставок налогообложения бизнеса, анализ динамики циклов и кризисов, оптимальное планирование на фирмах, в банках, страховых компаниях и пенсионных фондах.

Итак, Matlab Simulink – это система имитационного моделирования, которая позволяет удобно и легко строить и исследовать модели экономических процессов. 
3 Алгоритмическое обеспечение

3.1 Постановка задачи

В качестве многоканальной СМО с отказами рассмотрим работу вычислительного центра.

В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч).

Требуется определить основные характеристики эффективности данной СМО, если интенсивность, с которой каждая ЭВМ обслуживает заказ, равна 1/3 заявки в час, а интенсивность, с которой заявки поступают в вычислительный центр, равна 0,25 единиц в час. Рассмотреть случай увеличения количества ЭВМ на 2 единицы в центре и проследить, как изменятся основные характеристики этой системы. По результатам анализа полученных результатов, дать рекомендации относительно оптимального числа каналов обслуживания.

Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; λ = 0.25 ед. в час.; = 1/3 в час.

 

3.2 Математическая модель

Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна , а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 2.

Рисунок 2 – График состояний многоканальной СМО с отказами

Состояние S0 означает, что все каналы свободны, состояние Sk (k = 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять и

    (3.1)

При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:

    (3.2)

     (3.3)

Формулы (3.2) и (3.3) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки р_отк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn. Таким образом,

      (3.4)

Относительную пропускную способность СМО найдём из (3.4):

    (3.5)

Абсолютную пропускную способность найдём из (3,5):

Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти таким образом: так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок, то можно найти по формуле:

 

3.3 Построение моделей СМО с отказами в Simulink

3.3.1 для 3-х канальной СМО

Рисунок 3 Модель СМО с 3-мя каналами обслуживания

Рисунок 3 (продолжение) Модель СМО с 3-мя каналами обслуживания

 

В моделях, реализованных в Simulink, есть возможность вывести значения показателей эффективности СМО. При изменении входных параметров, значения будут пересчитываться автоматически.

Система массового обслуживания с тремя каналами может находиться в четырех состояних: S0 – все каналы свободны, S1 – 1 канал занят, S2 – 2 канала занято, S3 – все 3 канала заняты. Вероятности этих состояний представлены на рисунке 4.

Рисунок 4 Вероятности состояний для СМО с 3-мя каналами

 

3.3.2 Для 5-канальной СМО

Рисунок 5 Модель СМО с 5-ю каналами

Рисунок 5 (продолжение)  Модель СМО с 5-ю каналами

 

Как и в случае n=3 для СМО с n=5 реализован вывод значений показателей эффективности в самой модели.

Система массового обслуживания с пятью каналами может находиться в шести состояних: S0 – все каналы свободны, S1 – 1 канал занят, S2 – 2 канала занято, S3 –3 канала заняты, S4 –4 канала заняты, S5 –все 5 каналов заняты. Вероятности этих состояний представлены на рисунке 7

Рисунок 6 Вероятности состояний для СМО с 5-ю каналами

 

3.4 Расчет показателей  эффективности

Расчет показателей эффективности систем массового обслуживания с тремя и пятью каналами был произведен с помощью пакета MS Excel по формулам, описанным в параграфе 3.2

3.4.1 для 3-х канальной  СМО

n (число каналов обслуживания)	3
ʎ (интенсивность входящего потока заявок)	0,25
µ (интенсивность потока обслуженных заявок, выходящих из одного канала)	0,33333
ρ (приведенная интенсивность потока заявок)	0,75
вероятности состояний
P_0	0,47584
P_1	0,35688
P_2	0,13383
P_3	0,03346
сумма вероятностей	1
Q (относительная пропускная способность  СМО)	0,96654
A (абсолютная пропускная способность  СМО)	0,24164
P_serv (вероятность того, что заявка  будет обслужена)	0,96654
P_otk (вероятность того, что заявка  получит отказ)	0,03346
n' (среднее число занятых каналов)	0,72491

Таблица 1 Расчет показателей эффективности трехканальной СМО

 

3.4.2 Для 5-канальной  СМО

n (число каналов обслуживания)	5
ʎ (интенсивность входящего потока заявок)	0,25
µ (интенсивность потока обслуженных заявок, выходящих из одного канала)	0,33333
ρ (приведенная интенсивность потока заявок)	0,75
вероятности состояний
P_0	0,47243
P_1	0,35432
P_2	0,13287
P_3	0,03322
P_4	0,00623
P_5	0,00093
сумма вероятностей	1
Q (относительная пропускная способность  СМО)	0,99907
A (абсолютная пропускная способность  СМО)	0,24977
P_serv (вероятность того, что заявка будет обслужена)	0,99907
P_otk (вероятность того, что заявка  получит отказ)	0,00093
n' (среднее число занятых каналов)	0,7493

Таблица 2 Расчет показателей эффективности пятиканальной СМО

 

3.5 Анализ результатов  моделирования

Параметр	Теоретическое значение	Эмпирическое значение	Отклонение (в долях)
P_0	0,47584	0,487	0,023
P_otk	0,03346	0,03136	0,07
Q	0,96654	0,9686	0,002
A	0,24164	0,2422	0,002
n'	0,72491	0,7265	0,002