Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій

Міністерство освіти і науки  України

Рівненський економіко-гуманітарний та інженерний коледж

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВА РОБОТА

на тему:

“Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій”

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

Вступ ……………………………………………………………………………...3

1.Загальна постановка  і аналіз.

1.1 Формули прямокутників  і трапеції ………………….…………….4

1.2. Формула Сімпсона  …………………………………………………...8

1.3 Параболічне інтерполювання  ……………………………………...9

1.4 Дроблення проміжку  ………………………………………………..13

1.5 Залишковий член формули прямокутників …………………..15

1.6 Залишковий член  формули трапеції ……………………………18

1.7 Залишковий член  формули Сімпсона ………………………….20

2.Програма Порівняння  методів Сімпсона, прямокутників,  трапецій

2.1. Проект програми  …………………………………………………….23

2.2. Інструкція користувачу …………………………………….………25

Висновок ……………………………………………………………….………27

Використана література …………………………………………………….28

Додатки ………………………………………………………………..………..29 
Вступ.

При розв’язуванні математичних, інженерних, фізичних задач досить часто виникає потреба обчислювати визначені інтеграли. Лише в небагатьох випадках для їх обчислення можна отримати аналітичні вирази для первісних підінтегральних функцій. Тому в більшості випадків користуються чисельними методами інтегрування.

Чисельне інтегрування – одна з найбільш важливих тем обчислювальної математики.

В роботі ми розглянемо наступні методи чисельного інтегрування:

1. лівих та правих прямокутників;
2. трапецій;
3. Сімпсона;

Для демонстрації роботи методів чисельного інтегрування слід розробити програму, за допомогою якої буде автоматизовано інтегрування фіксованого переліку елементарних функцій.

В роботі слід виконати наступні завдання:

1. розглянути теоретичні основи найпоширеніших методів чисельного інтегрування;
2. розробити алгоритми знаходження інтегралів відповідно до кожного із розглянутих методів;

розробити програму для демонстрації реалізації методів чисельного інтегрування; 
1. Загальна постановка й аналіз.

1.1. Формули  прямокутників і трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу  , де є деяка задана на  проміжку неперервна  функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж – мінуючи первісну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можна ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіше всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючи ту думку, яка привела нас до самого поняття про визначений інтеграл, можна розбити усю фігуру  (мал. 1) на смуги, однієї і той же ширини , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приведе нас до формули:

,

де  . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

 

На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді

 

.     (1)

 

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природно приводять  і до другої, наближеної формули, що часто використовується. Замінивши  дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках , де . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (мал2.). Якщо, як і раніше рахувати, що  
проміжок розбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

 

.

 

 

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

 

.     (2)

 

Це так звана формула трапецій.

Можна показати, що при зростанні 

до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменшується. Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.  
1.2. Формула Сімпсона

Якщо для кожної пари відрізків  побудувати многочлен другого ступеня, потім про інтегрувати його і скористатися властивістю адитивності інтеграла, то одержимо формулу Сімпсона.

Розглянемо підінтегральну функцію  на відрізку . Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним многочлен Лагранжа другого ступеня, що збігає з у крапках :

Проінтегруємо: :

Формула:

і називається формулою Сімпсона.

       Отримане для інтеграла значення збігається із площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю , прямими , і параболою, що проходить через точки  
1.3. Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла  можна спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом

       (3)

і покласти

Можна сказати, що тут – при обрахуванні  площі – дана крива  замінюється на параболу - го порядку (3), в зв’язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, є многочлен , і його вираз дається інтерполяційною формулою Лагранжа:

При інтерполюванні виходить лінійний многочлен, відносно значень

вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіцієнти , можна їх  використовувати для будь-якої функції в даному проміжку .

В найпростішому випадку, при 

, функція просто замінюється сталою , де – будь-яка точка у проміжку , скажемо середня: .

Тоді наближено:

      (4)

Геометрично – площа криволінійної  фігури замінюється тут площею прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то

     (5)

і, як легко  обчислити,

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

На цей раз площа криволінійної  фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка  сполучає її кінці.

Менш тривіальний результат  отримаємо взявши . Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд

   (7)

 

За допомогою легкого обчислення вираховуємо

 

 

і, аналогічно

 

,

.

 

Таким чином, приходимо до наближеної формули

 

.

Тут площа фігури під даною  кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.

Збільшуючи степінь  інтерполяційного многочлена, тобто проводячи параболу (3) через все більше число даної кривої, можна отримати більшу точність. Але більш практичним виявляється інший шлях, якій ґрунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.  
1.4. Дроблення проміжку.

При обчисленні інтегралу  можна зробити так. Розіб’ємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків

 

          ,

 

в зв’язку  з чим, шуканий інтеграл постане  у вигляді суми

 

          (9)

 

Тепер же до кожного із цих проміжків  застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).

Виходячи із формул (4) або (6), ми таким  шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і  трапецій, (1) і (2).

Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості  запишемо, як і вище,

 

,   ,   .

 

Ми отримаємо:

 

,

,

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

.

 

Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули 

 

  (10)

Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для  наближеного обчислення інтегралів частіш, аніж формулами прямокутників і трапецій, бо вона – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.  
1.5. Залишковий член формули прямокутників.

Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в

 

,

де    міститься між та і залежить від .

Якщо про інтегрувати цю рівність у проміжку від  до , то другий член з права зникне, бо

                (11)

 

Таким чином, отримаємо 

 

, 

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд

 

.

 

Позначивши через  і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати

, 

де  міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно:

.               (12)

 

Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати  точну формулу:

 

.

 

Додавши ці рівності (при  ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях

 

,  

де вираз:

 

і є залишковий член формули прямокутників (1). Так  як вираз:

 

також знаходиться  між і , то і він представляє одне із значень функції .

Тому остаточно маємо 

 

            (13).

При зростанні  цей додатковий член спадає приблизно як  . 
1.6. Залишковий член формули трапеції.

Займемось тепер формулою (6) при  попередніх здогадках відносно функції  . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати

 

      .

 

Інтегруючи цю формули від  до , знайдемо

 

,

так що залишковий член формули (6) буде