Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій

 

.

 

Як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної  функції і тут не змінює знака, знайдемо

 

       .

 

Для випадку ділення проміжку на рівних частин

 

                  (14).

Таким є залишковий член формули  трапецій (2). При зростанні  він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.  
1.7. Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, до формули (8). Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено вище, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти:

 

            (15).

 

Проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.

Вираз:

,

яким  би не було число  , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом – в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.

 

Тепер проінтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що

 

 

 

так як

 

.

 

Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

 

,

користуючись  тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді:

 

.

 

Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді

 

         (16).

При зростанні  цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули. 
2. Програма „ Порівняння методів Сімпсона,

прямокутників, трапецій.”

2.1. Проект  програми

Концепція програми

Головним завданням програми  є розв’язування задачі чисельного інтегрування, сформульованої в розділі 1.

Фактично, програма повинна забезпечувати порівняння ефективності та точності різних методів інтегрування.

Результати роботи програми повинні  бути представлені в табличному форматі.

Програма також повинна мати інтуїтивно зрозумілий інтерфейс, характерний  для сучасних Windows-програм, що буде запорукою ефективного її використання.

Вибір середовища реалізації

Вибір середовища реалізації проекту  є однією з основних задач процесу  розробки програмних продуктів.

Вибір середовища реалізації має дві  складові:

1. операційна система, під управлінням якої працюватиме програмний продукт;
3. система програмування, за допомогою якої розроблятиметься програма.

Програма призначена для роботи під управлінням операційної  системи Windows XP.

Вибір цієї ОС пов’язаний з тим, що зараз на переважній більшості персональних комп’ютерів використовується саме ця система або системи, споріднені з нею. Тому такий вибір забезпечуватиме можливість роботи з програмою на більшості з робочих станцій.

Програма розроблятиметься за допомогою  візуальної системи програмування Delphi7.

Причинами такого вибору є наступні особливості системи Delphi7:

1) розробка програмних продуктів  для платформи Win32;

2) візуальна розробка  графічного інтерфейсу користувача;

4. підтримка об’єктно-орієнтованої технології розробки програмних продуктів;
5. простота реалізації програмного коду засобами мови Object Pascal;
6. популярність Delphi7 серед розробників програмного забезпечення.

Наступні етапи проектування програми та розробка програмного коду відбуватимуться  відповідно до вибраного середовища реалізації.

Аналіз  функціональності програми

Визначимо основні функції програми:

1. розв’язування задачі, поставленої в розділі 1;

підтримка таких методів інтегрування: прямокутників, трапецій, Сімпсона,; 
2.2. Інструкція користувачу

Програма „ Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій.”

Програма призначена для демонстрації застосування методів чисельного інтегрування до інтегрування елементарних функцій. Тобто в програмі реалізовано  задачу чисельного інтегрування, поставлену в розділі 1.

Програма дозволяє обчислювати  визначені інтеграли за допомогою  таких чисельних методів:

1) лівих прямокутників;

2) трапецій;

3) Сімпсона;

Вікно задачі

У вікні задачі задається  умова та виводяться результати обчислень (рис. 1).

Вікно задачі складається з таких частин:

1) межі інтегрування;

2) підінтегральна функція;

4) кількість точок розбиття;

6) значення інтегралу.

В двох полях з групи „Межі  інтегрування” вказуються відповідно права та ліва границі інтегрування.

В програмі передбачено фіксований набір підінтегральних функцій. Вибрати її можна із відповідного списку.

Точність інтегрування визначається кількістю точок розбиття відрізка. Крок інтегрування не задається користувачем, а визначається відповідно до кількості  точок розбиття.

Рис 1. 
Висновок.

У такий спосіб очевидно, що при  обчисленні певних інтегралів за допомогою  квадратурних формул, не дає нам  точного значення, а тільки наближене.

Щоб максимально наблизитися до достовірного значення інтеграла потрібно вміти правильно вибрати метод  і формулу, по якій буде вестися розрахунок.

Хоча чисельні методи й не дають  дуже точного значення інтеграла, але  вони дуже важливі, тому що не завжди можна  вирішити завдання інтегрування аналітичним  способом. 
Використана література.

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.
2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. 
   М.: 1979.
3. Математический практикум. М.: 1960.
4. Крилов В.И.  “Наближені обчислення інтегралів“ - М. : Фізмат.
5. Калиткин Н.Н. Численные методы. Главная редакция физико-математической литературы «Наука», М., 1978. – 512 с.
6. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Главная редакция физико-математической литературы «Наука», М., 1976. – 302 с.

Фаронов В.В. Система программирования Delphi. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 912 с. 
Додатки

Додаток 1:

Результати роботи програми

 

1) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона    3,33333333333333E-7

Метод трапецій    2,15219773265892E-307

Метод прямокутників    2,15219773265892E-307

 

2) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона   0,841416880687773

Метод трапецій   0,841929771178751

Метод прямокутників    0,842159620025817

 

3) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона   0,332001999333334

Метод трапецій   0,332335499

Метод прямокутників    0,331835499

 

4) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона    0,248669498000667

Метод трапецій   0,249003247001001

Метод прямокутників  0,248503247001001

 

5) в межах від 0 до

n=1000

Метод Сімпсона    0,498667666666667

Метод трапецій   0,499001

Метод прямокутників  0,498501 
Додаток 2:

Текст програми

unit Integral;

 

interface

 

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Spin, Menus, Grids;

 

type

  TForm1 = class(TForm)

    GroupBox1: TGroupBox;

    Edit2: TEdit;

    Edit3: TEdit;

    GroupBox3: TGroupBox;

    Edit5: TEdit;

    MainMenu1: TMainMenu;

    N1: TMenuItem;

    N2: TMenuItem;

    N5: TMenuItem;

    Button1: TButton;

    N3: TMenuItem;

    N4: TMenuItem;

    StringGrid1: TStringGrid;

    GroupBox2: TGroupBox;

    ComboBox1: TComboBox;

    Label1: TLabel;

    procedure N2Click(Sender: TObject);

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

    procedure N4Click(Sender: TObject);

    procedure FormCreate(Sender: TObject);

    procedure N5Click(Sender: TObject);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

    Function F(x:real):real;

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

  var

    a,b,h,x,s1,s2,s3:real;

 

 

implementation

 

uses Unit2;

 

{$R *.dfm}

 

Function TForm1.F(x:real):real;

begin

  If ComboBox1.ItemIndex=0 Then

  Begin

    F:=sin(x);

  End

  Else If ComboBox1.ItemIndex=1 Then

  Begin

    F:=cos(x);

  End

  Else If ComboBox1.ItemIndex=2 Then

  Begin

    F:=x*x*x;

  End

  Else If ComboBox1.ItemIndex=3 Then

  Begin

    F:=x;

  End

  Else If ComboBox1.ItemIndex=4 Then

  Begin

    F:=x*x;

  End;

End;

 

procedure TForm1.N2Click(Sender: TObject);

begin

  s1:=0;

  s2:=0;

  s3:=0;

  Edit2.Visible:=True;

  Edit3.Visible:=True;

  Edit5.Visible:=True;

  GroupBox1.Visible:=True;

  GroupBox3.Visible:=True;

  GroupBox2.Visible:=True;

  Button1.Visible:=True;

  ComboBox1.Visible:=True;

end;

 

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Var i,n,k:integer;

begin

  StringGrid1.Visible:=True;

  Label1.Visible:=True;

  a:=StrToFloat(Edit2.Text);

  b:=StrToFloat(Edit3.Text);

  n:=StrToInt(Edit5.Text);

  s1:=f(a);

  s2:=(f(a)+f(b))/2;

  s3:=(b-a)/n;

  k:=1;

  x:=a;

  for i:=1 to n-1 do

  begin

    x:=x+h;

    s1:=s1+f(x);

    s2:=s2+f(x);

    s3:=s3+(3+k)*f(x);

    h:=(b-a)/n;

    k:=-k;

  end;

   s1:=s1*h;

    s2:=s2*h;

    s3:=s3*h/3;

    StringGrid1.Cells[0,1]:=FloatToStr(s1);

    StringGrid1.Cells[1,1]:=FloatToStr(s2);

    StringGrid1.Cells[2,1]:=FloatToStr(s3);

End;

 

procedure TForm1.N4Click(Sender: TObject);

begin

  Close()

end;

 

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

  Edit2.Text:='0';

  Edit3.Text:='1';

  Edit5.Text:='1000';

  StringGrid1.Cells[0,0]:='      Метод Прямокутників';

  StringGrid1.Cells[1,0]:='      Метод Трапецій';

  StringGrid1.Cells[2,0]:='            Метод Сімпсона';

end;

 

procedure TForm1.N5Click(Sender: TObject);

begin

  Form2.Show;

end;

end.