Роль парадоксов в развитии логики

Еще в Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери, совпадающий по своему логическому содержанию с парадоксом «Протагор и Еватл».

Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову  слезу, ответил:

– Твое несчастье растрогало меня, и я  дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или  нет. Если ответишь правильно, я верну  ребенка. Если не угадаешь, я его  не отдам.

Подумав, мать ответила:

– Ты не отдашь мне ребенка.

– Ты его  не получишь, – заключил крокодил. –  Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, – правда, я не отдам его, так  как иначе сказанное не будет  правдой. Если сказанное – неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам  ребенка по уговору.

Однако  матери это рассуждение не показалось убедительным.

– Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет  неправдой.

Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка или, напротив, чтобы не отдать его? И  к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво, и, таким образом, оно не выполнимо в силу законов логики.

Миссионер очутился у людоедов и  попал как раз к обеду. Они  разрешают ему выбрать, в каком  виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если это высказывание окажется истинным, они его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят.

Что следует сказать миссионеру? Разумеется, он должен сказать: «Вы  зажарите меня». Если его действительно  зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не будет: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот.Этот эпизод с хитрым миссионером является, конечно, еще одной из перефразировок спора Протагора и Еватла.

2. Другие парадоксы.

Приведенные парадоксы – это  рассуждения, итог которых – противоречие. Но в логике есть и другие типы парадоксов. Они также указывают на какие-то затруднения и проблемы, но делают это в менее резкой и бескомпромиссной форме. Таковы, в частности, парадоксы, рассматриваемые далее.

Парадоксы неточных понятий.

Большинство понятий не только естественного  языка, но и языка науки являются неточными, или, как их еще называют, размытыми. Нередко это оказывается  причиной непонимания, споров, а то и просто ведет к тупиковым  ситуациям.

Если понятие неточное, граница  области объектов, к которым оно  приложимо, лишена резкости, размыта. Возьмем, к примеру, понятие «куча». Одно зерно (песчинка, камень и т.п.) – это  еще не куча. Тысяча зерен – это  уже, очевидно, куча. А три зерна? А десять? С прибавлением, какого по счету зерна образуется куча? Не очень ясно. Точно так же, как  не ясно, с изъятием какого зерна куча исчезает. Неточными являются эмпирические характеристики «большой», «тяжелый», «узкий» и т.д. Неточны такие обычные понятия, как «мудрец», «лошадь», «дом» и т.п. Будет ли куча песка, из которой мы взяли одну песчинку считаться кучей? Да, будет. А если взять ещё одну песчинку? Будет. Так как при последовательном изъятии песчинок куча не перестаёт быть кучей, то и одна песчинка должна считаться кучей. Вывод явно парадоксальный и обескураживающий.

Нетрудно заметить, что рассуждение  о невозможности образования  кучи проводится с помощью хорошо известного метода математической индукции. Одно зерно не образует кучи. Если n зерен не образуют кучи, то n+1 зерно не образуют кучи. Следовательно, никакое число зерен не может образовать кучи.

Возможность этого и подобных ему  доказательств, приводящих к нелепым  заключениям, означает, что принцип  математической индукции имеет ограниченную область приложения. Он не должен применяться в рассуждениях с неточными, расплывчатыми понятиями.

Хорошим примером того, что эти  понятия способны приводить к  неразрешимым спорам, может служить  любопытный судебный процесс, состоявшийся в 1927 г. в США. Скульптор К. Бранкузи обратился в суд с требованием признать свои работы произведениями искусства. В числе работ, отправляемых в Нью-Йорк на выставку, была и скульптура «Птица», которая сейчас считается классикой абстрактного стиля. Она представляет собой модулированную колонну из полированной бронзы около полутора метров высоты, не имеющую никакого внешнего сходства с птицей. Таможенники категорически отказались признать абстрактные творения Бранкузи художественными произведениями. Они провели их по графе «Металлическая больничная утварь и предметы домашнего обихода» и наложили на них большую таможенную пошлину. Возмущенный Бранкузи подал в суд. Таможню поддержали художники – члены Национальной академии, отстаивавшие традиционные приемы в искусстве. Они выступали на процессе свидетелями защиты и категорически настаивали на том, что попытка выдать «Птицу» за произведение искусства – просто жульничество.

Этот конфликт рельефно подчеркивает трудность оперирования понятием «произведение  искусства». Скульптура по традиции считается  видом изобразительного искусства. Но степень подобия скульптурного  изображения оригиналу может  варьироваться в очень широких  пределах. И в какой момент скульптурное изображение, все более удаляющееся  от оригинала, перестает быть произведением  искусства и становится «металлической утварью»? На этот вопрос так же трудно ответить, как на вопрос о том, где  проходит граница между домом  и его развалинами, между лошадью  с хвостом и лошадью без  хвоста и т.п. К слову сказать, модернисты вообще убеждены, что скульптура – это объект выразительной формы и она вовсе не обязана быть изображением.

Обращение с неточными понятиями  требует, таким образом, известной  осторожности. Не лучше ли тогда  вообще отказаться от них? Немецкий философ  Э. Гуссерль был склонен требовать от знания такой крайней строгости и точности, какая не встречается даже в математике. Биографы Гуссерля с иронией вспоминают в связи с этим случай, произошедший с ним в детстве. Ему был подарен перочинный ножик, и, решив сделать лезвие предельно острым, он точил его до тех пор, пока от лезвия ничего не осталось.

Более точные понятия во многих ситуациях предпочтительнее неточных. Вполне оправдано обычное  стремление к уточнению используемых понятий. Но оно должно, конечно, иметь  свои пределы. Даже в языке науки  значительная часть понятий неточна. И это связано не с субъективными  и случайными ошибками отдельных  ученых, а с самой природой научного познания. В естественном языке неточных понятий подавляющее большинство; это говорит, помимо всего прочего, о его гибкости и скрытой силе. Тот, кто требует от всех понятий  предельной точности, рискует вообще остаться без языка. «Лишите слова  всякой двусмысленности, всякой неопределенности, – писал французский эстетик  Ж. Жубер, – превратите их… в однозначные цифры – из речи уйдет игра, а вместе с нею – красноречие и поэзия: все, что есть подвижного и изменчивого в привязанностях души, не сможет найти своего выражения. Но что я говорю: лишите… Скажу больше. Лишите слова всякой неточности – и вы лишитесь даже аксиом».

Долгое время и логики, и математики не обращали внимания на трудности, связанные  с размытыми понятиями и соответствующими им множествами. Вопрос ставился так: понятия  должны быть точными, а все расплывчатое недостойно серьезного интереса. В  последние десятилетия эта чрезмерно  строгая установка потеряла, однако, привлекательность. Построены логические теории, специально учитывающие своеобразие  рассуждений с неточными понятиями.

Активно развивается математическая теория так называемых размытых множеств, нечетко очерченных совокупностей  объектов.

Анализ проблем неточности –  это шаг на пути сближения логики с практикой обычного мышления. И  можно предполагать, что он принесет еще многие интересные результаты

Парадоксы индуктивной логики.

Нет, пожалуй, такого раздела логики, в котором не было бы своих собственных  парадоксов.В индуктивной логике есть свои парадоксы, с которыми активно, но пока без особого успеха борются уже почти полвека. Особенно интересен парадокс подтверждения,открытый американским философом К. Гемпелем. Естественно считать, что общие положения, в частности научные законы, подтверждаются своими положительными примерами. Если рассматривается, скажем, высказывание «Все А есть В», то положительными его примерами будут объекты, обладающие свойствами А и В. В частности, подтверждающие примеры для высказывания «Все вороны черные» – это объекты, являющиеся и воронами, и черными. Данное высказывание равносильно, однако, высказыванию «Все предметы, не являющиеся черными, не вороны», и подтверждение последнего должно быть также подтверждением первого. Но «Все не черное не ворона» подтверждается каждым случаем не черного предмета, не являющегося вороной. Выходит, таким образом, что наблюдения «Корова белая», «Ботинки коричневые» и т.п. подтверждают высказывание «Все вороны черные».

Из невинных, казалось бы, посылок  вытекает неожиданный парадоксальный результат.

В логике норм беспокойство вызывает целый ряд ее законов. Когда они  формулируются в содержательных терминах, несоответствие их обычным  представлениям о должном и запрещенном становится очевидным. Например, один из законов говорит, что из распоряжения «Отправьте письмо!» вытекает распоряжение «Отправьте письмо или сожгите его!».

Другой закон утверждает, что, если человек нарушил одну из своих  обязанностей, он получает право делать все, что угодно. С такого рода «законами  долженствования» наша логическая интуиция никак не хочет мириться.

В логике знания усиленно обсуждается  парадокс логического всеведения. Он утверждает, что человек знает  все логические следствия, вытекающие из принимаемых им положений. Например, если человеку известны пять постулатов геометрии Евклида, то, значит, он знает и всю эту геометрию, поскольку она вытекает из них. Но это не так. Человек может соглашаться с постулатами и вместе с тем не уметь доказать теорему Пифагора и потому сомневаться, что она вообще верна.

Вкратце всего вышеизложенного, ошибка состоит в следующем. Далеко не всегда можно менять местами части суждения. Например, из того, что «все евреи – люди» не следует, что «все люди – евреи».

Таким образом, можно утверждать, что  парадоксы широко распространены в  логике. Они озадачили ученых с  момента своего открытия и, скорее всего, будут озадачивать всегда. Парадоксы  в логике следует рассматривать  не просто как проблемы, которые  ожидают своего решения, а как  неисчерпаемый сырой материал для  размышления. Они важны, поскольку  размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления.

Первые механические парадоксы Аристотеля.

Первую попытку научного объяснения механических явлений приписывают  древнегреческому философу Аристотелю. Взгляды Аристотеля на механическое движение основываются не на экспериментах, а на общих философских принципах. Механическое движение он объясняет  стремлением тел к своему естественному  положению. Земля ему представлялась центром Вселенной, и поэтому  все тела стремятся к этому  центру. Движение без причины (т.е. силы), вызывающей это движение, он считал невозможным. При этом прямолинейное  движение по инерции Аристотель объяснял действием вытесненного телом воздуха, который, устремляясь в образовавшуюся за движущимся телом пустоту, толкает  его вперед.

Из общефилософских принципов  Аристотеля следует отрицание пустоты. Абсолютное движение тела (т.е. его движение относительно абсолютного пространства), по мнению Аристотеля, возможно только в неоднородном пространстве. Пустота  же, по его мнению, является однородным пространством, так как в пустоте  одна точка ничем не отличается от любой другой. В своей «Физике» Аристотель приводит еще одно «опровержение» существования пустоты. А именно, проводя элементарные наблюдения над  движущимися телами, он приходит к  выводу, что скорость свободного падения  тела пропорциональна массе тела и обратно пропорциональна плотности  среды, в которой происходит движение, т.е.  υ=kmρ, где m — ­­масса тела, ρ ­— плотность среды, k ­— коэффициент пропорциональности. Отсюда Аристотель делает вывод, что в пустоте (ρ = 0) скорость должна бы стать бесконечной, что невозможно. Поэтому и пустота невозможна.

Сегодня любой школьник знает, что  оба приведенных утверждения  —­ о невозможности механического  движения в отсутствие силы и о  бесконечной скорости тела в пустоте  — не соответствуют действительности, но авторитет Аристотеля был настолько  непререкаем, что его ошибочные  представления о природе механического  движения просуществовали почти  две тысячи лет.

Первый, кто подверг сомнению некоторые  утверждения Аристотеля, был византийский комментатор трудов Аристотеля Иоанн  Филипон (VI в.). Вот довод, который он привел: если объяснение Аристотеля причин механического движения верно, то как объяснить вращение колеса вокруг своей оси? Где в этом случае та часть тела, которая испытывает давление вытесняемого воздуха? Парадокс Иоанна Филипона стал первой трещиной в механике Аристотеля.