Анализ объекта регулирования и выбор закона регулирования с применением программного комплекса matlab

 

1  ИНДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА  УПРАВЛЕНИЯ

 

Структурная схема модели объекта  регулирования состоит из четырех  последовательно соединенных звеньев: трех апериодических звеньев и звена  чистого транспортного запаздывания.  Поскольку объект статический, то для  идентификации  объекта был выбран вариант представления объекта в виде двух последовательно соединенных звеньев: апериодического звена и звена чистого транспортного запаздывания.

Рисунок 1 - Модель объекта управления.

 

;   ;  ;  

Преобразуем имеющуюся схему к  виду с двумя звеньями путем сложения последовательно соединенных апериодических звеньев:

Рисунок 2 - Упрощённая модель объекта управления

 

                             

После математических операций над  звеньями запишем общую передаточную функцию объекта регулирования:

 

1.1  Определение кривой переходного процесса модели объекта регулирования

 

Разработка программы анализа  устойчивости.

n1=[0 0.9]; d1=[3.7 1];

n2=[0 1.2]; d2=[1.3 1];

n3=[0 2.3]; d3=[0 1];

[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num2,den2]=series(num1,den1,n3,d3);

[num3,den3]=pade(1.6,1);

[num4,den4]=series(num2,den2,num3,den3);

step(num4,den4);

grid on;

     Рисунок 3 - Кривая переходного процесса модели.

 

1.2 Идентификация объекта регулирования  и определение его динамических  параметров

 

Рисунок 4 - Определение  основных динамических параметров объекта по кривой переходного процесса.

 

 

 

Из графика получаем основные характеристики объекта:

τоб = 1,67 (сек.)

Tоб= 7,67 (сек.)

kоб = 2,49

 

1.3  Частотные характеристики  объекта регулирования

 

Разработка программы анализа  устойчивости.

n1=[0 0.9]; d1=[3.7 1];

n2=[0 1.2]; d2=[1.5 1];

n3=[0 2.3]; d3=[0 1];

[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num2,den2]=series(num1,den1,n3,d3);

[num3,den3]=pade(1.6,1);

[num4,den4]=series(num2,den2,num3,den3);

nyquist(num4,den4);

grid on;

Рисунок 5 - Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

 

Судя по фазо-частотной характеристике объекта регулирования система  устойчива,

так как годограф не охватывает точку (-1; j0).

Разработка программы анализа  устойчивости.

 

 

 

n1=[0 0.9]; d1=[3.7 1];

n2=[0 1.2]; d2=[1.5 1];

n3=[0 2.3]; d3=[0 1];

[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num2,den2]=series(num1,den1,n3,d3);

[num3,den3]=pade(1.6,1);

[num4,den4]=series(num2,den2,num3,den3);

bode(num4,den4);

grid on;

 

Рисунок 6 - Логарифмическая  амплитудно-фазовая частотная характеристика.

 

2  СИНТЕЗ СИСТЕМЫ  АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

По виду кривой переходного процесса можно определить из каких типов  простейших звеньев состоит система:

Рисунок 7 - Кривая переходного  процесса модели.

По кривой переходного процесса видно, что система (рис.2) состоит из двух звеньев:

 

 

1. Звено запаздывания:                                     2.Апериодическое звено:

                                     

                W(p) =                                                           W(p)=

 

2.1  Выбор закона регулирования  и критерия оптимальности процесса  регулирования

 

В ПИД регуляторах изменение  выходной величины (воздействие на регулирующий орган) пропорционально отклонению регулируемой (входной) величины, интегралу этого изменения и скорости изменения этой величины.

Проверим возможность работы ПИД-закона с заданным объектом регулирования. Показателем качества принимается  минимизация  на основании самой методики расчета настроек регулятора графо-аналитическим методом.

Тип регулятора можно проверить  ориентировочно по величине отношения  τоб/Тоб:

Используя рисунок 4, находим соотношение:  .

Для выбора регулятора дополнительно  рассчитываем величину допустимого  динамического коэффициента согласно выражению для статических объектов:

, где

    (величина kоб найдена согласно рисунку 4) – максимальное динамическое отклонение.

Хвх=1;

отсюда:  .

Рисунок 8 - Зависимость оптимальных  настроек регуляторов от динамических свойств объектов.

 

По графикам Rд(τоб/Тоб) приведённым на рисунке 7 проверяем, обеспечивает ли ПИД-регулятор при заданном значении τоб/Тоб значение динамического коэффициента

 

 регулирования  . Для ПИД-регулятора при τоб/Тоб=0,22 Rд=0,3, , - следовательно, как видно из графиков ПИД-регулятор подходит для данного объекта регулирования (рисунок 1).

Запишем передаточную функцию регулятора:  (1),

где (1.1), (1.2),  (1.3).

Также запишем частотную передаточную функцию:

 W(ω) = | W(jω) | = | Q(jω)/P(jω) |.

Заменив в выражении (1) оператор Лапласа (р) на jω получим:

                                                                 (2)

Из выражения (3) получим два полинома:

Разделив оба полинома на действительную и мнимую часть, получим:

Q(jω)=RQ(ω)+jJQ(ω); P(jω)=RP(ω)+jJP(ω),

где RQ(ω)=1 – вещественная часть полинома Q(jω);

       JQ(ω)= – мнимая часть полинома Q(jω);

       RP(ω)=0 – вещественная часть полинома P(jω);

       JP(ω)= Tи(ω) – мнимая часть полинома P(jω).

C учётом этих зависимостей АЧХ системы имеет вид:

Амплитудно-фазовая характеристика:

W(jω)=Q(jω)/P(jω)=[ RQ(ω)+jJQ(ω)]/[ RP(ω)+jJP(ω)].

Умножив числитель и знаменатель  этой дроби на сопряженный множитель  RP(ω)-jJP(ω), получим:

 

 

 

 

 

(3)                              

Обозначив:

U(ω)= ;

V(ω)= ,

имеем:

W(jω)= U(ω)+jV(ω).

Величину U(ω) называют действительной часть комплексной частотной характеристики системы.

Величину V(ω) называют мнимой часть комплексной частотной характеристики системы.

W(ω)= ;                                               (4)

A(ω)= ;                                                                                (5)

φ(ω)= .                                              (6)

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик: комплексную  частотную W(jω), амплитудно-частотную W(ω), фазочастотную φ(ω),  действительную частотную U(ω) и мнимую частотную V(ω).

 

2.2  Расчет настроек регулятора  графо-аналитическим методом

 

Пользуясь выше приведенными формулами, рассчитаем передаточную функцию регулятора и его настройки.

                          

 

 

 

Пользуясь методикой расчета настроек регулятора графо-аналитическим методом, по графикам зависимости оптимальных  настроек ПИД-регулятора от динамических свойств объекта регулирования  для процесса с минимальной площадью квадратичного отклонения регулируемой величины при τоб/Тоб=0,22 находим по рисунку 8:

                              

Рисунок 9 - Зависимость  оптимальных настроек ПИД-регулятора от динамических свойств объектов.

 

(Ти/τоб)опт=1,5(сек.);

(kоб*kp)опт= 8,9

(Тд/τоб)опт= 0,5

Используя формулы для нахождения оптимальных настроек регулятора,  рассчитываем:

kр.опт=(kоб*kp)опт/ kоб=8,9/2,49=3,57;

Ти=(Ти/τоб)опт* τоб=1,5*1,67=2,51(сек.)

Тд=(Тд/τоб)опт* τоб=0,5*1,67=0,84

Пересчитываем передаточную функцию  регулятора с учётом найденных оптимальных настроек: 

 

 

 

Wпид(р)= .

n1=[0 0.9];d1=[3.7 1];

n2=[0 1.2];d2=[1.5 1];

n3=[0 2.3];d3=[0 1];

[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num2,den2]=series(num1,den1,n3,d3);[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num3,den3]=pade(1.28,1);[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num4,den4]=series(num2,den2,num3,den3);[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

nyquist(num4,den4);

grid on;

Рисунок10 - Амплитудно-фазовая  частотная характеристика (АФЧХ)

 

Запас устойчивости данного объекта  регулирования является 0,45

 

3   АНАЛИЗ ЗАМКНУТОЙ  СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

Рисунок 11 - Замкнутая  система автоматического регулирования  по каналу возмущения

 

При настройках регулятора найденных  в п.2,2

.

и общей передаточной функции объекта  управления

Получаем передаточную функцию  системы регулирования:

Wобщ.с.р.=

  41.7915 p^5 + 108.0454 p^4 + 112.701 p^3 + 75.2434 p^2 + 30.525 p + 4.4625

   -----------------------------------------------------------------

      13.9305 p^4 + 11.7606 p^3 + 34.7537 p^2 + 3.5846 p + 11.0848

      3.1 Моделирование  замкнутой системы автоматического регулирования

 

n=[7.53 3 3.57]; d=[0 2.51 0];

n1=[0 0.9]; d1=[3.7 1];

n2=[0 1.2]; d2=[1.5 1];

n3=[0 2.3]; d3=[0 1];

[num1,den1]=series(n1,d1,n2,d2);

[num2,den2]=series(num1,den1,n3,d3);

[num3,den3]=pade(1.6,1);

[num4,den4]=series(num2,den2,num3,den3);

[num,den]=feedback(num4,den4,n,d,-1);

printsys(num,den,'p')

step(num,den)

grid on

pause;

nyquist(num,den)

grid on

pause;

bode(num,den)

grid on

 

Рисунок 12 - Динамическая характеристика полученной системы  регулирования

С найденными оптимальными настройками система выполняет требования представляемые к процессу регулирования (время регулирования < 2.5 мин). Кроме соответствия требований к процессу регулирования система также должна отвечать критерию оптимальности. Для выполнения этого условия необходимо чтобы АФЧХ

     системы не заходила  внутрь окружности с радиусом, определённым согласно выражению

R=M/(M2-1)=1,62/(2,62-1)=1

и центром на оси абсцисс, смещённым  влево от оси координат на величину С согласно выражению

С=М2/(М2-1)= 2,62/(2,62-1)=1,61

Рисунок 13 - АФЧХ системы  с указанием «запретной зоны»

 

Как видно из рисунка 11, характеристика системы не попадает в «запретную зону», следовательно, система выполняет  критерий оптимальности и нет  необходимости корректировать настройки  регулятора.

 

3.2  Оценка качества регулирования

 

Оценка устойчивости АСР является обязательным процессом исследования системы. Только устойчивая АСР может  быть пригодна для эксплуатации. После  того, как убедятся, что система  устойчива, приводят дополнительный анализ системы для оценки качества её работы. Для оценки качества систем используют числовые показатели, которые называются показателями качества или критериями качества.