Контрольна робота по компьютерной графике

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

"Тихоокеанский государственный  университет"

 

Кафедра начертательной геометрии и машинной графики

 

 

 

 

 

Контрольна робота

По компьютерной графике

Вариант 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент
Специальность	ЗЧС ЗФУО
Курс (год обучения)	3(2 г.)
Номер зачетной книжки	090442366
Фамилия	Куренёва
Имя	Анна
Отчество	Валентиновна
Проверил

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск  2012 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Обработка многократных измерений	2
2 Проверка гипотезы о виде  распределения	12
3 Объединение результатов измерений	18
Список литературы	23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ОБРАБОТКА МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Цель работы: освоить основные приемы статистической обработки результатов многократных измерений:

- построение вариационного ряда, гистограммы частот (частостей);

- нахождение среднего  арифметического, медианы, моды; проверка гипотезы о виде закона распределения по виду гистограммы и проверка на промахи;

- вычисление оценки СКО  измерений и оценки СКО среднего арифметического;

- построение доверительного  интервала для неизвестного истинного  значения.

 

При многократных, измерениях (число измерений 4) физической величины (ФВ) постоянного размера за результат измерений обычно принимается среднее арифметическое (СА):

Иногда, вместо СА, используют медиану при нечетном числе измерений:

;

а при четном пользуются формулой

,

причем предварительно результаты измерений  располагают в неубывающем порядке (такой ряд измерений называется вариационным) Х₁<Х₂<....<Х_п.

Реже используется мода как значение, соответствующее максимуму гистограммы.

Все эти оценки определяются по выборке и выражаются одним числом, то есть точкой на числовой оси, и называются точечными выборочными оценками.

Важными свойствами точечных оценок являются следующие:

- Несмещенность - оценка (например ) параметра (X_ист) называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром (Х_ист);

- cостоятельность - оценка называется состоятельной, если с увеличением объема выборки п (числа измерений) вероятность того, что оценка сходится к истинному значению, возрастает и стремится к единице при объеме выборки, стремящемся к бесконечности;

- эффективность - оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией по сравнению с другими оценками.

Чаще всего используется среднее  арифметическое. Оно обладает весьма важными преимуществами перед другими оценками:

1. при любом законе распределения ошибок (с конечными математическим ожиданием и дисперсией) СА является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания (истинного значения).
2. дисперсия СА в п раз меньше дисперсии отдельных результатов 
   измерений, то есть дисперсии ошибок;
3. в случае нормального распределения ошибок измерений СА является эффективной оценкой математического ожидания;
4. в случае нормального распределения ошибок измерений СА распределено нормально, а при других распределениях ошибок — асимптотически нормально, то есть быстро сходится к нормальному с ростом числа измерений (увеличением объема выборки).

Найденное по выборке случайных  величин  является случайной величиной. Разность между ним и неизвестным истинным значением = - X_иап, называемая в метрологии погрешностью, остается неизвестной (эта разность также случайная величина, ее правильнее называть ошибкой среднего арифметического). Если бы дисперсия случайной величины X  была известна, то дисперсия СА, вычисленного по выборке объема n, была бы тоже известна:

В этом случае можно было бы построить доверительный интервал для Х_ист:

,

где - СКО среднего арифметического; - квантиль (критическое значение) нормального нормированного распределения, соответствующая двухстороннему уровню значимости (или доверительной вероятности Р_д = 1 - ).

При неизвестной дисперсии  (и неизвестном истинном значении X_ист) ее точечной несмещенной и состоятельной, а при нормальном распределении ошибок и эффективной оценкой является выборочная оценка дисперсии

     (3)

Обычно пользуются корнем квадратным из выражения (3) для вычисления оценки СКО по выборке:

,     (4)

хотя это выражение  не вполне строго и по (4) в качестве оценки СКО является смещенной. Более точное, хотя и тоже приближенное выражение для оценки СКО имеет вид

      (5)

Для оценки СКО среднего арифметического  получаем из (4)

      (6)

 

Для построения доверительного интервала  для X _ист воспользуемся соотношением, называемым дробью Стьюдента, которое имеет t - распределение.

.

Пользуясь таблицами t-распределения можем построить доверительный интервал для истинного значения Х_ист

,    (7)

где - квантили распределения при уровне значимости /2, то есть доверительной вероятности Рд = 1- , и числе степеней свободы (числе независимых слагаемых в (4) и (6)) .

Интервал  в метрологии называется доверительной случайной погрешностью.

Доверительным интервалом по выражению (7) в метрологии пользуются, когда ошибки измерений имеют нормальное распределение.

Если установить вид распределения  не удается, что бывает при малом объеме выборки, погрешности результата измерения можно оцепить с помощью неравенства Чебышева:

.     (8)

Задаваясь значением Р_д и приравнивая его к правой части (8), находим соответствующее значение .

Поскольку обычно неизвестно, вместо него используют выборочную оценку . При этом, однако, нельзя утверждать, что интервал накроет неизвестное истинное значение с вероятностью, большей или равной заданной, так как является случайной величиной и может быть больше (тогда вероятность накрытия Х_иет будет больше заданной) или меньше (тогда вероятность будет меньше).

Среднее арифметическое весьма чувствительно к промахам (грубым ошибкам), то есть не является робастной (устойчивой) оценкой, такой результат подлежит исключению. Прежде всего таковыми могут оказаться Х_min или Х_тах . При нормальном распределении случайных ошибок измерений вопрос об исключении отдельного результата решается с помощью статистических критериев. Вычисляй предварительные оценки и , можно проверить Х_min и Х_max по статистике для резко выделяющихся наблюдений:

     (9)

или

     (10)

Вычисленные по формуле (9 или 10) значения статистики следует сравнить с критическим (предельным для данной статистики) значением. Если вычисленное значение превышает _кр результат признается промахом и должен быть отброшен. После исключения промаха вычисления и производятся заново без учета отброшенного результата.

Для построения гистограммы  вариационный ряд разбивают на интервалы одинаковой, произвольной или специальным образом выбираемой длины. В простейшем случае берутся интервалы одинаковой длины. 

Число результатов отдельных  измерений в каждом интервале n_k называется частотой попадания в k-й интервал, а относительная частота -  называется частостью, где п — общее число измерений. Если отложить по оси абсцисс границы интервалов, а по оси ординат — частоты или частости, то, можно построить график в виде прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота — соответствующей частоте или частости. Такой график называется гистограммой частот или гистограммой частостей соответственно. На гистограмме частот сумма всех высот прямоугольников равна и, а на гистограмме частостей - единице. Существует также гистограмма статистического распределения.   Дня   ее   построения   по   оси   ординат  откладывают  значения , где - длина k-го интервала.

Если длины всех интервалов одинаковы ( = сопst), все три гистограммы совпадут при соответствующем выборе масштаба по оси ординат. Построив любую из гистограмм с интервалами одинаковой длины, можно по ее общему виду сделать предварительное заключение о возможном виде закона распределения. Это заключение будет более надежным, если на гистограмму нанести и теоретические значения частот, частостей или дифференциальной функции распределения, соединив их плавной кривой. При этом теоретические значения следует относить к серединам интервалов. Теоретические значения вычисляются в соответствии с предполагаемым законом распределения, в котором неизвестные параметры заменяются, их выборочными оценками.

Частость есть оценка вероятности попадания результата в k-й интервал. Теоретическая вероятность Р_к может быть вычислена по формуле

,  (11)

где    Х_к, Х_к+1   — нижняя  и верхняя границы к-го  интервала;

; Ф(Z_k) - значение интегральной функции нормированного нормального распределения для Z = Z_k.

Для вычисления оценки СКО применить  формулу 

,

где  W_n,j = X_max,j - X_min,j; j – номер подмассива; n – объем подмассива; d_n – табулированный коэффициент.

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение работы:

1. Массив экспериментальных данных

6,68	7,63	7,69	9,52
6,77	7,35	4,88	7,58
7,35	7,27	9,64	6,29
7,57	7,25	8,64	8,36
8,81	9,57	6,38	6,97
8,87	6,58	9,08	8,54
8,79	9,51	7,68	9,7
9,84	7,64	8,3	8,84

 

2. Вариационный ряд

4,88; 6,29; 6,38; 6,58; 6,68; 6,77; 6,97; 7,25; 7,27; 7,35; 7,35; 7,57; 7,58; 7,63; 7,64; 7,68; 7,69; 8,3; 8,36; 8,54; 8,64; 8,79; 8,81; 8,84; 8,87; 9,08; 9,51; 9,52; 9,57; 9,64; 9,7; 9,84

 

3. Размах варьирования и шаг гистограммы

N = 32

h_расч. = 0,992

 

Таблица 1 – Данные для построения гистограммы

№ интервала	Интервал		Середина интервала	Определяемая частота mi	Частость mi/N
	от	до
1	4,880	5,872	5,38	1	0,25
2	5,872	6,864	6,37	5	0,21875
3	6,864	7,856	7,36	11	0,34375
4	7,856	8,848	8,35	7	0,15625
5	8,848	9,840	9,34	8	0,03125

 

 

 

 

 

 

4. Гистограмма

Рисунок 1 – Гистограмма 

 

= 7,987

= 7,685

= 7,36 - максимум гистограммы.

= 1,208

 

Таблица 2 - Данные для построения кривой теоретических вероятностей

№ границы интервала	Значение границы интервала		Ф (Zk)	Pk=Ф(Zk+1) - Ф(Zk)
1	4,880	-2,57	0,9963
2	5,872	-1,75	0,9599	0,0364
3	6,864	-0,93	0,8238	0,1361
4	7,856	-0,11	0,5438	0,28
5	8,848	0,71	0,7611	0,2173
6	9,840	1,53	0,937	0,1759