Контрольна робота по компьютерной графике

Рисунок 2 - Кривая теоретических вероятностей

 

Вывод: предположение о нормальном законе распределения принимаем.

 

Так как гипотезу о нормальном законе распределения опровергаем, то для  построения доверительного интервала  для неизвестного значения Х_ист,  воспользуемся неравенством Чебышева, тогда получим доверительный интервал:

при этом

= 0,214

Доверительный интервал для Х_ист [4,88; 9,84].

 

 

 

 

 

 

 

2  ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ  О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Цель: освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения с помощью критерия Колмогорова и критерия согласия  на примере нормального распределения.

 

При обработке экспериментальных  данных и определении погрешности результатов измерений, основополагающим является допущение о нормальности закона распределения ошибок измерений. Это допущение должно быть подтверждено. В работе 1 вывод о нормальности закона распределения делается по визуальному соответствию гистограммы частостей и теоретической кривой вероятности, то есть субъективно. Более объективными являются методы, использующие вероятностную бумагу и статистические критерии.

Вероятностной называется бумага для  построения графика интегральной функции распределения, у которой масштаб по оси абсцисс равномерен, а по оси ординат — неравномерен (кроме равномерного распределения) и соответствует проверяемому закону распределения. График интегральной функции распределения превращается на соответствующей вероятностной бумаге в прямую линию. Установить прямолинейность проще, чем определить соответствие (близость) двух плавных кривых.

Существуют нормальная, логарифмически нормальная и т.д. вероятностные бумаги. При отсутствии вероятностной бумаги и в случае равномерного распределения пользуются обычной миллиметровой, вычисляя значения ординат в соответствии с проверяемым законом распределения.

Для проверки гипотезы о  виде закона распределения необходимо расположить результаты измерений в неубывающем порядке, то есть построить вариационный ряд измерений:

Получаем (n+1) интервал:

Поставив в соответствие каждому значению Х_i вариационного ряда в качестве оценки функции распределения F(X) i/(n+1)-ю долю эмпирической функции распределения и пользуясь таблицами предполагаемого закона распределения, находят теоретические значения аргумента, соответствующие значениям, полученным в опыте для оценки интегральной функции F_n(X_i). Поскольку между Zi и X_i существует линейная связь

(при неизвестных и заменяем их выборочными точечными оценками), вычислять соответствующие теоретические значения Х_теор   нет необходимости, так как характер графика не изменится, если по оси ординат мы отложим значения   Z₁, Z₂ и так далее, а соответствующие им опытные значения Х₁, Х₂ и так далее отложим по оси абсцисс. Расположение точек на графике вдоль прямой линии подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений Х_i и теоретическими Z_i что свидетельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения.

Проведя на глаз прямую линию через точки, можно приближенно найти оценки X_гр, S_хгр   значений Х_ист , . Значение абсциссы и точке пересечения ее с построенной прямой равно  . Значение S_хгр можно найти по углу наклона прямой. Эти оценки, как и само установление факта прямолинейности, являются приближенными.

Использование критерия Колмогорова. Для определения допустимых отклонений эмпирической функции распределения от теоретической существуют непараметрические (свободные от распределения) критерии Колмогорова, Смирнова и другие.

Более наглядное представление  о критерии Колмогорова можно  получить, построив график эмпирической функции распределения, на который наносится также теоретическая интегральная функция, соответствующая проверяемому закону распределения. При этом, как и ранее, при неизвестных и используют их выборочные точечные оценки.

Найденное по графику во всем интервале значений Х_i максимальное отклонение эмпирической функции от теоретической D_max сравнивается с допустимым   значением   D_{п кр}.   Гипотеза  отклоняется,   если D_max> D_{п кр.}

Использование критерия согласия

При объеме выборки n > 40 для проверки гипотезы о виде распределения применяют критерий согласия (критерий Пирсона). Он применяется для группированных данных (как при построении гистограммы), когда в каждом интервале находится не менее 5 измерений. Если число измерений в интервале оказывается меньше 5, этот интервал объединяют с соседним. Критерий согласия имеет вид:

где п_к — число данных в k-м интервале {k = 1, 2,..., r); Р_k — теоретическая вероятность попадания случайной величины Х_i в k-й интервал, равная при нормальном законе

    (14)

где X_k - нижняя, а Х_k+1 - верхняя границы интервала; - теоретическая интегральная функция нормированного нормального распределения; п - объем выборки; r - число интервалов; - число степеней свободы; j - число параметров закона распределения, определяемых по выборке.

В случае нормального распределения j = 2, так как по выборке оцениваются два параметра распределения - математическое ожидание и дисперсия. В случае распределения Пуассона j = 1, так как математическое ожидание и дисперсия его равны, по выборке определяется один параметр.

Вычисленное по (14) значение сравнивается с табличным (критическим) при выбранном одностороннем уровне значимости . Если гипотеза о виде распределения принимается, в противном случае она отвергается и строится новая гипотеза — предполагается другой закон. Если вид закона подобрать не удается, то пользуются неравенством Чебышева для определения случайной погрешности (построение доверительного интервала для Х_ист).

 

Выполнение работы:

Таблица 3 – Данные для проверки закона распределения по вероятностной бумаге

i	Xi	Fn(Xi)=Ф(Zi)	Zi	i	Xi	Fn(Xi)=Ф(Zi)	Zi
1	4,88	0.0303	-1.88	9,12	7,69	0.5152	0.04
2	6,29	0.0606	-1.55	9,3	8,3	0.5455	0.11
3	6,38	0.0909	-1.34	9,78	8,36	0.5758	0.19
4	6,58	0.1212	-1.17	10,03	8,54	0.6061	0.27
5	6,68	0.1515	-1.03	10,12	8,64	0.6364	0.35
6	6,77	0.1818	-0.91	10,46	8,79	0.6667	0.43
7	6,97	0.2121	-0.8	10,74	8,81	0.697	0.52
8	7,25	0.2424	-0.7	10,78	8,84	0.7273	0.6
9	7,27	0.2727	-0.6	11,14	8,87	0.7576	0.7
10	7,35	0.303	-0.52	11,32	9,08	0.7879	0.8
11	7,35	0.3333	-0.43	11,66	9,51	0.8182	0.91
12	7,57	0.3636	-0.35	1198	9,52	0.8485	1.03
13	7,58	0.3939	-0.27	12,66	9,57	0.8788	1.17
14	7,63	0.4242	-0.19	12,84	9,64	0.9091	1.34
15	7,64	0.4545	-0.11	13,62	9,7	0.9394	1.55
16	7,68	0.4848	-0.04	15	9,84	0.9697	1.88

 

 

 

Рисунок 2 – График проверки нормального закона распределения

 

Вывод: гипотеза о нормальном законе распределения не подтверждается

 

D_{п кр} = 0,24

 

Таблица 4 – Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова

Номер границы инт. k	Значение границы интервала Xk	Ф (Zk)	Ф (Zk) – Dn, кр	Ф (Zk) + Dn, кр
1	4,880	0,9963	0,7563
2	5,872	0,9599	0,7199	1,1999
3	6,864	0,8238	0,5838	1,0638
4	7,856	0,5438	0,3038	0,7838
5	8,848	0,7611	0,5211	1,0011
6	9,840	0,937	0,697

 

Рисунок 3

 

Вывод: гипотеза о нормальном законе распределения не подтверждается.

 

Таблица 5 – Данные для проверки по критерию согласия Пирсона

№ интервала	Интервал		Число знач. в  интервале nk	Теоретич. вероятность Pk	nPk
	от	до
1	4,880	5,872	1	0,0364	0,0364	25,5089275
2	5,872	6,864	5	0,1361	0,6805	27,4181929
3	6,864	7,856	11	0,28	3,08	20,3657143
4	7,856	8,848	7	0,2173	1,5211	19,7346297
5	8,864	9,840	8	0,1759	1,4072	30,8875866

 

= 123,92

= 5.991

Вывод: закон о нормальном распределении случайной величины не подтверждается.

 

3 ОБЪЕДИНЕНИЕ  РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

 

Цель работы:

- изучить основные особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив;

- приобрести практические навыки обработки экспериментальных данных, полученных в нескольких сериях измерений при отсутствии систематических ошибок и нормальном законе распределения случайных ошибок измерений.

 

Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако объединение возможно только при условии однородности серий.

В математической статистике однородными  называются выборки (серии), взятые из одной генеральной совокупности, то есть имеющие одинаковый вид закона распределения, одинаковые математические ожидания и одинаковые дисперсии. В метрологии серии называются однородными, если подчиняются закону распределения одного вида с одинаковыми математическими ожиданиями (дисперсии могут быть различными).

Если дисперсии в сериях одинаковы (не выборочные их оценки, а сами дисперсии), то в простейшем случае для двух серий измерений критерий однородности (t –критерий) имеет вид:

                                     (16)

 

где X₁ и X₂ - средние арифметические в сериях; n₁ и n₂ - объемы серий; t_a/2v - табличное значение t – статистики (табл. 3 прил.); S²_{X об} - объединенная оценка дисперсии σ²:

                               (17)

где S²_X,1 и S²_X,2 – выборочные оценки дисперсии в сериях; v_об = n₁ + n₂ - 2 число степеней свободы оценки S²_Xоб и табличного значения t_a/2,vоб   .

Прежде чем воспользоваться  критерием (16), необходимо убедиться, что S²_X,1 и S²_X,2 есть оценки одной и той же дисперсии σ². Только в этом случае может быть использована объединенная оценка дисперсии S²_Xоб в виде (17). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в сериях осуществляется с помощью F - критерия (критерия дисперсионного отношения).

      (18)

где S²_X,max — максимальная из двух оценок S²_X,1 и S²_X,2, V₁ - число степеней свободы числителя (у = n-1); S²_X,min  - минимальная из двух оценок, V₂ - число степеней свободы знаменателя. Значение F_{α, v1, v2} берется из таблиц F - распределения при одностороннем уровне значимости а и числах степеней свободы числителя V₁ и знаменателя V₂.