Основные этапы развития вычислительной техники

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Примеры. 101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 1*4 + 0 +1 = 5₁₀

     1012=1•2²+0•2¹+1•2⁰   = 4+0+1=5

     618=6•8¹+1•8⁰ = 48+8=56

     435=4•5¹+3•5⁰ = 20+15 = 35

Задание. Переведите число 101101₂ в десятичную систему счисления.

Решение. 101101₂=1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=32+8+4+1=45₁₀ Ответ:  101101₂=45₁₀

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм

1. Последовательно  выполнить деление исходного  целого десятичного числа и  получаемых целых частных на  основание системы (на 2) до тех  пор,  пока не получится частное,  меньшее делителя (т.е. меньшее  2).

2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример.    Решение.

32510 = 1010001012			325	2
			-324	162	2
			1	-162	81	2
				0	-80	40	2
					1	-40	20	2
						0	-20	10	2
							0	-10	5	2
								0	-4	2	2
									1	-2	1
										0

Задание.

Как представляется  число 25₁₀ в двоичной системе счисления?

Решение.

			25	2
			24	12	2
			1	-12	6	2
				0	-6	3	2
					0	-2	1
						1

25₁₀=10011₂, что соответствует ответу №2. Ответ: 2.

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления  в десятичную.

Примеры. 111,01₂  = 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0*1/2+1* 1/4= 4+2+1+0,5+0,25 = 7,75₁₀

   10, 102=1•2¹+0•2⁰+1•2^-1+0•2^-2=2+0+1/2+0=2,5

   3,58=3•8⁰+5•8^-1=3+5/8=3,625

 

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления  в двоичную.

Алгоритм.

1. Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы  (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.
2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления.
3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример.

0,5625₁₀  = 0,1001₂.

Решение.

 

0,	5625
	х		2
1	1250
	х	2
0	2500
	х	2
0	5000
	х	2
1	0000

 

 

 

Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления.

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Сложение чисел в двоичной системе счисления. 
     2            10            101,01 
   +3          +11        +     1,11     
     5           101           111,00   

Пример 1010101₂ + 110111₂:

Дописывание единицы	1	1	1		1	1	1
Первое слагаемое		1	0	1	0	1	0	1
Второе слагаемое		0	1	1	0	1	1	1
Сумма	1	0	0	0	1	1	0	0

Результат сложения выглядит как 10001100₂. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

1010101₂=85₁₀, 110111₂=55₁₀, 10001100₂=140₁₀, 85₁₀+55₁₀=140₁₀.

Следует учитывать, что сложение, как обычно, нужно  начинать с младшего разряда. Если сумма  единиц разряда окажется равной или большей основания системы счисления, то возникает перенос единицы в старший разряд. После сложения cледует обязательно сделать обратный перевод и убедиться, что число 101 — действительно число 5 в десятичной системе счисления. 
Вычитание двоичных чисел

      14            1110          101 
       -9         - 1001        -   10,1   
        5              101            10,1

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Умножение чисел  в двоичной системе счисления.

   110           10100 
*101        * 1010    
   110       + 101 
+000       101      
110          11001000 

Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты используют две кратные двоичной системы счисления:  восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в  качестве цифр  используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 2.Таблица 2. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления

10-чная	2-чная	8-чная	16-ичная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Из Таблицы 2 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

10101101₂ → 10 101 101 → 255₈.

2   5   5

Крайняя левая  тройка может быть неполной (как  в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули. Убедимся в правильности алгоритма: 10101101₂  → 1*2⁷+1*2⁵+1*2³+2*2¹+1*2⁰=173₁₀;

255₈ →2*2⁶+5*2³+5*2⁰=173₁₀.

Для перевода чисел  из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

325₈ → 3     2 5 → 11 010 101 → 11010101₂.

        011   010   101

Для перевода чисел  из двоичной системы в шестнадцатеричную  используется алгоритм «по тетрадам».  Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

10101101₂ → 1010 1101 → AD₁₆.

 А    D

Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных  цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D5₁₆→ D 5 →1101 0101 → 11010101₂ → 11 010 101 → 325₈.

D 5                       3    2   5

При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

1. Как представляется число 163₁₀ в двоичной системе счисления?
2. Переведите число 11011011₂ в десятичную систему счисления.
3. Найдите значение суммы: 101011₂ + 231₈ = ?₈
4. Найдите значение суммы: 111011₂ + F1₁₆ = ?₂
5. Найдите значение суммы: 1216 + 1128 = ?8
6. Найдите значение суммы: 1010112 + 1C16 = ?16
7. Чем характеризуется  каждая позиционная система счисления?
8. Сколько и каких требуется цифр, чтобы можно было  любое число записать в восьмеричной системе счисления? А в двенадцатеричной?
9. Выпишите все цифры двадцатеричной системы.
10. Укажите, какие числа записаны с ошибкой: 1237, 30054, 12ААС0920,  134767.
11. Известно, что  алфавитом некой нетрадиционной системы являются символы:0,1,2,*,yÜ,Ö,Þ.
12. Каково основание  этой системы? Запишите  число 8 в этой системе. Выпишите первые 10 чисел.
13. Запишите число в 6-ричной системе число, следующее за числом 5.
14. Какое число следует за числом 1114 в 4-ричной системе?
15. Какое число  предшествует числу 108 в 8-ричной системе?
16. Запишите в развернутом виде числа: 657,199810,0,15А16,1АF1H,F920
17. Какое минимальное основание  может иметь система, если в ней записаны числа:432, 120,111,2331?
18. Какое из чисел больше: 510 или 58, 11112 или 11118
19. Как будет выглядеть в двоичной системе  десятичное число 0,125?
20. Переведите в десятичную систему счисления двоичные числа: 1;101;10000;1000101010;110010110;00011; 0,001    .
21. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе пятью цифрами?
22. Переведите в двоичную систему десятичные  числа:10,20,30,100;0,25; 0,5; 0,625.  
23. Сформулируйте критерий четности в двоичной системе.
24. Выпишите  таблицы сложения и умножения в пятеричной и шестнадцатеричной системах.
25. Выполните сложение, вычитание и умножение с числами: 1110101012 и 11102.
26. Восстановите цифры двоичной системы: а) **0*0*1**12+10111*10**2=100*1*000102