Основы работы с MathCAD

4. В чем заключается параболическая интерполяция?

Простейшим видом глобальной интерполяции является параболическая интерполяция, когда, используя описанные выше условия (2), для отыскания неизвестных n + 1 коэффициентов а0, а1, …, аn выражения (1) получают систему из n + 1 уравнений:

 

 

 

5. В чем заключается интерполяция многочленом Лагранжа?

Для построения интерполяционной формулы Лагранжа в Mathcad удобно использовать функцию if.

6. В чем заключается интерполяция сплайном?

При локальной интерполяции между различными узлами выбираются различные многочлены невысокой степени. В среде Mathcad есть для этого инструментарий: интерполяции сплайном (функция interp) - линейным (lspline), параболическим (pspline) и кубическим (cspline).

7. В чем заключается линейная интерполяция?

При локальной интерполяции между различными узлами выбираются различные многочлены невысокой степени. В среде Mathcad есть для этого инструментарий: средства линейной интерполяции (функция linterp).

8. В чем заключается предсказание?

Если необходимо оценить  значения функции в точках не принадлежащих отрезку [x0, xn], используйте функцию predict.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

Направление – Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

Кафедра – Автоматизации и роботизации в машиностроении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическая  обработка результатов экспериментальных  данных

 

Отчет по лабораторной работе № 4

по курсу «Математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студенты гр. 4А96                                                      

                                                                                                       ^{(Подпись)                    (Дата)}                  

Проверил: заведующий лабораторией                                              

                                  ^{(Подпись)           (Дата)}                

 

 

 

Цель работы: Ознакомиться с основными методами обработки экспериментальных данных в среде MathCAD. В процессе выполнения работы студенты узнают:

1. Метод наименьших квадратов;
2. Регрессионный анализ;
3. Сглаживание.

Изучая  в лабораторной работе № 3 теорию интерполяции, вы познакомились с интерполяционными  формулами, которые в точности воспроизводят значения данной функции в узлах интерполяции. Однако в ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно:

1. Если заданные величины х и у являются экспериментальными данными, то могут содержать в себе существенные ошибки, т.к. получены в результате измерений или наблюдений. Поэтому построение аппроксимирующего многочлена, воспроизводящего в точности заданное значение функции, означало бы тщательное копирование допущенных при измерениях ошибок.
2. Если имеются точные значения функции в некоторых точках, но число таких точек n весьма велико, то интерполяционный многочлен будет очень высокой степени (если только разности не будут становиться постоянными).

Поэтому возникает задача построения многочлена некоторой вполне определенной степени, но меньшей чем n - 1, который хотя и не дает точных значений функции в узлах интерполяции, но достаточно близко к ним подходит.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы на контрольные  вопросы:

1. Что такое аппроксимация?

Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В  геометрии  рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

2. В чем заключается метод наименьших квадратов?

Метод наименьших квадратов (МНК) состоит в следующем: для данных значений xi = х0, х1, …, хn и yi = y0, y1, …, yn подобрать многочлен заданной степени m<n вида φ(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0, (1) принимающий в заданных точках хi значения как можно более близкие к табличным значениям yi. Коэффициенты ai многочлена (1) находят из решения системы

 

 

 

Где .

3. В чем заключается линейная регрессия?

Встроенные  функции intercept (to intercept - отложить отрезок на линии) и slope (наклон) решают самую простую и распространенную задачу линейной регрессии экспериментальных данных:  f(x) = slope(vx, vy) x + intercept(vx, vy).

4. В чем заключается полиномиальная регрессия?

Используйте функцию regress, когда нужно получить единственный полином произвольной степени, чтобы приблизить все данные. Не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше 4 - 6, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают. Функция loess облегчает эти проблемы, выполняя локальное приближение. Вместо одного полинома loess создает различные полиномы второго порядка в зависимости от расположения на кривой.

5. В чем заключается нелинейная регрессия общего вида?

Если  данные должны быть смоделированы в  виде f(х) = f(x, u0, u1, . . ., un), нужно использовать функцию genfit, чтобы найти неизвестные параметры ui. Это нелинейная регрессия общего вида.

6. В чем заключается линейная регрессия общего вида?

Линейная  или полиномиальная регрессия не во всех случаях подходят для описания зависимости данных. Бывает, что  нужно искать эту зависимость  в виде линейных комбинаций произвольных функций, ни одна из которых не является полиномом. Если предполагается, что  данные могли бы быть смоделированы  в виде линейной комбинации произвольных функций f(х) = a0 f0(x) + a1 f1(x) + . . . + an fn(x), следует использовать linfit, чтобы вычислить ai. Это так называемая линейная регрессия общего вида.

7. В чем заключается сглаживание?

Сглаживание предполагает использование набора значений у (и возможно x) и возвращение нового набора значений у, который является более гладким, чем исходный набор. В отличие от регрессии и интерполяции, сглаживание приводит к новому набору значений у, а не к функции, которая может оценивать значения между заданными точками данных. Выполнить сглаживание экспериментальной функции, заданной таблицей значений vxi и vyi с помощью встроенных функций Маthcad: medsmooth, ksmooth и upsmooth. Результаты сглаживания отобразить графически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

Направление – Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

Кафедра – Автоматизации и роботизации в машиностроении

 

 

 

 

Численное интегрирование и дифференцирование

 

Отчет по лабораторной работе № 5

по курсу «Математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студенты гр. 4А96                                                      

                                                                                                       ^{(Подпись)                    (Дата)}                  

Проверил: заведующий лабораторией                                              

                                  ^{(Подпись)           (Дата)}                

 

 

 

Цель работы: ознакомиться с основными методами численного интегрирование и дифференцирования. В процессе выполнения работы студенты узнают:

4. Численное интегрирование и дифференцирование;
5. Символьное интегрирование и дифференцирование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы на контрольные  вопросы:

1. Что такое интеграл?

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

2. Поясните на графике, как находится интеграл по формуле прямоугольников.

 

3. Поясните на графике, как находится интеграл по формуле трапеций.

 

4. Поясните на графике, как находится интеграл по формуле Симпсона.

 

5. Поясните, как находится интеграл методом неопределенных коэффициентов 

 

6. Поясните на графике, как находится интеграл методом Монте-Карло.

 

7. Что такое дифференциал?

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

8. Поясните, как находится дифференциал методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов предполагает использование в качестве интерполяционного многочлена φ(x) полином степени k = n (φ(x) = (X - xi)k), а коэффициенты Вi формулы находятся в результате решения следующей системы уравнений:

 

 

 

Где .

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

Направление – Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

Кафедра – Автоматизации и роботизации в машиностроении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

 

Отчет по лабораторной работе № 5

по курсу «Математическое моделирование»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студенты гр. 4А96                                                      

                                                                                                       ^{(Подпись)                    (Дата)}                  

Проверил: заведующий лабораторией                                              

 

                                  ^{(Подпись)           (Дата)}                

 

 

Цель работы: Ознакомиться с основными методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка. В процессе выполнения работы студенты узнают:

6. Аналитическое решение дифференциальных уравнений первого порядка;
7. Задача Коши;
8. Одношаговые методы решения ОДУ;
9. Многошаговые методы решения ОДУ;
10. Преобразование краевой задачи к задаче Коши.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) широко применяется в практике научно-технических расчетов. Хотя линейные ОДУ могут иметь решения  в виде специальных функций, многие физические системы нелинейны и  описываются нелинейными ОДУ, не имеющими аналитического решения. В  этом случае приходиться использовать численные методы решения ОДУ.