Применение фракталов

Содержание

1. История

2. Примеры

1. Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

2. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

3. Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

4. Фракталы в комплексной динамике

5. Стохастические фракталы

3. Применение фракталов

1. Компьютерная графика

2. Анализ рынков

3. Физика и другие естественные науки

4. Литература

 

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

 

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Следует отметить, что слово «фрактал»  не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно  может употребляться, когда рассматриваемая  фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
• Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Многие объекты в природе  обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря  сочетанию красоты с простотой  построения при помощи компьютера.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки  зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
• треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

 

Кривая Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

Кривая дракона

Кривая дракона — общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть апроксимированы рекурсивными методами, такими как L-системы.

Дракон Хартера — Хейтуэя

 

Дракон Хартера — Хейтуэя

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера — Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA — John Heighway, Bruce Banks, и William Harter. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером (Martin Gardner) в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Chandler Davis и Дональдом Кнутом.

Фрактал может быть записан как L-система  с параметрами:

• угол равен 90°
• начальная строка — FX
• правила преобразования строк:
• X X+YF+
• Y -FX-Y

Кроме того, фрактал может быть описан системой рекурсивных функций  на комплексной плоскости:

.

 
Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем  итерацию. Если после этого снова  разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.

IFS для кривой:

X' = -0.5*X -0.5*Y + 490

Y' = 0.5*X -0.5*Y + 120

 

X' = 0.5*X -0.5*Y + 340

Y' = 0.5*X +0.5*Y - 110

Кривая Коха

 

 

Кривая Коха

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т. е. нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Построение

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Свойства

• Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
• Кривая Коха не имеет самопересечений.
• Кривая Коха имеет промежуточную (т. е. не целую) хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Обобщения

Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза.

Также, можно построить кривую «Крест Коха» на сторонах квадрата, при этом проводя построение «внутрь» квадрата.

Так же можно построить "Снежинку Коха" на сторонах равностороннего  трегоугольника.

Кривая Леви

 

Кривая Леви

Кривая Леви — фрактал предложенный французским математиком П. Леви, получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе мы получим кривую Леви.

Свойства

• Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема.
• На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения.
• Хаусдорфова размерность кривой Леви приблизительно равна 1.9340. (Хотя кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия , из-за наличия самопересечений её размерность меньше чем .)

Кривая Пеано

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле , открытые области пространства)

Обычно  такие примеры строятся как предел последовательности кривых.

Свойства

Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта выше содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая

r(t) = (x(t),y(t),t)

где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она  не может служить защитой от дождя  так как не есть непрерывная поверхность.

Существуют кривые Пеано, сохраняющие  меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Вышеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.

Примеры

 

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь приведены первые шесть итераций последовательности кривых.

1. Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим  образом. Пусть разложение x в  троичной системе счисления имеет  вид 0, x1 x2 x3 ... xk (каждое из xk равно  0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим  как число, имеющее следующее разложение 0,f1 f2 f3 ... fk в троичной системе:

f1 = x1

 

f2 = x2, если x2 четно, и 2-x2, если x2 нечетно

 

        x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) четно

fk =

        2-x(2k-1), если x2+x4+...+x(2k-2) нечетно

 

Аналогичным образом определим  функцию g(x) = 0, g1 g2 ... gk... в троичной системе счисления:

g1 = x2, если x1 четно, и 2-x2, если x1 нечетно

 

      x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) четно

gk =

      2-x(2k), если x1+x3+...+x(2k-1) нечетно

 

Рассмотрим теперь отображение: x -> [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления  в троичной системе счисления,  значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими  от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны  на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными  функциями f и g на плоскости x -> [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в  квадрат [0,1]^2.

Идея почерпнута в книге:

Макаров Б.Н. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44

Обобщения

Существует аналог кривых Пеано, заполняющий  многомерный куб и даже гильбертов кирпич.

Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

Если X — континуум, то эквивалентны условия: пространство X локально связно, X — непрерывный образ интервала.

• с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения  фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения  — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n = 3 и отображения ψ₁, ψ₂, ψ₃ — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ.

В случае, когда отображения ψ_i — преобразования подобия с коэффициентами r_i > 0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln3 / ln2.