Применение производной составленной функции, к исследованию свойств функции

Измаильский государственный  гуманитарный университет

Факультет экономики и  информатики

Кафедра Информатики

К у р с о в а  я  р а б о т а

по теме: Применение производной  составленной функции, к исследованию свойств функции

Студентки_____курса______группы

_______________формы обучения

_____________________________

(фамилия, имя и отчество)

Руководитель курсовой работы ___________ _________________

                  (подпись) (фамилия и инициалы)

       

Измаил 2011

ПЛАН

ВСТУПЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. Определение производной, её свойства

1. Происхождение понятия производной
2. Понятие производной
3. Геометрический смысл производной.
4. Физический смысл производной.

 

РАЗДЕЛ II. Изучение функции с помощью производной

2.1 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

2.2 Достаточные условия убывания и возрастания функции.          Достаточные условия экстремума функции.

2.3 Правило нахождения экстремума

РАЗДЕЛ III. Применение производной

3.1 Правила дифференцирования.

3.2 Производные высших порядков

3.3 Точка перегиба графика функции.

3.4 Общая схема исследования функции и построение ее 

графика.

Заключение

 

 

 

 

 

Введение

   Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 - 17 в. техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц  в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция  есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: а А !b B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения  постоянных и переменных величин  и дифференциала, объясняются употребляющиеся  обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю  математику, превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения  различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим  выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях  производной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗДЕЛ I. Определение производной, её свойства

1.1Происхождение понятия производной

    ^{Ряд задач дифференциального  исчисления был  решен еще в  древности.}

^{Основное  понятие дифференциального  исчисления - понятие  производной - возникло в XVII в. в связи  с необходимостью решения ряда задач  по физике, механике и математике, в  первую очередь следующих  двух: определение  скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной  к производной  плоской кривой.}

     ^{Первая из этих  задач была впервые  решена Ньютоном. Функцию он называл флюент, тоесть текущей величиной (от латинского fluere - течь), производную же - флюксиями (от того же fluere). Ньютон обозначал функции последними буквами латинского алфавита} u, x, y, z, ^{а их флюксиями, то есть производные от флюент по времени, - соответственно теми же буквами с точкой над ними:}

     ^{Для доказательства  своего правила  Ньютон, следуя в  основном с Ферма,  рассматривает бесконечно  малый прирост  времени dt, что  он обозначал знаком  х0, отличным от  нуля. Выражение x0, что сказывается  сейчас и называется дифференциалом} (dx) ^{Ньютон называл моментом.}

     ^{Ньютон пришел  к понятию производной,  исходя из вопросов  механики. Свои результаты  в этой области  он изложил в  трактате, названном  им «Метод флюксий  и бесконечных  рядов», составленном  около 1671 Предполагают, что Ньютон открыл  свой метод флюксий  еще в середине 60-х  годов XVII в., Однако  вышеупомянутый его  трактат был опубликован  посмертно лишь  в 1736 г.}

     ^{Математиков XV - XVII вв. долго занимал  вопрос о пребывании  общего метода  для построения  касательной в  любой точке кривой. Задача эта была  связана также  с изучением движений  тел и с отысканием  экстремумов наибольших  и наименьших значений  различных функций.}

     ^{Некоторые частные  случаи решения  задач были даны  еще в древности.  Так в «Началах»  Евклида дан способ  построения касательной  к окружности, Архимед  построил касательную  к спирали, носящей  его имя, Аполлоний  - к эллипсу, гиперболе  и параболе. Однако  древнегреческие  ученые не решили задачу до конца, то есть не нашли общего метода, пригодного для построения касательной к любой плоской кривой в походной ее точке.}

     ^{С самого начала XVII в. многие ученые, в том числе  Торричелли, Вивиани,  Роберваля, Барроу, пытались найти  решение вопроса,  прибегая к кинематических  соображений. Первый  общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в «Геометрии» Декарта. Более общего и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.}

     ^{Основываясь на  результатах Ферма  и некоторых других  выводах, Лейбниц  значительно полнее  своих предшественников  решил задачу, о  которой идет речь, создав соответствующий  алгоритм. У него  задача нахождения} tgj ^{то есть углового коэффициента касательной в точке М, к плоской кривой, определяемой функцией , сводится к нахождению производной функции y по независимой переменной x при данном ее значении (или в данной точке) x = x1.}

     ^{Можно привести  и другие примеры,  показывающие, какую  большую роль играет  понятие производной  в науке и технике:  ускорение - есть  производная от  скорости по времени,  теплоемкость тела - есть производная  от количества  тепла по температуре,  скорость радиоактивного  распада - есть  производная от  массы радиоактивного  вещества по времени  и т.п. Изучение  свойств и способов  вычисления производных  и их применение  к исследованию  функций составляет  главный предмет  дифференциального  исчисления.}

     ^{Первая печатная  работа по дифференциальному  исчислению была  опубликована Лейбницем  в 1684 г. Это были  мемуары, появившиеся  в 1682 г. в математическом  журнале «Acta Eruditorum»  (прототип «Учебных  записок») и озаглавленный  «Новый метод максимумов  и минимумов, а  также касательных,  для которого не  являются препятствием  дробные и иррациональные  числа, и особый  для этого род  исчисления ».  В этой статье, состоящей всего  лишь из 6 страниц,  содержится изложение  сути метода исчисления  бесконечно малых,  в частности излагаются  основные правила  дифференцирования.  Итак, если в «Методе  флюксий» как первоначальное  понятие фигурирует  скорость, то в  «Новом методе»  Лейбница таким  понятием является  касательная.}

    ^{Увеличение абсциссы  Лейбниц обозначал  через} dx^{, что соответствует увеличению ординаты - через} Dy^{. Сейчас б символ производной}

^{восходит  к Лейбница. В Лейбница основным понятием был  не производная, для  которой он даже специального термина не было, а дифференциал.}

     ^{В середине XVIII в.  Эйлер стал пользоваться  греческой буквой  Δ для обозначения  приращений переменных  величин, т.е.} ∆y = y₂ – y₁, ∆х = x₂ – x₁ ^{и т.д. Это обозначение сохранилось поныне. Мы пишем:}

 

^{Обозначения и для производной ввел Лагранж.}

     ^{Сам термин «производная»  впервые встречается  у француза Луа  Арбогаста в его  книге «Вычисление  производных", опубликованной  в Париже в 1800 г. Этим термином  сразу же стал  пользоваться и  Лагранж. Термин  этот быстро вошел  во всеобщее употребление, а Коши, используя  начальную букву  этого термина,  стал обозначать  производную символом} Dy ^или Df(x).

     ^{Терминология Ньютона  (флюенты, флюксиями)  и его символы  производной утратили  свое значение. Только  в физике и механике  в некоторых случаях  обозначают точками  над буквами производные  по времени.}

     ^{Первый печатный  курс дифференциального  исчисления вышел  в свет в Париже  в 1696 г. под заголовком  «Анализ бесконечно  малых». Его автор  Г. Ф. Де Лопиталь  за основу этой  книги взял рукопись  Иоганна Бернулли, одного из ближайших  сотрудников Лейбница. Вот почему этот  курс следует рассматривать  как типичный произведение  школы Лейбница.}

     ^{В первой же  главе своей книги  Лопиталь требует,  «чтобы величина, увеличена или  уменьшена на другую  бесконечно малую  величину, могла быть  рассмотрена как  неизменная». Тут  бесконечно малая  рассматривается  как ноль, ее нельзя  отвергать. Это  один из фундаментальных  принципов исчисления  бесконечно малых  Лейбница, сейчас  отброшен наукой. Этим принципом  пользовался Лопиталь  и при установлении  формул дифференцирования.}

     ^{В первый период  разработки математического  анализа основоположники  этой теории не  могли достаточно  четко и ясно  обосновать принципы  этой теории и  поэтому искали  подтверждения правильности  теории в согласованности  математических выводов  с опытом, с практикой  при решении задач  механики и астрономии. Однако простая  проверка гипотезы  на практике не  дает абсолютной  уверенности в  ее непогрешимости. Достаточно одного  факта, что не  согласится с данной  гипотезой, как  она будет опровергнута. Вот почему на  последующих этапах  перед математиками  возникла проблема  строгого математического  обоснования теории  математического  анализа.}

1.2 Понятие производной

 

  При решении различных задач  геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость  с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

  

Тот процесс, с помощью  которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 
  1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x); 
  2) составляем отношение   

3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим , который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу. 
  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. 
  Таким образом, ,  или   

Заметим, что если при  некотором значении x, например при x=a, отношение при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

1.3 Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции  у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;          ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать  ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В  будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу  при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x₀), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох, по  определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит,  k = tga = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл  производной заключается в следующем: