Применение производной составленной функции, к исследованию свойств функции

Так как по первоначальному  предположению  не равна нулю в  точке, где ищется ее производная, то найдем новую функцию  и  вычислим ее производную

     (1)

Отношение называется логарифмической производной функции. Из формулы (1) получаем

. Или        

Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции  .

3.2  Производные высших порядков

 

  Ясно, что производнаяфункции y =f (x) есть также функция от x:

   

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать   

Очень удобно пользоваться также обозначением, указывающим, что  функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза. 
  Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами.  

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Дифференцируя производную первого порядка, можно  получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка  и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.

Например:

1)   ;  ;  ; ...; 

;   .

Разные функции ведут  себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы  бесконечное количество раз, но порождают  новые функции, отличные от исходной.

Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных  высших порядков.

Изучение функции с  помощью производной

 

 3.3 Точка перегиба графика функции.

 

   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1а).

Рисунок 1

 

   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вниз, если существует такая окрестность точки x₀ , что часть кривой, соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой, проведенной в точке A с абсциссой x₀. (см. Рисунок 1б). 
   Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x₀ следует, что для любой точки x из интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с точкой x₀, имеет место неравенство f(x) - y < 0   ( f(x) - y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N касательной                                  y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б). 
   Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x₀ - h, x₀ + h), не совпадающей с x₀, выполняется неравенство f(x) - y < 0    (f(x) - y > 0),

то кривая y = f(x) в точке x₀ обращена выпуклостью вверх (вниз). 
   Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b), если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала. 
   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке с абсциссой x будет уменьшаться.

Рисунок 2.

 

   В самом деле, пусть абсцисса x₁ точки A меньше абсциссы x₂ точки B (рис. 2). Проведем касательные t₁ и t₂ соответствено в точках A и B к кривой y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t₁ и t₂. Тогда из рис. 2 видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a. Следовательно tgj > tga или f '(x₁ ) > f '(x₂ ). 
   Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b):  f ''(x)£0.

Рисунок 3.

 

   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2 непосредственно видно, что tga > tgj т.е. f '(x₂ ) > f '(x₁ ), а поэтому в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b) функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)³0. 
   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b), то в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если f ''(x)³0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена выпуклостью вниз. 
   Запишем уравнение касательной y - y₀ = f '(x₀ )(x - x₀ ) к кривой y = f (x) в точке x₀, где a < x₀ b, в виде y = y₀ + f '(x₀ )(x - x₀ ). Очевидно, y₀ = f(x₀ ), а потому последнее уравнение можно записать в виде                  y = f(x₀ ) + f '(x₀ )(x - x₀ ).      (1)    

Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:

     (2)

Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение (1), получим:    (3)   

Если f ''[x₀ + Q(x - x₀ )]£0, где 0 < Q < 1, то имеем f(x) - y £ 0

откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх. 
   Если f ''[x₀ + Q(x - x₀ )]³0, то имеем f(x) - y ³ 0 откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз. 
   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то высказанное выше утверждение доказано.

Рисунок 4.

 

   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит  от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении  предполагается, что в точке перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот) имеется единственная касательная). 
   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f ''(x) и пусть A[x₀ ; f(x₀ )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда f ''(x₀ ) = 0 или не существует. 
   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегиба A[x₀ ; f(x₀ )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x₀ - h, x₀ ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀, x₀ +h) - больше нуля. 
   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀ ) = 0.

Рисунок 5.

 

   На рис.5 изображен график функции  . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх. 
   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.   

Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при x = x₀, то точка A[x₀ ; f(x₀ )] является точкой перегиба кривой y = f(x) при условии, конечно, что в точке A существует касательная. 
   Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x₀ - h < x < x₀ и f ''(x) > 0 при x₀ < x < x₀ + h. Тогда в интервале (x₀ - h; x₀ ) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x₀ ; x₀ + h) - выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x₀ ; f(x₀ )] есть точка перегиба кривой, что и требовалось доказать.

3.4 Общая схема исследования  функции и построение ее графика.

 

   1. Находим область определения  функции f(x) 
   2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим их на чертеж. 
   3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей координат и начала координат. 
   4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в точке x₀ разрыв, то отмечаем ее на чертеже. 
   5. Находим асимптоты кривой, если они имеются. 
   6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой с максимальной и минимальной ординатами. 
   7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки перегиба кривой и отмечаем их на чертеже. 
   8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям  в математике, которые стандартным  путём трудно разрешимы, но громоздкими  способами. Рассмотренные подходы  нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит  интерес к производной.

Итак, геометрический смысл  производной: производная функции  в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке    x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Экономический смысл производной: производная выступает как интенсивность  изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или  относительно другого исследуемого фактора.

Производная находит широкое приложение в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.

Производная является важнейшим  инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических  понятий, а также выразить ряд  экономических законов с помощью  математических формул.

Наиболее актуально использование  производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем

Знание производной позволяет  решать многочисленные задачи по экономической  теории, физике, алгебре и геометрии.

 

Дополнение.

Таблица производных.

                                         

                                    

_{Похідна статечно-показової  функції}

, де .

.

_{Логарифмічне  диференціювання. Хай дана функція} . При цьому передбачається, що функція не звертається в нуль в точці. Покажемо один із способів знаходження похідної функції , якщо дуже складна функція і за звичайними правилами дифференцірованія знайти похідну важко.

Так як за первісним припущенням не дорівнює нулю в точці, де шукається її похідна, то знайдемо нову функцію і обчислимо її похідну

     (1)

Відношення називається логарифмічною похідною функції . З формули (1) отримуємо

 

. або       (2)

_{Формула (2) дає простий спосіб знаходження похідної функції}  .

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач  з

 математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344

 с.

 Саушкін О. Ф. Розв’язування  алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

 Лурьве М. В., Александров  Б. И. Задачи на составление  уравнений: Учеб.

 рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

 Амелькин В. Задачи  з параметром. — Минск, 1994.

 Мордкович А. Г.  Набольшее и наименьше значения  величин. — М.:

 Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

 Чайковський М. А.  Квадратні рівняння. — К., 1970. —  242 с.

 Маслай Г. С., Шоголева  Л. О. Рівняння та системи  рівнянь з параметрами:

 Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

 Гусак Г. М., Капуцкая  Д. А. Математика для подготовительных  отделений

 для подготовительных  отделений

 вузов: Справ. пособие  / Под ред. А. А. Гусака. —  Мн.: Высш. шк., 1989. —

495 с.

 Маслова Т. Н., Суходений  А. М. Ваш домашний репетитор.  — М.: ООО «Изд.

 дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

 Математика для поступающих  в экономические вузы: Уч. пос.  для вузов /

 Под ред. проф. Н.  М. Кремера. — 2-ге изд., перероб.  и доп. — М.: ЮНИТИ,

1998. — 430 с.

 Алгебра и начала  аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ.  учредж. / Под ред.

 А. Н. Колмогорова.  — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

 

    Ряд задач диференціального був вирішений ще в стародавності. 
Основне поняття диференціального числення – поняття похідної – виникло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю розв’язування ряду задач з фізики, механіки і математики, у першу чергу наступних двох: визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху і побудови дотичної до похідної плоскої кривої. 
     Перша з цих задач була уперше розв’язане Ньютоном. Функцію він називав флюентою, тобто поточною величиною (від латинського fluere - текти), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останніми літерами латинського алфавіту u, x, y, z, а їх флюксії, тобто похідні від флюент за часом, - відповідно тими ж літерами з крапкою над ними: u,x,y,z  
   Для доказу свого правила Ньютон, випливаючи в основному  з Ферма, розглядає нескінченно малий приріст часу dt, що він позначав знаком х₀, відмінним від нуля. Вираз x₀, що позначається нині і називається диференціалом (dx) ,Ньютон називав моментом. 
     Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Свої результати в цій області він виклав у трактаті, названому їм «Метод флюксій і нескінченних рядів», що був складений близько 1671 р. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-х років XVII в., однак вищезгаданий його трактат був опублікований посмертно лише