Шпаргалка по "Системам автоматического управления"

В линейных САР изменение  выходной переменной y(t) под влиянием воздействия x(t) является решением линейного дифференциального уравнения.

где а, b – постоянные коэффициенты; – оператор дифференцирования.

Если в некоторый момент времени воздействие с системы  снять и предоставить систему  самой себе, то изменение переменной y во времени, ее свободное движение y_св(t), будет решением уравнения

.           

В соответствии с определением устойчивости САР по А.М. Ляпунову, САР  будет устойчивой, если при t®¥ свободная составляющая y_св(t) будет стремиться к нулю. Решение уравнения определяется корнями характеристического уравнения, которое получают из уравнения ,приравнивая операторный полином а(р) нулю, т.е. уравнением ,                    

в котором р означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число.

Корни характеристического  уравнения могут быть вещественными, в том числе кратными, нулевыми, комплексными и мнимыми.При вещественных корнях характеристического уравнения р_i=a_i уравнение будет иметь вид

.                         

Очевидно, что для устойчивой работы системы  необходимо и достаточно, чтобы все  слагаемые уравнения  с течением времени стремились к нулю. Это  возможно, если все корни характеристического  уравнения системы отрицательные. Наличие хотя бы одного положительного корня будет свидетельствовать  о неустойчивости системы, т.к. тогда  соответствующее слагаемое в  уравнении с течением времени  будет возрастать.

Если среди корней характеристического  уравнения системы будут вещественные кратные корни, то в появятся составляющие вида  ,где B_i – постоянные интегрирования;

       k – кратность корня.

Если кратный корень вещественный отрицательный, или комплексный  с отрицательной вещественной частью, то множитель e^pit будет с течением времени убывать, а множитель в скобках неограниченно возрастать, т.е. появляется неопределенность типа ¥×0. Но поскольку при отрицательных корнях множитель e^pit убывает быстрее множителя в скобках, то эта группа слагаемых при отрицательных корнях с течением времени будет стремиться к нулю.

Если среди корней характеристического  уравнения имеются комплексные  сопряженные вида p_i,i+1 = a_i±jw_i, то в уравнении появятся составляющие вида ,где С_i, j_i – новые постоянные.

В этом случае в системе  возникают колебания выходной величины. Эти колебания будут затухающими  только в том случае, если вещественная часть корней a_i отрицательная. В противном случае система будет неустойчивой, т.к. амплитуда колебаний выходной величины с течением времени будет возрастать.

При наличии нулевых корней характеристического уравнения, в  уравнении появятся составляющие вида А_i и в системе установится произвольное отклонение выходной переменной от установившегося значения. Система будет нейтрально устойчивой.

Если среди корней характеристического  уравнения будут мнимые p_i,i+1=±jw_i, то в уравнении появятся составляющие вида A_i×sin(w_it+j_i) и выходная переменная системы будет совершать незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой. Система будет находиться на границе устойчивости.

Корни характеристического  уравнения наглядно можно представить  на комплексной плоскости если в качестве ее осей принять корни a и w характеристического уравнения (плоскость корней р).

 

 

Рассматривая расположение корней на комплексной плоскости, можно  отметить, что САР устойчива, если все корни характеристического уравнения замкнутой системы лежат в левой полуплоскости, левее мнимой оси, т.е. если все они вещественные отрицательные или комплексные с отрицательной вещественной частью. Мнимая ось в плоскости корней характеристического уравнения является границей устойчивости, которую принято отмечать штриховкой, направленной в сторону устойчивой зоны.

Таким образом, для определения  устойчивости САР необходимо решить характеристическое уравнение замкнутой  системы и проанализировать расположение ее корней на комплексной плоскости.

 

21. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица формулируется  следующим образом.

САР устойчива, если все коэффициенты однородного дифференциального уравнения замкнутой системы положительные, а определители Гурвица больше нуля.

Для рассмотрения критерия воспользуемся общей формой записи характеристического полинома замкнутой  системы.

 

.

 

Из коэффициентов этого  уравнения составляют главный определитель Гурвица D_n, представляющий собой квадратную матрицу, содержащую n строк и n столбцов. Для этого по диагонали от левого верхнего до правого нижнего угла выписывают все коэффициенты по порядку от n-1 до а₀. Каждый столбец дополняют коэффициентами с последовательно возрастающими индексами сверху вниз. В случае отсутствия коэффициента на его месте пишут ноль. Определители Гурвица получают последовательным   отчеркиванием на матрице строк и столбцов.

 

.

 

Условию устойчивости соответствуют  следующие неравенства:

 

;    ;      .

 

Последний определитель включает всю матрицу, но он может быть выражен  через предпоследний определитель Гурвица уравнением D_n=a₀D_n-1>0. В устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому положительность последнего определителя можно и не определять, если свободный член характеристического уравнения a₀>0. В свою очередь, если главный определитель Гурвица D_n=a₀D_n-1 равен нулю, то система находится на границе устойчивости. Это возможно, если a₀ = 0 (один из корней характеристического уравнения равен нулю), или D_n-1=0 (два корня характеристического уравнения мнимые). Это условие позволяет использовать критерий Гурвица для определения предельных (критических) значений отдельных параметров системы, при которых она будет находиться на границе устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. Критерий устойчивости Михайлова

Запишем выходной характеристический полином замкнутой САР следующим образом

 

.

 

Подставим в этот полином p=jw, где w - угловая частота колебаний. Тогда получим характеристический комплекс, называемый вектором Михайлова.

 

,

 

где

 

 

 

называют соответственно вещественной и мнимой функциями  Михайлова. Если изменять частоту w от нуля до бесконечности, то вектор D(jw) будет изменяться по величине и направлению, описывая своим концом на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом.

САР устойчива, если годограф Михайлова при w=0 начинается на вещественной положительной полуоси и с увеличением частоты проходит в положительном направлении против часовой стрелки последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль, где n – порядок дифференциального уравнения или степень характеристического полинома. Любое отклонение от этого правила говорит о неустойчивости системы. Для системы, находящейся на границе устойчивости, годограф Михайлова проходит через ноль. На рисунке 3.3 показаны годографы Михайлова для устойчивых систем соответствующего порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Критерий устойчивости Найквиста

Преимуществом критерия Найквиста  является то, что он дает количественные оценки устойчивости и позволяет  связать исследование устойчивости с последующим анализом качества и выбором оптимальных настроечных  параметров регуляторов. Формулируется  критерий Найквиста следующим образом.

САР, устойчивая в разомкнутом  состоянии, будет устойчивой в замкнутом  состоянии, если годограф АФХ разомкнутой  системы при изменении частоты  от нуля до бесконечности не охватывает на комплексной плоскости точку  с координатами (-1, j0). Устойчивой системе соответствует годограф W₁(jw) на рисунке Если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1, j0), то замкнутая система будет неустойчивой. Неустойчивой системе соответствует годограф W₂(jw) на рисунке .Если годограф АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j0), то система находится на границе устойчивости.

 

 

Для устойчивой системы по расположению годографа АФХ можно  судить о так называемом запасе устойчивости. Чем дальше годограф АФХ разомкнутой  системы проходит от точки (-1, j0), тем больше этот запас. Характеризуется он двумя численными величинами: запасом устойчивости по модулю С и запасом устойчивости по фазе g

Запас устойчивости по модулю определяется как расстояние от точки (-1, j0) до точки пересечения годографа АФХ разомкнутой системы с отрицательной вещественной полуосью. Величина С находится в пределах от 0 до 1. Запас устойчивости по модулю показывает в каких пределах можно увеличивать модуль АФХ разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой.

Запас устойчивости по фазе – это угол между отрицательной  вещественной полуосью и лучом, проведенным  из начала координат в точку пересечения  годографа АФХ разомкнутой системы  с окружностью единичного радиуса. Запас устойчивости по фазе показывает в каких пределах возможно увеличение запаздывания по фазе в разомкнутой системе, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Анализ устойчивости по логарифмическим  частотным характеристикам разомкнутой  системы

Используя критерий Найквиста  можно оценить устойчивость системы  по ее логарифмическим частотным  характеристикам. В соответствии с  критерием Найквиста система  будет находиться на границе устойчивости, если при значении ФЧХ системы j(w) =-p модуль АЧХ системы А(w)=1. Поскольку lg1=0, то условию нахождения системы на границе устойчивости будут соответствовать значения ЛАЧХ разомкнутой системы L(w)=0 при j(w)=-p. Этот случай изображен на рисунке 3.5, а.

 

 

Если характеристика j(w) принимает значение -p при положительном значении характеристики L(w), то система будет неустойчивой (рисунок 3.5, б). Если характеристика j(w) принимает значение -p при отрицательном значении характеристики L(w), то система будет устойчивой (рисунок 3.5, в).

Тогда критерий Найквиста  применительно к логарифмическим  частотным характеристикам можно  сформулировать следующим образом.

Замкнутая система будет  устойчивой, если при достижении ЛФЧХ устойчивой разомкнутой системы  значения –p, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика системы отрицательная. При этом запас устойчивости по амплитуде равен С, дБ., а по фазе g, град., как это показано на рисунке 3.5,в. В заключение отметим, что изложенная формулировка критерия Найквиста справедлива только для так называемых систем с АФХ первого рода, у которых годограф АФХ разомкнутой системы пересекает отрицательную вещественную полуось комплексной плоскости только один раз

 

27-вопрос:Построение области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра

В случае, когда необходимо исследовать влияние на устойчивость только одного параметра, например коэффициента передачи системы К, вместо этого параметра вводится комплексная величина, вещественная часть которой равна этому параметру, т.е. предполагается, что k=P(w)+jQ(w).

Для определения области  устойчивости следует:

1) Разрешить характеристическое  уравнение замкнутой системы  относительно исследуемого параметра.

2) В полученном выражении  заменить р на jw и выделить его вещественную и мнимую части

P(w)=f₁(w);  Q(w)=f₂(w).

3) Изменяя частоту w от -¥ до +¥ вычислить  значения P(w) и Q(w) и в плоскости P(w) и Q(w) построить D-разбиения.

4) Заштриховать кривую D-разбиения слева при движении от w =-¥  к w=+¥. Область, в сторону которой направлена штриховка, будет иметь наибольшее число левых корней и будет претендовать на область устойчивости.

5. Выполнить проверку  одной точки выделенной области  на устойчивость и записать  условие устойчивости (если оно  существует). При этом следует  рассматривать лишь  действительные  значения исследуемого параметра.

 

 

 

 

 

 

 

25. Устойчивость систем с запаздыванием

САР, содержащую хотя бы одно запаздывающее звено, называют системой с запаздыванием. Структурная схема такой САР

Передаточная функция  этой системы

имеет характеристическое уравнение                                                   

Это характеристическое уравнение  из-за наличия множителя e^-pt имеет бесконечное множество корней,

и по этой причине уравнение  можно рассматривать как уравнение «бесконечной степени».