Системы массового обслуживания с приоритетами

S₀ – канал свободен; 

S₁ – канал занят, очереди нет;

S₂ – канал занят, одна заявка стоит в очереди;

……

S_k – канал занят, k -1 стоят в очереди;

……

S_m+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди.

Граф состояний имеет  вид:

 

 

 

 

 

При анализе данной СМО находят абсолютную (А) и относительную (q) пропускные способности, вероятность отказа, среднее число заявок, связанных с системой ( ), среднюю длину очереди ( ), среднее время ожидания заявки в очереди ( ), среднее время пребывания заявки в системе (Т_сист.) и вероятности нахождения системы в каждом из состояний.

1. Вероятности состояний:

2. Относительная пропускная способность:

3. Абсолютная пропускная способность:

А=lq.

4. Вероятность отказа:

5. Средняя длина очереди:

.

6. Среднее число заявок:

7. Среднее время ожидания заявки в очереди:

 или 

8. Среднее время пребывания заявки в системе:

 

3.4. ДРУГИЕ РАЗНОВИДНОСТИ СМО⁶

Теперь можно рассмотреть  работу многоканальной СМО с ожиданием при m®¥ (неограниченная очередь). Состояние системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят один канал, остальные свободны;

…  … …

S_k – заняты k каналов, остальные свободны;

… … …

S_n – заняты все n каналов;

S_n+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

… … …

S_n+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди;

… … …

S_n+m – заняты все n каналов, m заявок в очереди.

Размеченный граф состояний  имеет вид

Для анализа СМО данного  типа необходимо написать уравнения Колмогорова. Найти вероятности состояний. В их помощью рассчитать все интересующие величины. Затем рассмотреть случай m®¥.

Можно рассмотреть СМО с ограниченным временем ожидания (на каждую заявку, стоящую в очереди действует как бы «поток уходов» с интенсивностью   ( - среднее время пребывания в очереди)).

 

 

 

 

4. ТРУДНОСТИ,   ВОЗНИКАЮЩИЕ   ПРИ    МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО  ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

Трудности, возникающие  при попытках практического применения моделей массового обслуживания можно рассматривать с двух точек зрения:

1. степени сложности математического описания той или иной обслуживающей системы;
2. гибкости математических моделей.

Таким образом, в первом случае затрагивается вопрос о степени  применимости математических моделей  для описания процессов, протекающих  в конкретных системах массового  обслуживания, тогда как во втором случае речь идет о возможностях использования стандартных моделей для аппроксимации сложных обслуживающих систем.

 

4.1. ТРУДНОСТИ   МАТЕМАТИЧЕСКОГО   ОПИСАНИЯ   СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Классические модели массового обслуживания, реализация  которых позволяет получать полезные с прикладной точки зрения результаты, как правило, строятся и используются (для получения окончательных заключений)  в предположении,  что как характеристики входного потока требований, так и показатели, относящиеся к обслуживающему прибору, предсказуемы и могут быть представлены количественно (в виде соответствующих распределений вероятностей). Если исходить из сформулированного выше положения, то все обслуживающие системы, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни, можно разбить на три категории. К первой из них относятся системы массового обслуживания, в которых в качестве как клиентов, так и обслуживающих единиц выступают люди (как, например, в случае, когда речь идет об обслуживании покупателей в большом продовольственном магазине). Ко второй категории относятся так называемые полуавтоматические системы, в которых в качестве человеческого индивидуума выступает либо только клиент, либо только обслуживающая единица. Такого рода ситуации имеют, например, место в ремонтном цехе, когда «клиентом» является то или иное техническое устройство, а ремонт производит механик. К третьей категории относятся системы массового обслуживания, в которых ни в качестве требующих обслуживания объектов, ни в качестве обслуживающих приборов  (или узлов обслуживания) человеческие индивидуумы не выступают. Системы такого рода принято называть автоматическими. (Так, например, функционирует в режиме разделения времени электронно-вычислительная машина, где машинные программы играют роль «клиентов», а «узлом обслуживания» является центральный процессор.)

Классификация такого рода проведена с целью дифференциации способов определения степени применимости традиционных моделей массового обслуживания для решения конкретных практических задач. Обслуживающие системы, в которых как клиентами, так и обслуживающими единицами являются люди, как правило, труднее поддаются математическому моделированию, поскольку поведение человека в большинстве случаев точно предсказать невозможно. Ситуация особенно усложняется, когда интересы клиента и лица, исполняющего функции обслуживания, не совпадают. Так, например, если речь идет о большом продовольственном магазине, то вряд ли можно утверждать, что покупатель, всегда заинтересованный в том, чтобы его обслужили быстро, знает, к каким последствиям (с экономической точки зрения) может привести стремление обслуживающего персонала данного магазина работать в том режиме, какой диктуется целями покупателей. Но можно представить и другую ситуацию. Например, в ремонтном цехе промышленного предприятия не может возникнуть расхождения между интересами клиента (в качестве которого выступает оператор, работающий с тем или иным техническим устройством) и обслуживающего узла (в роли которого выступает механик-наладчик), поскольку и тот и другой действует в интересах одной и той же организации (фирмы, предприятия и т. п.).

Из приведенных выше замечаний следует, что при моделировании  процессов   функционирования   обслуживающих   систем  следует  в большей мере ориентироваться на ситуации с полуавтоматическим и  полностью  автоматическим  обслуживанием,   поскольку  в  этих случаях исследуемые или проектируемые системы поддаются более точному представлению существующими в теории массового обслуживания математическими моделями. Однако следует подчеркнуть, что, несмотря на меньшую пригодность математического аппарата теории массового обслуживания в ситуациях, когда человеческий фактор оказывается доминирующим, по отношению к обслуживающей системе иногда целесообразно провести «курс терапевтического лечения», с тем чтобы повысить качество «управления» поведением человеческих индивидуумов в рассматриваемой системе массового обслуживания.   Основная   цель,   которая   при  этом  преследуется, состоит в улучшении операционных характеристик обслуживающей системы при одновременном приведении этих характеристик в соответствие тем допущениям, которые содержатся в традиционных модельных построениях в рамках «классической» теории массового обслуживания.  Ясно, что это может повлечь за собой пересмотр организационно-функциональной схемы обслуживания, с тем чтобы «заставить» лиц, нуждающихся в обслуживании,  придерживаться определенного способа действия.

Следует отметить, что  вряд ли существует универсальный «математический» рецепт для совершенствования систем массового обслуживания, в которых в качестве как обслуживающих узлов, так и клиентов выступают люди. В подтверждение в качестве примера можно упомянуть о состоявшемся в 1966 г. специальном рассмотрении проблемы обслуживания авиалиний в одном из наиболее крупных английских аэропортов. Было принято решение внести следующие изменения в процедуры регистрации вылетающих пассажиров: тех пассажиров, дожидающихся своей очереди, у которых на таможенный досмотр перед посадкой в самолет оставалось менее пяти минут, специальным световым табло приглашали сразу же переместиться в головную часть очереди и получить разрешение на первоочередное обслуживание. Эта попытка улучшить систему обслуживания полностью провалилась, поскольку пассажиры (в основном англичане), признающие лишь совершенно строгую очередность обслуживания, стали решительно протестовать против внеочередного продвижения вперед. Таким образом, можно утверждать, что система массового обслуживания, в которой как обслуживающими узлами, так и клиентами являются люди, поддается «лечению» лишь в той степени, в которой претендующие на «совершенствование обслуживания» меры не вызывают активного сопротивления либо обслуживаемых, либо тех, кто выполняет функции обслуживания.

 

4.2. ГИБКОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Сложность анализа системы  массового обслуживания с помощью  математических методов может обнаружиться в процессе построения и аналитической реализации математической модели той или иной конкретной системы (даже в том случае, когда распределения вероятностей поступления требований и продолжительности обслуживания полностью известны) и в связи с получением числовых операционных характеристик моделируемой системы и возникающими при этом затруднениями математического характера.

Как известно, на первой стадии, когда задача заключается  в построении и аналитической реализации модели массового обслуживания, отклонение от предполагаемого пуассоновского закона распределения вероятностей для упомянутых выше характеристик процесса обслуживания в исследуемой системе, как правило, существенно усложняет проблему. Действительно, из всех моделей типа (M/G/c)⁷ аналитические решения допускают лишь отдельные (частные) модельные реализации, например, в предположении, что время обслуживания постоянно или когда число обслуживающих приборов (узлов обслуживания) равняется числу заявок на обслуживание. На второй стадии возникает задача получения количественных оценок с использованием весьма сложных формул. В качестве примера может служить процедура получения решения для переходного режима с использованием модели типа (М/М/1)⁸, реализация которой сопряжена с оценкой числовых значений функции Бесселя.

Трудности второй из упомянутых выше категорий оказываются вполне преодолимыми (особенно в том случае, если пользователь располагает достаточно мощными электронно-вычислительными машинами). При этом в ходе ориентированного на практическое применение анализа важно иметь возможность приближенного описания сложных ситуаций более простыми и наглядными схемами, результирующие оценки для которых уже имеются. По существу, в первую очередь нас должно интересовать влияние изменения заложенных в модель исходных посылок на операционные характеристики той или иной системы массового обслуживания, например на среднее время пребывания требования в очереди и долю времени вынужденного простоя обслуживающего узла.

Само собой разумеется, что не исключены ситуации, когда правомерность использования некоторых упрощающих ту или иную задачу допущений представляется в достаточной степени очевидной. Нас же интересует возможность использования «более смелых» шагов, связанных с процессом описания реальных ситуаций упрощенными моделями, когда исходные посылки, заложенные в структуры таких моделей, явно не соответствуют истинному положению вещей. Если при этом выясняется, что результаты, получаемые с помощью модели, оказываются относительно слабо чувствительными к вариациям исходных допущений, то такую модель следует назвать гибкой в том смысле, что ее можно применять для описания различных по характеру систем массового обслуживания.

Примером наиболее гибкой «модели» в теории массового обслуживания может служить известная формула L=λW, показывающая, что число ожидающих обслуживания требовании равняется средней интенсивности входного потока, умноженной на среднее время ожидания. Данная формула универсальна в том смысле, что возможность ее использования не зависит ни от вида распределения моментов поступления требований, ни от распределения вероятностей времени обслуживания.

Следует заметить, что  такого рода универсальные формулы  и модели в теории массового обслуживания являются скорее исключением. Поэтому здесь специально подчеркивается, что можно ставить вопрос о таких аппроксимациях сложных систем массового обслуживания, которые остаются правомерными лишь в некоторых допустимых пределах.

Традиционные («классические») модели массового обслуживания во многих реальных ситуациях на первый взгляд применить невозможно. Однако на практике трудности использования стандартных моделей, разработанных в теории массового обслуживания, можно преодолеть одним из следующих способов.

Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы  чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую систему массового обслуживания поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей.