Системы массового обслуживания с приоритетами

В мультиканальной модели задача заключается в определении  оптимального значения числа обслуживающих  приборов с с учетом того, что «конкурирующими» являются следующие показатели: средняя продолжительность ожидания W_S и доля времени (X), в течение которого обслуживающий прибор вынужденно бездействует (простаивает). Эти показатели и определяют потенциальный характер процесса массового обслуживания. Обозначим верхние предельные значения W_S и X через α и β соответственно. Метод учета предпочтительного уровня функционирования обслуживающей системы можно представить математически следующим образом.

Определим число обслуживающих приборов так, чтобы

W_S≤α и Х≤β.

Решение задачи может  быть найдено элементарным способом, если построить графики функций Ws=W_S(c) и Х=Х(с), что и проиллюстрировано на графике ниже¹¹.

Указав графически уровни α и β, можно сразу же выявить приемлемый диапазон значений с, т. е. такой диапазон значений с, для которого выполняются оба указанных выше условия. Само собой разумеется, что, если бы эти условия одновременно не выполнялись, нам бы пришлось ослаблять одно из них (или оба сразу) до тех пор, пока не было бы получено приемлемого решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе были раскрыты понятия, приводящие к системе массового обслуживания, а именно: обслуживание, транзакция, система обслуживания, система массового обслуживания.

Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).

Были рассмотрены конкретные типы систем массового обслуживания и приведены формулы для подсчета их характеристик.

Из всего вышесказанного следует, что практическое применение теории массового обслуживания, предполагает:

1. выбор подходящей математической модели, адекватно представляющей реальную систему, с тем чтобы определить операционные характеристики исследуемой системы;
2. практическое использование полученных  результатов.

Однако вначале успешное практическое применение теории массового обслуживания имело место лишь в области проектирования и эксплуатации систем связи, а попытки использовать результаты теории массового обслуживания в других областях были менее успешными. Причина, препятствующая расширению сферы возможного применения теории массового обслуживания, очевидна: лишь в редких случаях обслуживающие системы, которые встречаются в реальных ситуациях, удовлетворяют условиям, заложенным в математические модели, разработанные в теории массового обслуживания.

В теории СМО, как и  в любой другой трудно описать  реальные системы с использованием средств математики. Даже если такое описание возможно, то не всегда представляется возможным найти решение полученной системы уравнений. Поэтому, для облегчения математических расчетов вводятся различные упрощения и хитрости, использую которые можно построить математическую модель, которая будет упрощенно описывать моделируемую систему. Главное от исследователя требуется понимание возможностей применения той или иной из известных моделей массового обслуживания в реальных ситуациях. Необходимо исследовать ограничения, в рамках которых применимы результаты теории массового обслуживания, с тем, чтобы содержащиеся в моделях упрощающие предположения относительно функционирования конкретной реальной системы не были слишком грубыми и, таким образом, чтобы весь процесс моделирования не оказался «некорректным».

Если же принятые ограничения  и предположения, которые используются в различных моделях СМО, не применимы, то необходимо воспользоваться другими  теориями моделирования, которые возможно дадут более корректные результаты.

Вот три категории трудностей, с которыми сталкиваются в связи с практическим применением моделей и методов, разработанных в рамках теории массового обслуживания, а именно:

1. трудности математического моделирования процессов массового обслуживания, особенно процессов, характеризующихся тем, что в качестве как «клиентов», так и обслуживающих единиц выступают люди. Необходимо отметить, что математическая модель массового обслуживания не может учитывать сугубо индивидуальное поведение клиентов, т. е. предполагается, что в пределах системы массового обслуживания все клиенты ведут себя одинаково и не учитываются факторы, ассоциированные с поведением человеческих индивидуумов¹².
2. трудности получения в рамках некоторых моделей пригодных для практического использования аналитических результатов, которые либо очень сложно вычислить, либо невозможно найти в рамках данного математического аппарата.
3. трудности, связанные с оцениванием значений стоимостных показателей.

Разрешение данных трудностей возможно еще на шаге выбора модели массового обслуживания. Так, например, при моделировании системы «покупатели – касса» следует лишь учесть стандартное поведение покупателя. Нетипичное же поведение того или иного клиента рассматривается как редкое исключение, и, следовательно, случаи такого рода при исследовании и проектировании СМО в расчет не принимаются. Однако, рассмотрим данную систему с другой стороны: если  большинство  покупателей в процессе ожидания обслуживания проявляют склонность к разговорчивости, то построенная модель СМО должна учитывать данную особенность покупателей, как стандартную характеристику поведения всех клиентов, находящихся в очереди.

После удачного выбора модели массового обслуживания важно правильно  использовать результаты моделирования для конструирования или совершенствования конкретной реальной обслуживающей системы. Для облегчения применения результатов теории массового обслуживания в некоторых реальных ситуациях предлагается использовать

1. приближенные численные методы;
2. аппроксимационный подход для описания реальных процессов с помощью той или иной математической модели;
3. метод учета предпочтительного уровня обслуживания (в тех случаях, когда возникают трудности при оценивании значений стоимостных показателей).

 В результате учета  полученных операционных характеристик исследуемой системы может сразу же возникнуть возможность построения четкого «алгоритма» ее функционирования. В ряде случаев для определения оптимального режима функционирования реальной обслуживающей системы может потребоваться надлежащим образом построенная оптимизационная модель со стоимостными критериями и показателями.

Итак, несмотря на совершенно очевидные затруднения, возникающие при попытках практического использования математического аппарата теории массового обслуживания, постоянно возникают ситуации, когда требуется проведение анализа именно в рамках модельного представления обслуживающих систем.

В настоящее время  методы и результаты теории массового  обслуживания с успехом используются при решении проблем теории надежности, анализе процессов функционирования сложных систем (ремонт машин обслуживающего персонала; парковка грузовых и легковых автомобилей; погрузочные платформы для транспортировки; продавцы для запасных прилавков; «окошки» возврата товаров), разработке АСУ различных видов и во многих других технических, экономических и социальных областях.

Данная теория будет  дальше развиваться по мере развития математического аппарата, который  позволит описывать модели систем обслуживания, с меньшими упрощениями. Увеличение производительности компьютеров и появление языков имитационного моделирования также способствуют развитию данной теории, так как сложные итерационные вычисления компьютер делает гораздо быстрее.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Гришин. В. А., Камаев В. А. Математическое моделирование изделий и технологий. Учебное пособие. – В-д.: Изд. ВолгПИ. 1986.

2. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-ч книгах, Кн. 2. – М.: Мир, 1985. – 496 с., ил.

3. Энциклопедия банковского дела и финансов. – http://www.cofe.ru/Finance/russian/10

4. Лекций по курсу: Математическое моделирование и методы синтеза ГПХ. – http://cisserver.muctr.edu.ru/alk/cis-mathmod/programm/progkurs.php

5. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1978.

6. Лекции Фоменкова С. А. по курсу: Математическое моделирование.

7. Зеленцов Б. П. Математические модели на основе процесса размножения и гибели объектов. – Соросовский образовательный журнал, том 7, №6, 2001.

8. Самарский А. А., Михайлов  А. П. Математическое моделирование:  Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

 

¹ По материалам сайта www.oil-industry.ru

²В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

³ По информации сайта Газета.ру во время захвата заложников на мюзикле «Норд-Ост» количество одновременных запросов на их сервер увеличилось в 30 раз в первые часы трагедии.

⁴ Подробно данный вопрос рассмотрен в книге Х. Таха «Введение в исследование операций»: В 2-х книгах, Кн. 2. – М.: Мир, 1985.

⁵В данной главе рассмотрены наиболее типичные схемы СМО и приведены формулы для подсчета их характеристик без вывода. Более глубокий анализ схем СМО и вывод формул можно найти в:

1. Таха Х. Введение в исследование  операций: В 2-х книгах, Кн. 3. Пер  с англ. – М.: Мир, 1985.

2. Бусленко Н. П. Моделирование  сложных систем. – М.: Наука, 1978.

⁶Помимо рассмотренных существуют и другие разновидности СМО: замкнутые СМО (интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой СМО), СМО с «взаимопомощью» между каналами (незанятые каналы «помогают» занятому в обслуживании) и др.

⁷Исходя из обозначений, которые мы ввели во второй главе в модели типа (М/G/с) имеется с узлов обслуживания, входной поток является пуассоновским и характеризуется интенсивностью λ, распределение продолжительностей обслуживания является произвольным со средним значением E{t} и дисперсией var{t}.

⁸В данной модели имеется единственный узел обслуживания, входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами λ и μ соответственно.

⁹В данной модели имеется единственный узел обслуживания и на вместимость блока ожидания и емкость источника требований никаких ограничений не накладывается. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с параметрами λ и μ соответственно.

¹⁰Разница между данной моделью типа (M/M/1) : (GD/N/¥) и рассмотренной выше моделью типа (M/M/1) : (GD/¥/¥) заключается только в том, что максимальное число требований, допускаемых в блок ожидания обслуживающей системы, равняется N.

¹¹Формулы для расчета W_S и Х можно найти в книге Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах, Кн. 3. Пер с англ. – М.: Мир, 1985.

¹² Данные свойства проявляются, к примеру, когда человек стоящий в очередь при параллельном обслуживании может перейти из одной очереди в другую в надежде сократить продолжительность своего вынужденного ожидания момента обслуживания. Или в некоторых случаях клиент просто отказывается от присоединения к очереди ожидающих обслуживания или же покидает очередь, какое-то время постояв в ней и увидев, что очередь движется слишком медленно, если он, например, опаздывает на работу.