Системы массового обслуживания с приоритетами

Во-вторых, можно признать справедливыми некоторые упрощающие предположения относительно реальной обслуживающей системы и, следовательно, возможно представить ее с помощью определенной математической модели без риска получить существенные ошибки в численных оценках операционных характеристик исследуемой системы.

Второй из указанных  способов представляется более перспективным, поскольку за счет его реализации увеличивается круг задач, решение которых может быть обеспечено путем использования разработанных в теории массового обслуживания математических моделей и методов. К сожалению, этот способ в теории массового обслуживания до сих пор не получил должного развития. Возможно, было бы правильнее больше внимания уделять проблеме практического использования уже имеющихся моделей, нежели вопросам создания новых моделей, ориентированных на описание и анализ абстрактных гипотетических ситуаций, ассоциированных с процессами обслуживания.

 

4.3. ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ  И ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Выбор того или иного  метода для исследования функциональных характеристик обслуживающей системы независимо от того, является ли он аналитическим или же относится к категории имитационных, в каждом конкретном случае определяется законами распределения моментов поступления требований и продолжительностей обслуживания. Чтобы установить, какой характер имеют упомянутые выше распределения, необходимо осуществить наблюдения за реально функционирующей системой массового обслуживания и зарегистрировать ряды чисел, получаемых в ходе наблюдений. В связи с накоплением данных, характеризующих процесс массового обслуживания, как правило, возникают следующие вопросы:

1. Когда осуществлять наблюдения за системой?
2. Каким образом систематизировать данные?

В большинстве случаев  системы массового обслуживания характеризуются так называемыми периодами повышенной загруженности, когда интенсивность потока требований по сравнению с другими интервалами рабочего дня существенно возрастает.

Отметим, например, что  интенсивность потоков транспортных средств на магистральных автострадах при въезде в крупные города достигает пиковых значений в интервалах времени около 8 ч утра и 5 ч вечера. В таких случаях сбор информации об исследуемом процессе необходимо осуществлять именно в периоды наибольшей загруженности. Можно расценить такую стратегию сбора данных как чрезмерно «консервативную»; однако следует помнить, что заторы («пробки») на крупных автомагистралях (как, впрочем, и при протекании других аналогичных процессов массового обслуживания) возникают - именно в течение периодов повышенной загруженности обслуживающей системы. Поэтому системы такого рода должны проектироваться с учетом тех экстремальных условий, которые могут возникнуть в процессе их функционирования.

Сбор данных о входных  и выходных потоках в системах массового обслуживания может осуществляться одним из указанных ниже способов, а именно:

1. путем регистрации временных интервалов между последовательными поступлениями заявок на обслуживание и последовательными выходами обслуженных «клиентов» из системы;
2. путем подсчета числа поступивших в единицу времени заявок на обслуживание и числа выходящих из системы (в единицу времени) обслуженных клиентов.

Первый способ ориентирован на определение распределений временных  отрезков между последовательными  поступлениями требований и распределений продолжительностей обслуживания, тогда как второй способ позволяет получить распределения числа прибытий в систему заявок на обслуживание и числа выбытий обслуженных «клиентов» из системы. Для большинства аналитических моделей массового обслуживания при описании входного и выходного потоков можно оперировать понятиями число событий (в единицу времени) и длина интервала времени между событиями (например, длина интервала времени между последовательными поступлениями требований, продолжительность обслуживания).

Процедура сбора данных может основываться как на примитивном способе фиксации наблюдателем времени с помощью обычного секундомера, так и на использовании автоматических регистрирующих устройств. Применение автоматических устройств в процессе сбора упомянутых выше данных представляется необходимым тогда, когда частота поступления заявок на обслуживание велика; обычный способ регистрации времени в этом случае может привести к искажению информации о реальном процессе.

После того как с помощью одного из упомянутых выше способов требуемая информация оказывается в распоряжении исследователя, ее необходимо систематизировать и обобщить, с тем, чтобы получить возможность построить в результате интересующие исследователя распределения вероятностей. Обычно это достигается путем представления результатов анализа накопленных данных в виде частотных гистограмм. Затем выбирается «теоретическое» распределение (например, пуассоновское, экспоненциальное, нормальное), которое хорошо подходит для описания полученных данных. Далее с целью проверки степени пригодности выбранного распределения для описания реального процесса применяется одна из стандартных статистических тестовых процедур.

 

5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

5.1. МОДЕЛИ СО СТОИМОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Стоимостные модели массового  обслуживания направлены на определение такого уровня функционирования обслуживающей системы (который идентифицируется заданием либо скорости обслуживания, либо числа обслуживающих приборов), при котором достигается «компромисс» между следующими двумя экономическими показателями:

1. прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;
2. потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг.

Первый показатель ассоциируется со степенью функциональной активности системы массового обслуживания, тогда как второй – с  пребыванием обслуживающей системы в состоянии простоя или с неспособностью системы удовлетворить все потребности в обслуживании. Интуиция подсказывает, что увеличение функциональной мощности обслуживающей системы должно приводить к сокращению времени пребывания «клиентов» в очереди и наоборот. Это означает, что по мере того как затраты, связанные с обслуживанием, возрастают из-за повышения уровня обслуживания, выраженные в экономических терминах потери, связанные с ожиданием (пребыванием в очереди), должны уменьшаться. Разумеется, справедливо и обратное утверждение. На графике ниже приведены упомянутые выше показатели как функции уровня обслуживания.

Где А – стоимость ожидания, Б – суммарный стоимостный показатель, В – стоимость   обеспечения функционирования  обслуживающей   системы, Г – оптимальный уровень обслуживания.

Оптимальный уровень  обслуживания выбирается таким образом, чтобы значение суммы рассматриваемых показателей было минимальным. Заметим, что оба стоимостных показателя отнесены к одной и той же единице времени, поскольку в противном случае модель оказалась бы «некорректной» с точки зрения требования сохранения размерности показателей.

Из рассмотренных выше двух стоимостных показателей труднее всего количественно оценить «цену» ожидания. Эта трудность становится особенно ощутимой, когда в качестве «клиента» выступает человеческий индивидуум, интересы которого могут не совпадать с интересами обслуживающей системы. Так, например, слишком продолжительное вынужденное ожидание обслуживания в продовольственном магазине может привести к нежеланию покупателей пользоваться услугами данного магазина; при этом вряд ли возможно оценить последствия возникновения упомянутого выше обстоятельства в денежном выражении. С другой стороны, если в качестве объектов, обслуживания выступают требующие ремонта станки или механизмы, то «цену», которую приходится платить за ожидание, можно интерпретировать как выраженный в стоимостной форме экономический ущерб, который следует связать с недовыпуском (по причине ожидания очереди на ремонт) той или иной продукции. Очевидно, что получение подобных оценок, как правило, не вызывает серьезных трудностей.

На данном этапе обсуждения стоимостных моделей массового обслуживания можно сделать вывод, что, хотя модели такого рода в вычислительном отношении достаточно просты, их весьма трудно реализовать практически именно по той причине, что при оценках экономических потерь, вызванных необходимостью вынужденного ожидания, в большинстве случаев, возникают серьезные затруднения. Для таких случаев более подходящим может оказаться метод учета предпочтительного уровня обслуживания.

 

5.2. ОПТИМАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ μ

Рассмотрим одноканальную модель массового обслуживания со средней частотой поступления требований, равной λ, и со средней скоростью обслуживания, равной μ. Предполагается, что скорость обслуживания поддается регулированию; требуется определить ее оптимальное значение на основе надлежащим образом построенной стоимостной модели. Введем следующие обозначения:

C₁ – выраженный   в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу значения μ в течение единичного интервала времени (например, за один час);

С₂ – «цена» ожидания (т. е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в расчете на одно требование;

ТС(μ)— стоимостный показатель, определяемый формулой

ТС (μ)=С₁μ+С₂L_s.

Следует отметить, что  затраты на обслуживание, отнесенные к единице времени, прямо пропорциональны μ, а затраты в единицу времени, обусловленные пребыванием заявок на обслуживание в режиме ожидания, равняются среднему значению числа требований, находящихся в системе массового обслуживания, умноженному на «цену» ожидания, определенную в расчете на одно требование и отнесенную к единице времени.

Поскольку μ является величиной непрерывной, ее оптимальное значение может быть получено путем приравнивания к нулю первой производной TC(μ) по μ. Например, для частного случая (M/М/1) : (GD/¥/¥)⁹-процесса:

ТС (μ)=С₁μ+С₂λ/(μ-λ).

 

и, следовательно, для  оптимального значения μ имеем

Этот результат показывает, что оптимальное значение параметра μ зависит от того, какое значение принимает средняя частота поступлений в систему заявок на обслуживание.

В ситуации, когда в  блоке ожидания обслуживающей системы  может находиться не более N клиентов, т. е. если имеет место (M/M/l) : (GD/N/¥)¹⁰-процесс, стоимостную модель можно видоизменить, с тем, чтобы за счет увеличения значения N уменьшить число клиентов, которых система массового обслуживания может потерять (тех, которые не могут попасть в блок ожидания этой системы). В данном случае величина N рассматривается как управляющая переменная, оптимальное значение которой (вместе с μ) определяется путем минимизации

ТС (μ, N)=C₁μ+C₂L_S+C₃N+C₄λp_N

где С₃ — «стоимость» увеличения (на единицу времени) вместимости блока ожидания обслуживающей системы, а С₄ — экономические потери, связанные с невозможностью включить в блок ожидания системы еще одного нуждающегося в обслуживании клиента. Заметим, что λp_N есть число клиентов, потерянных системой в единицу времени.

Получить решение этой задачи в явном виде невозможно. Поэтому для нахождения оптимального решения поставленной выше задачи приходится прибегать к соответствующим численным методам.

 

5.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОБСЛУЖИВАЮЩИХ ПРИБОРОВ

Рассмотрим мультиканальную  модель вида (M/M/c) : (GD/¥/¥). Стоимостная модель массового обслуживания в данном случае должна быть ориентирована на определение оптимального числа обслуживающих приборов (узлов обслуживания), которое мы обозначили выше через с. Предполагается, что значения λ и μ. фиксированы. Рассуждая так же, как при рассмотрении предыдущей модели, нетрудно показать, что интегральный стоимостный показатель, отнесенный к единице времени, задается формулой

ТС(с)=сС₁+С₂L_S(c),

где C₁ — отнесенные к единице времени затраты на обеспечение функционирования одного дополнительного обслуживающего прибора, L_S(c) — среднее число находящихся в обслуживающей системе требований, а С₂ — «цена» ожидания (т. е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в расчете на одно требование. Заметим, что, как и в предыдущем случае, в рассматриваемой модели можно учесть ограничение на вместимость блока ожидания системы.

Поскольку величина с дискретна, дифференцировать по с нельзя. Оптимальное значение с может быть найдено путем простой подстановки в выражение для ТС(с) последовательно возрастающих значений с до тех пор, пока значение ТС(с) не станет минимальным. Однако можно предложить более эффективную вычислительную процедуру минимизации ТС(с), основанную на учете необходимых условий,  при которых достигается минимум функции дискретной переменной. Эти условия имеют вид

ТС(с-1)≥ТС(с) и ТС(с+1)≥ТС(с)

что эквивалентно неравенству

L_S(c)-L_S(c+1)≤C₁/C₂≤L_S(c-1)-L_S(c).

Величина C₁/C₂ теперь является указателем того, где должен начинаться поиск оптимального значения с.

 

5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОСТИ УРОВНЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ

К моделям, в которых  осуществляется учет предпочтительного  уровня обслуживания, переходят из-за трудностей получения числовых значений стоимостных показателей (параметров) процесса массового обслуживания; при этом весь анализ проводится на основе более примитивных оценок операционных характеристик, исследуемых систем массового обслуживания. При использовании таких моделей в ходе поиска «оптимальных» значений основных параметров проектируемой системы обращаются непосредственно к ее операционным характеристикам. При этом «оптимальность» связывают с возможностью обслуживающей системы удовлетворить некоторый желательный с точки зрения лица, принимающего решение, уровень активности системы. Эти желательные уровни определяются путем оценок верхних предельных значений тех конкурирующих экономических показателей, между которыми лицо, принимающее управляющее решение, хочет установить «баланс».