Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії стійкості

Міністерство освіти науки молоді та спорту України

Державний економіко-технологічний  університет транспорту

 

 

 

 

 

Реферат

З дисципліни: «Контроль і діагностика систем»

На тему: «Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії стійкості»

 

 

 

 

Розробив: студент групи

1-КІКС-СПЕЦ.

Миненко С.В.

Перевірив: Ст. викладач

Воронко І.О..

 

 

 

 

 

 

Київ 2012

 

Зміст

Вступ.....................................................................................................................................3

1. Критерії алгебри стійкості..............................................................................................4

    1.1. Поняття стійкості  системи.......................................................................................4

    1.2. Математична ознака стійкості.................................................................................5

    1.3. Критерій стійкості  лінійних САУ...........................................................................5

        1.3.1. Необхідна умова стійкості................................................................................6

        1.3.2. Критерій Рауса...................................................................................................7

        1.3.3. Критерій Гурвіца...............................................................................................7

2. Частотні критерії стійкості.............................................................................................9

    2.2. Частотний  критерій Михайлова............................................................................9

    2.3. Частотний  критерій Найквіста..............................................................................12

    2.4. Логарифмічний  частотний критерій.....................................................................15

Висновки.................................................................................................................................17

Список використаної літератури.........................................................................................18

 

 

 

Вступ

Теорія  автоматичного управління (ТАУ) є  теоретичною основою, на базі якої розробляються  більшість автоматичних пристроїв. Предметом вивчення ТАУ є принципи побудови, методи аналізу і синтезу широко розпоповсюджених систем автоматичного регулювання і управління.

Основоположником  ТАУ, що зародилася небагато чим більш  за століття назад, є проф. Петербурзького технологічного інституту І.А. Вишнеградський (1831—1895). Основи ТАУ були викладені в його роботі "Про регулятори прямої дії" (1876 р.) Він вперше показав, що процеси в пристрої управління і пов'язаному з ним об'єктом нерозривно зв'язані між собою і вимагають сумісного дослідження.

У пристроях  управління важливе місце займає проблема забезпечення стійкості руху. Основоположником строгої теорії стійкості є професор Харківського університету А.М. Ляпунов (1857-1918).

 

1. Критерії алгебри стійкості

0. Поняття стійкості системи

У статичному режимі роботи всі складові вектора стану САУ не залежать від моменту часу їх розгляду і залишаються постійними, відповідними умові рівноваги системи. Це стан залежно від структури і параметрів САУ може бути стійким або нестійким. Якщо після зміни вектора зовнішніх дій система приходить в стан, при якому всі складові вектора її стану стають постійними, тобто система повертається в положення рівноваги, то це стан рівноваги є стійким. У разі, коли після зміна вхідного сигналу або обурення, система не прагне в первинний стан, а вектор вихідних сигналів змінюється незалежно від зовнішньої дії, то такий стан є нестійким. В цьому випадку система автоматичного управління є нестійкою. Графічна інтерпретація таких режимів роботи САУ представлена на рис. 1.

Рис. 1. Графічна інтерпретація стійкості.

Під стійкістю розуміється властивість САУ повертатися в початковий стан після виведення її з цього стану і припинення впливу задаючої або обурюючої дії.

Тільки стійка система автоматичного  управління може виконувати покладені  на неї функції. Тому одним з основних завдань САУ є забезпечення її стійкості.

Основи теорії стійкості САУ  були закладені А.М. Ляпуновим в  його роботі "Загальне завдання стійкості рухів", опублікованої в 1882 р.

Якщо САУ представляється системою лінійних диференціальних рівнянь, то її стійкість не залежить від  величини і точки додатку зовнішніх  обурень.

Нелінійні системи  можуть бути стійкі при малих обуреннях  і нестійкі при великих обуреннях. Теорема Ляпунова встановлює, що про стійкість нелінійних систем при малих обуреннях можна судити по їх лінеаризованих рівняннях, достатньо адекватно тих, що описують поведінку САУ при малих відхиленнях від положення рівноваги. Тому розглядатимемо тільки питання стійкості САУ, що представляються лінійними або лінеаризованими диференціальними рівняннями.

 

1.2. Математична ознака стійкості.

При порушенні рівноваги  САУ, викликаної зовнішнім дія, виникають  перехідні процеси. Вид перехідного  процесу залежить як від властивостей системи, так і від виду обурення. У перехідному процесі присутні 2 складові: — вільні рухи системи, визначувані початковими умовами і властивостями САУ; вимушені рухи, визначувані обуренням і властивостями системи. Вид перехідного процесу визначається як

.

Щоб САУ могла достовірно відображати інформацію, що задавалася, необхідно, щоб в перехідному процесі вільна складова з часом повинна прагнути до нуля, тобто повинна виконуватися умова вигляду:

.

Характер вільного руху системи визначає її стійкість або  нестійкість. Можливі види перехідних процесів в САУ представлені на рис. 2.

Рис. 2. Види кривих перехідних процесів.

Розглянемо диференціальне рівняння лінійної САУ. 

 

1.3. Критерії  стійкості лінійних САУ.

Прямий  аналіз стійкості САУ, заснований на обчисленні кореня характеристичного рівняння, пов'язаний з необхідністю обчислення коріння, що є непростим завданням. Тому в інженерній практиці важливого значення набувають правила, що дозволяють визначати стійкість системи без обчислення коріння характеристичного рівняння.

Способи визначення стійкості САУ без обчислення коріння характеристичного рівняння називаються критеріями стійкості САУ. Розрізняють дві групи критеріїв стійкості: алгебра – засновані на аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні – засновані на аналізі частотних характеристик САУ.

 

1.3.1. Необхідна умова  стійкості

Характеристичне рівняння системи  за допомогою теореми Вієта може бути записане у вигляді:

D(p)= aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0,

де p1, p2 ..., pn - коріння цього рівняння. Якщо система стійка, означає все коріння ліві, тобто речові частини всього коріння негативні, що можна записати як ai = -|a_i| < 0. Підставимо їх в рівняння:

a0

(p + |a₁|) (p + |a₂| - j2) (p + |a₂| + j2) ... = 0.

Перемножуючи комплексно зв'язані вирази, отримаємо:

a0

(p + |a₁|) ((p + |a₂|)2 + (2)2) ... = 0.

Після розкриття дужок повинен  вийти вираз:

a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0.

Оскільки в дужках немає жодного негативного числа, то жоден з коефіцієнтів a0,a1...,a_n не буде негативним. Тому необхідною умовою стійкості САУ є позитивність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння: a0 > 0, a1 > 0 ..., an > 0. Надалі розглядатимемо тільки рівняння, де a0 > 0. Інакше рівняння домножується на -1.

Розглянута умова є необхідним, але не достатньою умовою. Необхідні і достатні умови дають критерії алгебри  Раусу і Гурвіца.

1.3.2. Критерій Рауса

Цей критерій є системою нерівностей, складених по особливих правилах з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої САУ:

1) У першому рядку таблиці  записують коефіцієнти характеристичного  рівняння, що мають парні індекси  в порядку їх зростання. 

2) У другому рядку таблиці записують коефіцієнти з непарними індексами в порядку їх зростання.

3) У подальші рядки вписують коефіцієнти, визначені як

,

де – i – індекс, що позначає номер рядка таблиці

– індекс, що позначає номер стовпця  таблиці.

4) Число рядків таблиці Рауса на одиницю перевищує порядок характеристичного рівняння замкнутої САУ.

Умови стійкості  Рауса: Щоб САУ була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак, тобто були позитивними. Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правого коріння характеристичного рівняння рівне числу змін знаку в першому стовпці таблиці Рауса.

 

1.3.3. Критерій Гурвіца

Цей критерій дозволяє визначити стійкість  САУ, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:

Для цього будується головний визначник  Гурвіца за наступним правилом: по головній діагоналі виписуються всі коефіцієнти від до в порядку зростання коефіцієнтів. Стовпці вгору від головної діагоналі заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а стовпці вниз – коефіцієнтами з послідовно убуваючими індексами. На місці коефіцієнтів з індексами, великими порядку характеристичного рівняння і меншими нуля, проставляють нулі.

Виділяючи в головному визначнику Гурвіца  діагональний мінор, отримуємо визначника Гурвіца нижчого порядку. Номер  визначника Гурвіца визначається номером  коефіцієнта по діагоналі, до якого  складають даного визначника.

, , .

Визначення: щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб визначник Гурвіца і його діагональний мінор мали знаки, однакові із знаком першого коефіцієнта характеристичного рівняння замкнутої САУ. При для стійкості САУ необхідно і достатнє виконання умов:

;.

Розглянемо  замкнуту САУ, що складається з трьох  послідовно включених аперіодичних ланок, охоплених 100% зворотним зв'язком.

Передавальна  розімкненою САУ функція має  вигляд:

.

Передавальна  функція замкнутої САУ визначається як

.

Головний  визначник Гурвіца має вигляд:

.

Перший  визначник Гурвіца . Ця умова виконується для всіх можливих комбінацій параметрів САУ.

Другий визначник  Гурвіца визначається як

.

Розкриваючи визначника отримуємо

.

Вирішуючи це рівняння щодо сумарного коефіцієнта  посилення САУ, визначуваного як

,

отримуємо, що

З цього виходить, що сумарний коефіцієнт посилення САУ не може перевищувати деяку величину. Отже, межі зменшення погрішності стабілізації регульованої координати в такій системі обмежені.

 

2. Частотні критерії стійкості

Це графоаналітичні  методи, що дозволяють по вигляду частотних  характеристик САУ судити про  їх стійкість. Їх загальна гідність в простій геометричній інтерпретації, наочності і у відсутності обмежень на порядок диференціального рівняння.

 

2. 2. Частотний критерій  Михайлова

Критерій  Михайлова – це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість  замкнутої системи по поведінці  її характеристичного вектора на комплексній площині. Характеристичний вектор отримують шляхом підстановки  у вираз для характеристичного  полінома

,

Значення  . Тоді характеристичний вектор представляється комплексною величиною, визначуваною як:

,

де

Якщо  задаватися різними значеннями і  відкладати значення по горизонтальній, а – по вертикальній осям декартової системи координат, то буде отримана крива, звана годографом характеристичного  вектора або годографом Михайлова. Інше формулювання: годографом Михайлова називається безліч крапок, утворених при русі характеристичного вектора САУ при зміні частоти від 0 до .

Тобто для стійкості САУ необхідне  виконання умови вигляду:

.

Для виведення цього твердження представимо характеристичний поліном у вигляді

,

де  – коріння характеристичного  рівняння .

На  комплексній площині кожному  кореню відповідає певна точка. Підставивши, отримуємо

.

Кожен вектор може бути представлений у  вигляді вектора, почало якого лежить в крапці, що визначає корінь а кінець лежить на уявній осі. Отже, можна представити сумарним вектором, рівним твору елементарних векторів. Модуль сумарного вектора буде рівний твору модулів окремих векторів, а фаза – сумі фаз цих векторів. При зміні частоти кінець кожного вектора переміщатиметься уздовж уявної осі. При зміні частоти від до кожен вектор, що становить, почало якого лежить на речовій осі, обернеться на кут, рівний, якщо його початок лежить в лівій напівплощині, і рівний –, якщо його початок лежить в правій напівплощині. Кожна пара комплексно-зв'язаного коріння – відповідно на кут + .

Якщо  характеристичне рівняння має m коріння  в правій напівплощині, то в лівій  напівплощині число цього коріння буде рівне n-m. При зміні частоти від до сумарний кут повороту вектора характеристичного полінома визначається як