Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії стійкості

.

Для стійкості САУ необхідне і  достатньо, щоб все коріння характеристичного  рівняння лежало в лівій напівплощині, тобто щоб  . Таким чином, якщо вектор характеристичного полінома замкнутої САУ порядку "n" при зміні частоти від до описує в позитивному напрямі кут n, то така система регулювання буде стійка. Інакше САУ буде нестійка.

Через симетричність кривої, що описується кінцем вектора характеристичного полінома, можна обмежитися розглядом лише її частини, відповідної позитивним значенням частоти. При цьому кут, що описується вектором характеристичного полінома при зміні частоти від 0 до, зменшиться удвічі і визначатиметься як

.

Формулювання критерію: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб її характеристичний вектор при зміні частоти від 0 до обернувся в позитивному напрямі (проти годинникової стрілки), починаючи з позитивної речової осі на число квадрантів, рівне порядку характеристичного рівняння.

На  рис. 4 приведені годографи Михайлова  для стійких і нестійких САУ. Зміну коефіцієнта викликає зрушення годографа Михайлова уздовж горизонтальної осі без його деформації. Це дає можливість оцінити граничне значення цього коефіцієнта, при якому зберігаються умови стійкої роботи САУ.

Рис. 4. Годографи Михайлова для  стійких і нестійких САУ

 

2. 3. Частотний  критерій Найквіста 

Критерій  Найквіста – це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість САУ, замкнутим одиничним зворотним зв'язком, по вигляду амплитудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.

Для формулювання критерію розглянемо САУ, яка в розімкненому стані характеризується передавальною функцією вигляду

,

де  – деякі поліноми від, причому  ступінь знаменника вище або рівна  ступеню чисельника.

Знаменник цього виразу є характеристичним поліномом розімкненої САУ. Передавальна функція такої системи, охопленої 100% негативному зворотному зв'язку, визначається як

,

де  – характеристичний поліном замкнутої  систем.

Зворотний цьому вираз визначається як

.

Позначимо коріння характеристичного рівняння розімкненої системи –  .

Коріння характеристичного рівняння замкнутої системи позначимо як — .

У площині коріння, кожен корінь може бути представлений вектором, проведеним з початку координат. Якщо вибрати значення незалежної змінної в довільній точці комплексної площини, то комплексне число вигляду може бути представлене у вигляді різницевого вектора, як показано на рис. 5.

Рис. 5. Графічне представлення різниці  векторів

Якщо, то різницевий вектор матиме свій початок  в точці закінчення вектора, а  закінчення – на уявній осі. В цьому  випадку вираз для зворотної передавальної функції замкнутої САУ можна представити як

.

При зміні частоти від до ковзатиме  по уявній осі і обернеться на кут . Поворот відбуватиметься проти годинникової стрілки, якщо корінь лежить зліва від уявної осі, і за годинниковою стрілкою, якщо корінь розташований в правій напівплощині. Чисельник і знаменник цього виразу можуть бути представлені як деякі вектора, модуль яких рівний твору модулів співмножників, а кут повороту – як сума кутів повороту векторів співмножників. Тому можна записати, що

Таким чином повний кут повороту даного вектора при зміні частоти  від до рівний різниці кутів повороту векторів і . Для САУ стійкою в розімкненому стані все коріння характеристичного полінома лежить в лівій напівплощині. Тому сумарний кут повороту вектора знаменника при зміні частоти від до рівний n .

У загальному випадку характеристичний поліном замкнутої САУ має коріння в правій напівплощині і коріння в лівій напівплощині. Тому сумарний кут повороту вектора чисельника при зміні частоти від до рівний або . Сумарний кут повороту вектора визначатиметься як

.

Для стійкої САУ все коріння характеристичного  полінома повинне розташовуватися  в лівій напівплощині, тобто  . Отже сумарний кут повороту вектора стійкої системи за розглянутих раніше умов рівний нулю. Тобто виконуватиметься умова

.

При виконанні цієї умови вектор розташовуватиметься  праворуч від уявної осі. Цей вектор визначається АФЧХ розімкненою САУ, але його початок знаходиться  в крапці (–1,j0). Виходячи з цього, формулюється критерій стійкості Найквіста.

Формулювання критерію. САУ стійка в замкнутому стані, якщо годограф АФЧХ стійкої розімкненої системи не охоплює крапки з координатами (-1, j0) на комплексній площині. Це формулювання справедливе як для статичних, так і астатичних САУ, тобто систем, характеристичне рівняння яких містить нульовий корінь того або іншого ступеня кратності.

На  рис. 6 приведені АФЧХ стійких і  нестійких САУ.

      Стійкі САУ               Нестійкі САУ

Рис. 6. АФЧХ стійких і нестійких  САУ

 

2. 4. Логарифмічний  частотний критерій

Логарифмічний критерій – це частотний критерій, що дозволяє судити про стійкість  замкнутої САУ по вигляду логарифмічної характеристики розімкненої системи. Цей критерій заснований на однозначному зв'язку ЛФЧХ і АФЧХ систем автоматичного управління. При цьому розглядаються САУ, що базуються на використанні стійких розімкнених систем. Крім того, розглядаються системи з астатизмом не вище другого порядку.

Як  випливає з критерію стійкості Найквіста  в стійких САУ фазове зрушення може досягати значення тільки при  модулях комплексної передавальної  функції, меншому чим одиниця. Це дозволяє легко визначити стійкість  по вигляду ЛАЧХ і ЛФЧХ.

Формулювання критерію: для стійкості системи в замкнутому стані необхідно і достатньо, щоб в діапазоні частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля число переходів фазової характеристики прямої знизу верх перевищувало на число переходів зверху вниз, де а – число коріння характеристичного рівняння розімкненої системи, лежачого в правій напівплощині.

У окремому випадку для стійкої  розімкненої системи (а=0) необхідною і достатньою умовою замкнутої системи є необхідність виконання наступної умови. У діапазоні частот, де, фазова частотна характеристика не повинна перетинати прямої, або перетинати її однакове число разів від низу до верху і зверху вниз.

Рис. 7. ЛФЧХ стійкою і нестійкою  САУ 

 

Критичним значенням коефіцієнта перетворення називається таке його значення, при  якому АФЧХ проходить через точку (-1, j0) і система знаходиться на межі стійкості.

Запасом по модулю називається величина в децибеллах, на яку потрібно змінити коефіцієнт перетворення САУ, щоб привести її до межі стійкості.

,

де  — частота, при якій фазова характеристика рівна  .

Запасом стійкості по фазі називається кут, на який потрібно повернути амплитудно-фазову характеристику розімкненої системи, щоб замкнута САУ опинилася на межі стійкості.

,

де  – значення ФЧХ на частоті зрізу  системи, для якої виконується умова  .

 

Висновки

Під стійкістю розуміється властивість САУ повертатися в початковий стан після виведення її з цього стану і припинення впливу задаючої або обурюючої дії. Тільки стійка система автоматичного управління може виконувати покладені на неї функції. Тому одним з основних завдань САУ є забезпечення її стійкості. Якщо САУ представляється системою лінійних диференціальних рівнянь, то її стійкість не залежить від величини і точки додатку зовнішніх обурень.

Прямий аналіз стійкості САУ, заснований на обчисленні коріння характеристичного рівняння, пов'язаний з необхідністю обчислення коріння, що є непростим завданням.

Способи визначення стійкості САУ без  обчислення коріння характеристичного  рівняння називаються критеріями стійкості САУ. Розрізняють дві групи критеріїв стійкості: алгебра – засновані на аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні – засновані на аналізі частотних характеристик САУ.

  Критерій Рауса є системою  нерівностей, складених по особливих  правилах з коефіцієнтів характеристичного  рівняння замкнутої САУ.

Критерій  Гурвіца дозволяє визначити стійкість  САУ, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:

Частотні критерії стійкості - це графоаналітичні методи, що дозволяють по вигляду частотних характеристик САУ судити про їх стійкість.

 Критерій Михайлова – це  частотний критерій, що дозволяє  судити про стійкість замкнутої  системи по поведінці її характеристичного  вектора на комплексній площині. 

Критерій Найквіста – це частотний  критерій, що дозволяє судити про стійкість  САУ, замкнутим одиничним зворотним зв'язком, по вигляду амплитудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.

 

Список використаної літератури:

1. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы.Учебное пособие.1-е изд.- Спб.: Питер, 2005.- 336 с.

2. Гальперин м. В. Автоматическое  управление. М.: «Форум: ИФРА-м», 2004, 224с.

3. Нитушило а.В. Теория автоматического управления. – М., 1999.

4. Ротач в.В. Теорія автоматичного управління. – М., 1995.

5. Лукас В. А. Теорія автоматичного  управління. – М.: Надра, 1990. – 416 с.

6. Череванів В. Н. і ін. Теорія  автоматичного управління. – М: Вища школа, 2000.

7. Бесекерський в.А., Попов е.П. Теорія систем автоматичного регулювання. — М.: Наука, 1975.

8. Теорія автоматичного управління. Навчань. для вузів по спец. "Автоматика і телемеханіка". У 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А.  Воронів і др.: Під ред. А.А. Вороняча. - 2-е видавництво, перераб. і доп. - М.: Висш. шк., 1986. - 367с., мул.

       9. Переборов а.С., Брилєєв а.М. і др.Теоретичні  основи залізничної автоматики  і телемеханіки.- 3-і изде., перераб. і доп.- М.:«ТРАНСПОРТ», 1984.