Теорема Котельникова

, а случайная погрешность –  разность между результатом единичного  наблюдения и математическим  ожиданием результатов:  .

Характеристикой рассеивания результатов наблюдений относительно их математического ожидания   являются дисперсия

 

и среднеквадратическое отклонение (СКО) :

.

На  основании имеющихся экспериментальных  данных осуществляют оценку истинного  значения измеряемого параметра, т. е. находят результат измерения и оценивают его точность, т. е. меру его приближения к истинному значению.

Оценку  результата измерения осуществляют по методу точечных или интервальных значений. Пусть имеем N результатов измерения Х . Оцениваемыми параметрами являются математическое ожидание и СКО. Оценка а* параметра а будет точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама представляет случайную величину со своим распределением.

К точечным оценкам предъявляют ряд  требований: состоятельность, несмещённость, эффективность. Состоятельная оценка означает, что при увеличении числа N наблюдений она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра. Оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, и эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Точечные  оценки  математического  ожидания  mx    и дисперсий    Dx находят по формулам:

;

.

Существует  также интервальная оценка действительного  значения 
случайной величины. Сущность метода интервальной оценки заключается в нахождении интервала, называемого доверительным, между границами которого с определенной (доверительной) вероятностью лежит истинное значение оцениваемого параметра. Допустим случайная величина распределена по нормальному закону с дисперсией . В этом случае вероятность р попадания тх в интервал определяется соотношением

,

где --распределение Стьюдента; --  СКО выборочного распределения величины т *:

.

По  заданной доверительной вероятности р из таблиц распределения Стьюдента (входами в таблицу являются заданная р и п = N - l) находят величину ta. При этом

, где  .

Таким образом, значение тх с заданной вероятностью р будет лежать в пределах т_х = т* ±ξ.. Доверительный интервал для выборочной дисперсии (СКО σ_х) определяется из соотношения , где γ1 и γ2 -- величины, определяемые из распределения Пирсона (х²) по таблицам. Входами в таблицу являются п =N — l и заданная доверительная вероятность р.

Интервальная  оценка используется при ограниченном числе измерений (N< 30) величины X. При N > 30 распределение Стьюдента обращается в нормальное и отпадает необходимость в нахождении ξ и γ1 , γ2.

Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Существует   четыре   разновидности   систематических   погрешностей:

методические, вызванные используемым методом  измерений;

инструментальные, вызванные погрешностью используемого  СИ;

погрешности, вызванные неправильной установкой СИ, влиянием неинформативных внешних  факторов;

погрешности, вызванные неправильными действиями оператора.

По  характеру проявления систематические  погрешности подразделяют на постоянные и переменные. Постоянные погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке СИ и вследствие других причин.

Среди переменных погрешностей выделяют прогрессирующие, монотонно возрастающие или убывающие в процессе своего изменения, и периодические,   значения которых повторяются через равные промежутки времени.

При воздействии многочисленных внешних  факторов (температура, влажность, давление и др.) характеристики СИ могут изменяться.

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммирование  погрешностей средств измерений

Современные СИ состоят из 10 — 15 узлов, поэтому  общее число составляющих погрешностей может быть равно 50 и более. Следовательно, правило суммирования в этом случае приобретает первостепенное значение.

В настоящее время в соответствии с ГОСТ 8.009—84 "Нормируемые метрологические  характеристики средств измерений" все погрешности суммируются  следующим образом: отдельно суммируются  систематические и случайные  погрешности и отдельно мультипликативные  и аддитивные погрешности.

Суммирование    систематических    составляющих    погрешностей   СИ выполняется  по формуле

, где  --  суммарная относительная погрешность СИ;δi — относительная погрешность i-го звена; а_i — коэффициент влияния относительной погрешности i-го звена на .

Аддитивная  и мультипликативная составляющие случайной погрешности суммируются отдельно. В этом случае суммирование проводится 
по всем СИ и учитываются сведения о степени их коррелированности 
между собой.

где — коэффициент корреляции между случайными величинами с индексами g и j. Знак g≠ j означает суммирование всех возможных парных величин, имеющих корреляционную связь (при k=1 значение находят алгебраически, при k=0 — геометрически).

Если  ряд погрешностей одного или нескольких звеньев вызывается одной и той  же общей причиной, в результате чего они оказываются достаточно сильно коррелированными, то коэффициент их взаимной корреляции принимают равным + 1 или - 1.

Если  же погрешность вызывается причинами, не имеющими между собой явной  связи, то их корреляцию принимают равной 0.

При расчетах обычно, если > 0,7, то . принимают равным 1 и определяется как алгебраическая сумма; если < 0,7, то - принимается равной 0 и определяется геометрически.

При суммировании случайных независимых погрешностей различных звеньев СИ определение суммарной погрешности можно упростить, если пренебречь погрешностями, имеющими малые значения. Это осуществляется по критерию ничтожной погрешности. Рассмотрим    для случая двух суммируемых слагаемых  

,

где принято 

По  критерию ничтожной погрешности можно пренебречь по отношению к , если <0,05 . Тогда  

                                              

Разделим  последнее равенство на неравенство  и получим

.

Приняв , получим

.

Таким образом, если одна из составляющих случайных  погрешностей втрое меньше, чем другая, то меньшую можно отбросить.

 

Метрологические   характеристики и классы точности средств  измерений.

Средства  измерений обладают рядом общих  свойств, необходимых для выполнения их функционирования. Технические характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие  влияние на результаты и на погрешности  измерений, называются метрологическими. Перечень важнейших из них регламентируется ГОСТ 8.009-72 "ГСИ„ Нормируемые метрологические характеристики средств измерений".

Одной из основных метрологических характеристик  измерительных преобразователей является статическая характеристика преобразования (называемая иногда функцией преобразования или градуировочной характеристикой) . Она устанавливает зависимость у = f(y) информативного параметра у выходного сигнала измерительного преобразователя от информативного параметра х входного сигнала.

Статическая характеристика нормируется путем  задания в форме уравнения, графика  или таблицы некоторой номинальной  статической характеристики, которая  официально приписывается данному  измерительному преобразователю при номинальных значениях неинформативных параметров входного сигнала

Важной  характеристикой шкальных измерительных  приборов является цена деления, т. е. то изменение измеряемой величины, которому соответствует перемещение указателя на одно деление шкалы. У цифровых приборов шкалы в явном виде нет, и для них вместо цены деления Указывается цена единицы младшего разряда числа в показании прибора.

Погрешности СИ подразделяют на статические, имеющие  место при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей, и динамические, появляющиеся при измерении переменных величин и обусловленные инерционными свойствами СИ.

Для СИ, являющихся линейными динамическими  системами с сосредоточенными, постоянными во времени параметрами, наиболее общая характеристика динамических свойств — дифференциальное уравнение. В этом случае имеет место линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

где и — i-e и j-е производные входного и выходного сигналов; a_i и bi — постоянные коэффициенты; n и m — порядок левой и правой частей уравнения, причем n > m.

Для нормирования динамических свойств  СИ часто указывают на само дифференциальное уравнение, а другие производные  от него динамические характеристики находят, например, экспериментальным путем. Сюда относятся передаточная функция, амплитудная и фазовая частотные характеристики, переходная и импульсная переходные функции.

Способы установления классов точности изложены в ГОСТ 8.401—80 "ГСИ. Классы точности средств измерения. Общие требования".

Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности  могут задаваться либо в виде одночленной формулы

∆ = ±а , либо в виде двучленной формулы

∆ = ± (а + bх) ,

где ∆ и х представляется одновременно либо в единицах измеряемой или воспроизводимой  мерой величины, либо в делениях шкалы измерительного прибора; а и b- положительные числа, не зависящие от X.

Пределы допускаемой приведенной основной погрешности нормируют в виде одночленной формулы

;

где число z выбирают из ряда z = 1∙ ; 1.5∙ ; 2∙ ; 2.5∙ ; 4∙ ;  5∙ ; 6∙ ;  (n = 1; 0; -1; -2 и т.д.); х_н - нормирующее значение.

Пределы допускаемой относительной основной погрешности могут нормироваться  либо одночленной формулой

;

либо  двучленной формулой

,

где - конечное значение диапазона измерений или диапазона значений воспроизводимой многозначной мерой величины; q, с и d — постоянные числа, которые выбирают из того же ряда, что и число z.

В настоящее время существует три  способа нормирования основной погрешности  СИ:

нормирование  заданием пределов допускаемой основной абсолютной  ± ∆ или приведенной  ± δ погрешности, постоянных во всем диапазоне измерения или преобразования;

нормирование  заданием пределов допускаемой основной абсолютной ± ∆ или относительной  ± δ погрешности в функции  измеряемой величины;

нормирование  заданием постоянных пределов допускаемой  основной погрешности, различных для  всего диапазона измерения и  одного или нескольких нормированных  участков или различных для разных диапазонов измерения (для многопредельных приборов).

Так, для средства измерений с  δ=0,002 класс точности обозначают 0,2.

Классы  точности СИ, для которых пределы  допускаемой основной приведенной  погрешности нормируются, обозначаются одной цифрой, выбираемой из ряда для  чисел z и выраженной в процентах. Если, например, 5 = ± 0,005 = ± 0,5 %, то класс точности обозначают как 0,5 (без кружка), если нормирующее значение выражается в единицах входной или выходной величины, или как 0,5, если нормирующее значение принято равным длине всей шкалы или длине какого-либо ее интервала.

Классы  точности обозначают римскими цифрами  или буквами латинского алфавита для СИ, пределы допускаемой погрешности которых задаются в форме графиков, таблиц или сложных функций, измеряемой или воспроизводимой величины. К буквам при этом допускается присоединять индексы в виде арабской цифры. Чем меньше пределы допускаемой погрешности, тем ближе к началу алфавита должна быть буква и тем меньше цифра. Недостатком такого обозначения класса точности является его чисто условный характер.

 

Измерительные сигналы.

Основные  виды моделей сигналов.

Сигнал  представляет собой физический процесс, отражающий состояние некоторой системы. В измерительной технике различают два типа сигналов: образцовые и измерительные.

Образцовыми называют сигналы, характеристики которых априорно известны. Образцовые сигналы формируются с помощью образцовых мер и цифроаналоговых преобразователей. Образцовые сигналы позволяют получить информацию о характеристиках изучаемых СИ; в этом случае на вход СИ воздействуют соответствующими образцовыми сигналами, а измерению подвергают сигналы на выходе, отражающие свойства изучаемого объекта.

Измерительные сигналы в отличие от образцовых характеризуются априорной неопределенностью значений некоторых своих параметров. Если между параметрами сигнала и измеряемой величиной, характеризующей состояние или свойства изучаемого объекта, существует известная функциональная связь, то этот параметр называют информативным.