Біртекті емес Коши-Риман жүйесі

МАЗМҰНЫ

 

КІРІСПЕ................................................................................................................	5
I БӨЛІМ................................................................................................................	7
1.1 Біртекті емес Коши-Риман жүйесі..............................................................	7
1.2 Cоболев мағынасындағы жалпыланған туындылар және олардың қасиеттері.............................................................................................................	11
1.3 Комплексті интегралдау..............................................................................	24
II БӨЛІМ...............................................................................................................	26
2.1 операторының қасиеттері.....................................................................	26
2.2 Функциялар класы үшін Грин формуласы. Ареоларлы туынды..........................................................................................................	29
III БӨЛІМ......................................................................................................	34
3.1 Борель-Помпей формуласы..................................................................	34
Қорытынды...................................................................................................	40
Пайдаланылған әдебиеттер..........................................................................	42

 

 

КІРІСПЕ

 

Аналитикалық функция – дәрежелі қатар түрінде өрнектелетін функция. Аналитикалық функция теориясының негізі 19 ғасырда француз математигі О.Коши (1789-1857), неміс математиктері Б.Риман (1826-1866) және К.Вейерштрасс (1815-1897) еңбектерінің нәтижесінде қаланды. Математикада аналитикалық функция ұғымы әртүрлі көзқараспен қалыптасты.

Бірінші көзқарас .

О.Коши мен Б.Риман бойынша аналитикалық функция ұғымының негізіне - функцияның құрылымдық қасиеті, яғни функцияның комплекстік айнымалы шама бойынша туындысының бар болуы (немесе диффе-ренциалдануы) алынды. Бұл көзқарас функцияны геометрия тұрғысынан сипаттауға мүмкіндік берді.

Екінші көзқарас.

К. Вейерштрасс дамытқан екінші көзқарас — функцияны дәрежелік қатар арқылы өрнектеу мүмкіндігіне негізделген; Ол функцияны кескіндеуге болатын аналитикалық аппаратпен байланысты.

Аналитикалық функцияның негізгі қасиеттері тәуелсіз айнымалы шаманың комплекстік мәндеріндегі өзгерістерімен сипатталатындықтан, аналитикалық функция теориясы, көбінесе комплекстік айнымалы шамалар функциясының теориясы деп те аталады.

Аналитикалық функция (комплекстік айнымалының)

 (мұнда және  қарастырылып отырған комплекстік айнымалы функцияның сәйкесінше нақты және жорамал бөлігі) комплекстік айнымалы функциясы үшін, бірбайланысты кейбір

(комплексті жазықтық) аналитикалық облыстағы әрбір нүктесінде төменде көрсетілген тең мәнді үш шарттың бірі орындалуы керек.

1. Бұл функцияның нақты  және жорамал бөлігі үшін әрбір  нүктесінде КошиРиман шарты орындалады (Коши-Риман мағынасындағы аналитикалық);

2. Әрбір  нүктесінде функцияның Тейлор қатары жинақталады және оның қосындысы -ке тең (Вейерштрасс мағынасындағы аналити-калық);

3. Кез келген тұйық  қисығы үшін интеграл

 

 

 

(Коши мағынасындағы аналитикалық).

Аналитикалық функцияларға көпмүшелер, тригонометриялық функция-лар, көрсеткіштік функциялар және т.б. жатады. Аналитикалық функциялар теориясы физикада, механикада, техникада, сондай-ақ арнаулы функциялар теориясында және математиканың басқа салаларында пайдаланылады.

Менің қарастырып отырған тақырыбым Борель-Помпей формуласы.Ол формуланы негіздеп алу үшін пайдаланылған тақырыптар:

• Біртекті емес Коши-Риман жүйесі
• Соболев мағынасындағы жалпыланған туынды және оның қасиеттері
• Комплексті интегралдау
• операторының қасиеттері (бізге қажетті қасиеті:облысымыз ақырлы болғандағысы)
• Грин функциясы
• Борель-Помпей формуласы

 

Дипломдық жұмыста пайдаланылатын белгілеулер:

 облысында  абсолюттік шамасы

 

 

 

ақырлы болатын класс. Мұндағы - шартын қанағаттандыратын кез-келген сан, ал жазықтықтағы кез-келген ақырлы облыс.

 және  немесе бойынша алынған жалпыланған туынды-лары бар функциялар сәйкесінше құрайтын сызықты көпбейнелер класы. Жалпыланған туынды анықтамасы 1.2-де көрсетіледі.

 облысындағы  голоморфты функциялар және т.б.

 

I БӨЛІМ

 

1.1 Біртекті емес Коши-Риман жүйесі

 

Коши-Риман теңдеуінің біртекті емес жүйесін қарастырамыз

 

 

(1.1.1)

 

 

Мұндағы және айнымалыларының функциялары. жүйенің екінші теңдеуіне көбейтіп, бірінші теңдеуге қоссақ,осы жүйенің комплексті жазылуы шығады

 

 

 

      (1.1.2)

 

 

 

мұнда

 

(1.1.3)

 

операторының түйіндес операторы мынау:

 

(1.1.4)

 

 және  функцияларын -дан сәйкесінше және бойынша алынған шартты туындылар деп атайтын боламыз.Осылар арқылы және бойынша туындылар төмендегі

 

 

 

жүйесіне қосу амалын орындау арқылы

 

,

 

жүйесіне азайту амалын орындау арқылы

 

 

 

формулалары алынады.

 және  операцияларын және дербес туындыларына жүгінбей-ақ анықталатын алғашқы дифференциялдық операциялар ретінде қарастыруға болады.

Егер және операцияларын аналитикалық функциясына қолданатын болсақ, онда

 

(1.1.5)

 

теңдеуін аламыз.Мұнда функциясының бойынша туындысы.

Бұл теңдеулердің біріншісі Коши-Риман жүйесінің комплекс түрінде жазылуы, ал екіншісі аналитикалық функциядан комплексті аргумент бойынша алынған туынды болып табылады.

Егер , ал болса, онда

 

 

 

(1.1.6)

 

.

 

болатыны айқын. функциясының түйіндесі.

ал болсын. Сонда Грин формуласы арқылы төмендегі қатынас орындалады

 

,

 

(1.1.7)

 

.

 

 және тұйық облысында үзіліссіз болған жағдайда да орындалатындығын көру қиын емес. Бұның дәлелдеуін II бөлімнің 2-тақырыбынан көруге болады.

Егер облысының бекітілген нүктесі болса, онда формула мен теңдік арқылы

 

(1.1.8)

 

аламыз. Мұндағы облысы мен облысының қиылысуы, . Бұл теңдікте шегіне өту арқылы

 

(1.1.9)

 

аламыз.

Дәлелдеуі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сәйкесінше

 

     (1.1.10)

 

Бұл жағдайда теңдіктер бір уақытта және екеуінеде тиісті болғанда дәлелденеді. Кейінірек біз бұл теңдіктердің кеңейтілген функциялар класстарында да күшін жоғалтпайтындығын көреміз.

 

Енді

 

(1.1.2)

 

теңдеуіне ораламыз. Егер болса,онда теңдеуінің барлық шешімін беретін формуланы алу оңай.

Егер облысында үзіліссіз және облысында теңдеуін қанағаттандыратын болса, онда

 

(1.1.11)

 

мұндағы

 

 

 

(1.1.12)

 

 

 

Егер және айнымалыларының аналитикалық функциясы болса, онда интегралын есептеуді жеңілдететін формула көрсетуге болады; бүтін функция делік. және аргументтерін сәйкесінше және деп алмастырып, анықталмаған интегралды (ке қатысты)

 

 

 

деп есептеп,

 

(1.1.9)

 

формула арқылы

 

(1.1.13)

 

аламыз.

Егер z болса, онда

 

(1.1.14)

 

болады.

Бұл функциясы бүкіл жазықтықта үзіліссіз, сыртында голоморфты және шексіздікте нөлге айналатын болғандықтан шығады.Бұны 1.3-тен көре аласыздар. облысының шекарасында, Коши интегралының шекаралық қасиеті бойынша және теңдіктерінің оң жақ бөліктері сәйкес келетінін көреміз. Мысалы, және теріс емес бүтін сандар болсын. Егер болатын шеңбер болса, онда (болғанда)

 

 

 

Егер z болса, онда

 

 

 

1.2 Соболев мағынасындағы жалпыланған туындылар және олардың қасиеттері

 

1-лемма. облысында және облысының сыртында .Онда

 

    (1.2.1)

 

функциясы

 

 

 

болғанда үзіліссіз.

Дәлелдеуі

 

 

 

болғандықтан, теңдігіндегі екінші интегралды центрі , бекітілген радиусы R болатын, қандайда бір шеңберінде алынған деп есептесек болады.

Дәлелдеуге Гелдер теңсіздігін пайдаланамыз.

Егер

 

 

 

 

 

болса, онда

 

 

 

және

 

 

 

Бұл Гельдер теңсіздігі. Олай болса осы Гельдер теңсіздігі арқылы

 

 

 

(1.2.2)

 

 

 

теңсіздігін аламыз. Мұнда теңсіздіктің оң жағындағы

 

 

 

Өйткені

 

 

 

және

 

 

 

Дәлелдеуі

 

 

 

 

 

бұдан

 

 

 

 

екендігі шығады. Дәлелдеу керегі де осы.

1.1-теорема Егер облысының сыртында болса, онда кез келген үшін

 

 

 

болғанда

 

 

 

түрінде анықталатын табылады.

 

 

 

болғандықтан, (1.2.2) теңсіздігінің оң жағындағы екінші көбейтінді шектеулі. Ал бірінші көбейтінді 1.1-теорема бойынша

 

 

 

болғанда нөлге ұмтылады.Бұдан үзіліссіз екендігін көреміз, дәлелдеу керегі де осы.

1.2-теорема ақырлы облыс болсын. Егер болса, онда

 

 

 

(1.2.3)

 

 

 

интегралдары барлық нүктелерінде табылады, облысында жатпайтын және сәйкесінше және нүктелеріне қатысты голоморфты, сонымен қатар шексіздікте нөлге айналады.

1.3-теорема ақырлы облыс болсын. Егер болса, онда нүктесінің және функциялары барлық жерде дерлік бар болады және кез-келген класқа тиісті, мұнда шартын қанағаттандыратын кез-келген сан, ал жазықтықтағы кез-келген ақырлы облыс.

Дәлелдеуі

Бұл теореманы дәлелдеуге біз Фубини теоремасын пайдаланамыз. Сол Фубини теоремасы туралы қысқаша мәлімет бере кетейік.

Фубини теоремасы. аралығындағы және аралықтарының тікелей көбейтіндісі болатын аралық болсын. Егер аралығында

 

 

 

функциясы интегралданатын болса, онда

 

 

 

 

 

интегралы бір уақытта бар болады және өзара тең.

Егер

 

 

 

болса, онда -лемма бойынша функция

 

 

 

үзіліссіз. Сондықтан, егер

 

 

 

болса, онда

 

,

 

сонымен қатар Фубини теоремасы арқылы

 

 

 

 

 

Бұл теңдік класындағы кез-келген функциясы үшін орындалатын болғандықтан, бізге белгілі функциялардың қосындыланатын қасиетіне сәйкес

 

 

 

Осы арқылы , өйткені . Мұндағы ол шартын қанағаттандыратын кез-келген сан. голоморфты болғандықтан, ; Мұнда жазықтықтағы кез келген ақырлы облыс. үшін де тура осы тұжырымдар орындалады.

1.4-теорема Егер және класындағы кез-келген функция болса, онда

 

(1.2.5)

 

       (1.2.6)

 

Дәлелдеуі

Бірінші теңдікті дәлелдесек жеткілікті, екіншісі дәл солай дәлелденеді.

Егер болса, онда

 

      (1.1.9)

 

формуласы бойынша

 

 

 

өйткені

 

 

 

болады. Осыдан шығады

 

 

 

Енді жалпыланған туынды түсінігін енгіземіз.

Анықтама. , класындағы кез келген функция болсын. функциясы функциясынан бойынша алынған жалпыланған туынды деп аталады,егер төмендегі