Біртекті емес Коши-Риман жүйесі

1.10-теорема Егер жалпыланған туынды

 

 

 

болса, онда функциясының ішінде барлық жерде дерлік Помпей мағынасында алынған туындысы бар және Соболев мағынасында алынған туындысы екеуі өзара тең.

Егер ,онда (және керісінше)

 

III БӨЛІМ

 

3.1 Борель-Помпей формуласы

 

 шекарасы тегіс бөлікті,ақырлы облыс болсын. Егер облысында жататын

1) нүктесі кез-келген жағдайда нүктесіне ұмтылса,

 

2)  тұйық облысында берілген нақты бірмәнді функциясының облысында   және    дербес туындылары бар болса,

 

3)сонымен қатар әрбір  нүктесінде  және шектері бар болса,

онда және функцияларын, болғандағы және дербес туындыларының мәні деп қабылдап, және дербес туындыларын облысында анықталған деп айтамыз.

Борель-Помпей формуласы бізге белгілі Грин-Остроградский формуласы бойынша:

 

(3.1.1)

 

мұндағы және айнымалыларының тұйық облысындағы өзінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болатын, нақты бірмәнді функциялары.

Егер тұйық облысында өзінің дербес туындыларымен бірге үзіліссіз болатын, функциясының нақты бөлігі мен жорамал бөлігі бірмәнді функция болса, онда функциясының қисығы бойынша интегралы:

 

   (1.3.2)

 

 және  формулаларынан:

 

 

 

(3.1.2)

 

 

 

шығады.

 облысында  аналитикалық болса,яғни

 

 

 

(3.1.3)

 

 

 

болғанда формуласынан

 

(3.1.4)

 

теңдігін аламыз,бұл Коши теоремасын береді.

(n бүтін сан) функциясынан  аймағы болғанда, интеграл оңай алынады. Расында да

 

 

 

=

 

(3.1.5)

 

 

 

 болғанда Коши теоремасы арқылы

 

.   (3.1.6)

 

теңдігі алынады. Мұндағы кез келген тұйық, тегіс бөлікті Жордан қисығы.

 шекарасы бар, ақырлы облысының нүктесі жоқ болса, онда Коши теоремасы арқылы теңдігінің болғанда да орындалатындығын көреміз.

 нүктесі  ақырлы облысына тиісті болса, оны облысынан тұйық шеңберімен бірге алып тастап, облысының қалған бөлігіне формуласын қолданып, функциясы -да үзіліссіз болғандағы формуланы келесі түрде аламыз

 

     (3.1.7)

 

Бұл және теңдіктерінен:

 

      (3.1.8)

 

теңдігі шығады.

Сонымен біз, бүтін үшін кез келген сызығында функциясының интеграл мәні және де біріктіріп тұрған және нүктелері бір екендігін көрсеттік немесе ол интегралдау жолынан тәуелсіз деп те айтуға болады. Оны болғанда есептеу үшін, түзу сызықты

 

 

 

үзіндісімен сәйкес келетін интегралдау жолын қарастырамыз.

Егер берілген

 

 

функциялары үзіліссіз және берілген тұрақтылар болса, онда

 

     (3.1.9)

 

 функциясының  қисығы бойынша интегралы:

 

   (1.3.2)

 

және арқылы

 

 

 

 

 

 

 

(3.1.10)

 

 

 

 

 

шығады.

 және  тұйық облысында жататын өзінің I ретті дербес туындыларымен бірге функциясы үшін үзіліссіз деп ұйғарсақ, Борель-Помпей формуласы қажет:

 

(3.1.11)

 

 болғанда, бұл нүктені облысынан айтарлықтай аз радиусты, тұйық шеңберімен бірге алып тастап, облысындағы қалған бөлігіне қайтадан функциясы пен алмасқан теңдікті қолданамыз. Үзіліссіз функциясымен қатар функциясы да интегралданатынын көрсететін, мұндағы ұзындығы болып табылатын төмендегі

 

(3.1.12)

 

теңсіздігі мен

 

 

 

 

 

(3.1.5)

 

 

 

формуладан

 

 

 

 

 

теңдігі шығады. Қарастырылып отырған жағдайда формула осы теңдік арқылы алынады.

Расында да кезінде формула,егер соңғы -ны деп алмастырып және

 

 

 

екендігін ескерсек,

 

 

 

(3.1.2)

 

 

 

теңдіктен шығатыны анық.

Дербес жағдайда аналитикалық болғандағы

 

 

(3.1.3)

 

 

 

шартын қанағаттандырса

 

(3.1.11)

 

Борель-Помпей формуласынан Кошидың интегралдық формуласы:

 

 

 

шығады.

 

ҚОРЫТЫНДЫ

 

Менің қарастырып отырған тақырыбым Борель-Помпей формуласы. Борель-Помпей формуласы кеңінен белгілі аналитикалық функциялар үшін интегралдық Коши формуласының жалпыланған түрі болады Ол формуланы негіздеп алу үшін:

 

Коши-Риман теңдеуінің біртекті емес

 

 

 

(1.1.1)

 

 

 

жүйесін қарастырдық.

Соболев мағынасындағы жалпыланған туынды және оның қасиеттерін пысықтап, операторының қасиеттерінің бізге қажетті қасиеті облысымыз ақырлы болғандағысын:

ақырлы облыс болсын. Егер

 

 

 

болса,онда

 

 

 

функциясы үшін келесі теңсіздіктер орындалады:

 

      (2.1.1)

 

    (2.1.2)

 

 

 

алып,

 

 

 

(2.1.7)

 

 

 

 теңсіздігін,яғни Адамар  теңсіздігін алдық.

Әрі қарай Грин функциясы, Комплексті интегралдау тақырыптарын өзіме керек бағытта пайдалану арқылы Борель-Помпей формуласын

 

 

 

шығардық.

Сонымен қатар, аналитикалық болғандағы дербес жағдай

 

 

 

(3.1.3)

 

 

 

шартын қанағаттандырса,

 

(3.1.11)

 

Борель-Помпей формуласынан Кошидың интегралдық формуласы:

 

 

 

шығатынын көрдік.

Борель-Помпей формуласы дифференциалданатын комплекс айнымалы функциялар үшін құрылған. Ол дифференциалдық теңдеулерді интегралдық теңдеулерге көшіру кезінде қолданылады.

 

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

 

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. –М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1988. -27 с.
2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. –М.:Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1972. -89 с.
3. Векуа И.Н. Об одном свойстве решений обобщенной системы уравнений Коши-Римана. –Сообщ. АН ГССР., 1953. -25 с.
4. Лопатинский Ю.Б. Об одном обобщении понятия аналитических функций. –Укр. мат. журн., 1950. -73 с.
5. Векуа И.Н. Общее представление функций независимых переменных, допускающих производные в смысле С.Л.Соболева и проблема примитивных. –ДАН СССР., 1953. -57 с.
6. Векуа И.Н. Теория обобщенных аналитических функций и некотрые ее применения в геометрии и механике. –Тр. 3-го Всесоюзн. мат. съезда., 1957. -42 с.
7. Лаврентьев М.А. и Бицадзе А.В. Методы теории функций комплексного переменного. 2-е издание –М.: Наука, 1965. -97 с.
8. Фукс Б.А. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных
9. Зорич В.А. Математический анализ.,чать II, 4-е издание. –МЦНМО Москва, 2002. -152 с.
10. Валирон Ж. Аналитические функции. –Москва, государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. -14 с.