Числовые последовательности и ИКТ

Исследовательская работа

«Числовые последовательности и ИКТ»

Оглавление

 

Введение.

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого  на первый взгляд небольшого раздела  школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов.

В настоящее время  числовые последовательности рассматриваются  как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показательной функцией натурального аргумента.)

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго  до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …   - последовательность натуральных чисел.
2. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.
3. 1, 3, 5, 7, 9,…   - последовательность нечётных чисел.
4. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
5. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.
6. 1, … - последовательность чисел обратных натуральным.

Число членов каждого  из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные   виды   числовых   последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическая часть

Глава 1.Числовые последовательности.

1.1. Понятие числовых последовательностей.

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Будем выписывать в порядке возрастания  положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д. таким  образом, мы получим последовательность:

2; 4; 6; 8; 10 ….

Очевидно, что на пятом месте  в этой последовательности будет  число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число: оно равно 2n, то есть члены последовательности можно найти по формуле f(n)=2n, где n=1,2,…

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

; ; ; ; ; … .

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна .  Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь .

Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.

Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают ( ). Отметим, что последовательность является частным видом функции.

Последовательность может  содержать, как бесконечное число  членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной.

Например: последовательность двухзначных чисел.

10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Поскольку всякая числовая последовательность может рассматриваться  как функция натурального аргумента, то на числовые последовательности переносятся понятия монотонности функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый последующий её член больше предыдущего, то есть для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется убывающей, если каждый её член меньше предыдущего, то есть для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется монотонной, если она убывающая и возрастающая.

1.2 Способы задания числовых  последовательностей.

Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым  номером.

Наиболее  часто последовательность задают с  помощью формулы n-го члена последовательности.

Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Последовательность  правильных дробей: = .

Рассмотрим ещё один пример: пусть  последовательность задана формулой: = . Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т.д., получаем:

…

Рассмотрим ещё один способ задания  последовательности.

Пример: Пусть первый член последовательности (а ) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а =10, а = .

С помощью формулы а = можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т.д.

Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной.. При рекуррентном способе задания  последовательности обычно  указываются:

Начальные(ый) члены последовательности;

Формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением  её членов.

Глава 2. Исторические факты и примеры.

2.1. Развитие учения о прогрессиях.

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем  прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи  имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли  до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.

Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

1. 1+2+3+…+n= ,
2. 2+4+6+…+2n=n(n+1),
3. 1+3+6+…+(2n+1)=(n+1)² и др.

В «Псаммите» Архимед  впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1,2,3,4,5,………………..

10,10²,10³,10⁴,10⁵,………….

И указывает на связь между ними, например:

, т.е. для умножения двух  членов геометрической прогрессии  достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

 a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Прогрессии рассматривались как  бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIII в. Именно так следует объяснить тот факт, что символ  встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках  XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

Одно из доказательств  Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится также по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для решения некоторых  задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы  квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него.

1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6n(n+1)(2n+1)

Некоторые формулы, относящиеся  к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной  арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии.  Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.

2.2. Арифметические прогрессии в древности.

В клинописных табличках  вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

Вот одна вавилонская задача, в  которой используется арифметическая прогрессия.

 Задача: «10 братьев,  мины серебра.  Брат над братом поднимается,  на сколько поднимается,  не знаю.  Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом — на сколько он выше?» 

Итак,   мины (мина   равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придерживаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли),  деля мины на 10 и получая   мины,   ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда

и находится значение одной ступени, т. е.  разность прогрессии,

 от мины, или + мины.

А вот египетская задача из папируса Ахмеса.

 Задача: «Пусть тебе сказано:  раздели  10   мер ячменя между 10 человеками, разность же между   каждым человеком и его соседом равна меры».

При решении этой и других аналогичных задач египтяне, видимо, пользовались правилом, которое можно записать в современной символике так:

.

Оно эквивалентно нашей формуле.

.

Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического  характера.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между соседними членами остаётся постоянной. Например, 7, 10, 13, 16 - это арифметическая прогрессия, в которой разность между соседними членами равна трём. Из теории Рамсея следует такое утверждение об арифметических прогрессиях: если каждое число от 1 до 9 покрасить в красный или синий цвет, то либо три синих числа, либо три красных образуют арифметическую прогрессию.

Чтобы доказать это утверждение, мы могли  бы проверить все 512 способов раскраски девяти чисел. Но мы можем доказать его, рассмотрев только два случая. Начнём со случая, в котором 4 и 6 имеют одинаковый цвет, скажем синий.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Чтобы избежать синей арифметической прогрессии 4, 5, 6, мы покрасим 5 в красный цвет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Чтобы избежать синих арифметических прогрессий 2, 4, 6 и 4, 6, 8, мы покрасим 2 и 8 в красный  цвет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Но  тогда у нас получится красная  арифметическая прогрессия 2, 5, 8. Итак, если 4 и 6 имеют одинаковый цвет, то всегда получится либо красная, либо синяя арифметическая прогрессия . Теперь рассмотрим случай, когда 4 и 6 имеют различный цвет. Число 5 можно покрасить как угодно, не создав при этом арифметической прогрессии , так что мы произвольно покрасим 5 в красный цвет.