Движение на евклидовой плоскости

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Февраля 2014 в 14:07, курсовая работа

Описание работы

Движения на плоскости занимают особое положение в геометрии. Используя движение, можно создавать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский. Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало. Во времена античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305–283 г. до н.э.

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ 5
1.1. Движение общие свойства 5
1.2. Параллельный перенос 7
1.3. Осевая симметрия 9
1.4. Поворот относительно точки 10
1.5. Центральная симметрия 12
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28
ЛИТЕРАТУРА 29

Скачать архив (577.98 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

Курсовая .docx

— 666.31 Кб (Скачать файл)

 

 
     

Курсовая работа

 

движения на евклидовой плоскости

«Допущен к защите»

Руководитель:

 

__________   _________

дата                             подпись

    

 

Защита:

_________    _________

дата                            оценка

    

Оценка:

______________________

    
 

 

 

 

 

  

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ 5

1.1. Движение общие свойства 5

1.2. Параллельный  перенос 7

1.3. Осевая  симметрия 9

1.4. Поворот  относительно точки 10

1.5. Центральная  симметрия 12

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ К РЕШЕНИЮ  ЗАДАЧ 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 28

ЛИТЕРАТУРА 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Движения на плоскости занимают особое положение в геометрии. Используя  движение, можно создавать наглядные  модели многих процессов и проследить их течение во времени. Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625–547 г. до н.э.) [26]. Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало. Во времена античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305–283 г. до н.э. Евклид использовал движения в неявном виде в рассуждениях при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом» [26]. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии. В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598–1647) издал сочинение «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного». Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или «следов», которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично даётся представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793–1880). В 1837 г. Им был выпущен труд «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов».

Движения плоскости широко используются при решении задач.

Выше сказанное указывает  на актуальность выбранной темы курсовой работы.

Курсовая работа состоит  из двух глав, заключения, а также списка использованной литературы насчитывающего 26 наименований.

Объект исследования – планиметрия.

Предмет исследования – движения на евклидовой плоскости. 

Цель исследования – исследовать движения на евклидовой плоскости, выявить виды, связи между ними.

Для достижения цели следует  решить следующие задачи:

- отыскать и проанализировать литературу по данной теме;

- выяснить общие свойства движений;

- рассмотреть частные виды движений;

- установить связь между  частными видами движений;

- показать приложение  движений к решению задач и  доказательства теорем;

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект и предмет исследования, цель и задачи для достижения последней, а так же приведено краткое содержание работы.

В первой главе введено понятие движения его аналитическое выражение и свойства, рассмотрены подробно частные виды движения – параллельный перенос, осевая симметрия, поворот и центральная симметрия.

Во второй главе показаны приложения движений к решению задач и доказательству теорем. Всего приведено 24 задачи с чертежами и подробным их решением.

В заключении подводится итог о проведенной работе и достижения поставленной цели исследования.

ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

1.1. Движение, общие свойства

Определение 1. Движением называется отображение плоскости на себя, при котором сохраняются все расстояния между соответствующими точками.

Иными словами это такое  преобразование плоскости, при котором для любых двух точек A и B (рис.1) ставится в соответствии  две точки такие, что A1B1=AB.

                  Рис.1

Аналитическое выражение движения

На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной  системе координат (х, у) при помощи следующих формул показывающих, 

Что совокупность всех собственных  движений на плоскости зависит от трех параметров а, b, φ. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b), а параметр φ - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственные движения представляют собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол φ   и параллельного переноса на вектор (а , b). Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.

Несобственные движения выражаются при  помощи формул:

                                                                                              

показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой  прямой. Всякое несобственное движение представляет собой произведение параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.

Движение имеет ряд важных свойств:

1.Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки , , . Тогда выполняются равенства:

  (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что . А из этого следует, что точка лежит между точками и . Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки , , лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

ACBC <AB<AC+BC,

ABBC <AC<AB+BC,

ABAC <BC<AB+AC.

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек ,,, следовательно точки , , должны быть вершинами треугольника, следовательно, точки , , не должны лежать на одной прямой.

Из свойства (1) следует несколько следствий:

  1. Отрезок движением переводится в отрезок.
  2. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.
  3. Треугольник движением переводится в треугольник.
  4. Движение сохраняет величины углов.
  5. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
  6. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

Пример 1: Рассмотрим доказательство следствия. Треугольник движением переводится в треугольник.

Доказательство: Возьмем треугольник ABC (рис.2) и точки A1, B1, C1 в которые его вершины переходят при движении. Мы уже знаем, что точки A1, B1, C1 тоже образуют треугольник, и стороны ABC переходят в стороны A1B1C1. Поскольку движение сохраняет расстояния, то стороны этих треугольников соответственно равны, и тогда сами треугольники равны, (3-й признак равенства треугольников) ч.т.д.

                    Рис.2

Используя определение движения можно  дать такое определение равенства фигур:

Определение 2. Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

На плоскости существуют четыре вида движений:

  1. Параллельный перенос.
  2. Осевая симметрия
  3. Поворот вокруг точки
  4. Центральная симметрия

Рассмотрим подробнее каждый вид.

1.2. Параллельный перенос

Определение 3. Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние[1,с.37].

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответствие такие точки и что или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки и соответственно. Тогда выполняется равенство . Но из этого равенства по признаку равных векторов следует, что , откуда получаем, что во-первых , то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что , то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

При параллельном переносе выполняются  все свойства движения и следующие  специальные свойства:

1) прямая отображается на параллельную ей прямую, прямая параллельная вектору переноса отображается на себя;

2) луч отображается на сонаправленный с ним луч;

3) отрезок отображается на  равный и параллельный ему  отрезок;

 

Это свойство параллельного переноса его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления

            Рис.3                  является параллельным переносом и обозначается       

1.3. Осевая симметрия

Точки X и называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка X. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка , симметричная X относительно a.

Определение 4. Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой a [3,c.107].

Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую a за ось Ox декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x;y).

Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки (x1y1) и (x2,y2). Вычисляя расстояния и AB, получим: AB= , .

Так как то и правые части равны

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

                                                                                                Рис.4

Свойства. Осевая симметрия есть частный случай движения. Поэтому   выполняются все свойства движения; кроме того:

1) преобразование, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия;

2) прямая перпендикулярная оси симметрии, преобразуется в себя;

3) ориентация фигуры меняется  на противоположную;

Пример  2. Построим образ треугольника ABC относительно прямой l (рис.5).

  l, l, l,

ABC=

                     Рис. 5

1.4. Поворот относительно точки

Определение 5. Поворот плоскости относительно центра O на данный угол


( ) в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая точка X, что,

Рис.6

во-первых, OX=OX, во-вторых и, в-третьих, луч OX откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота[6,c.53].

На  рисунке 6 докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки X' и Y'. Покажем, что X Y '=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой.

 

 

Тогда угол X 'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY ' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY ):

с другой стороны,

Так как  (как углы поворота), следовательно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовательно X 'Y'=XY.

Информация о работе Движение на евклидовой плоскости