Формирование понятия «квадрат» у учащихся начальных классов

5. Применение  системы понятий.

Эта категория  обозначает умение решать различные  задачи на основе системы понятий. При  этом выделяют три подуровня:

А) деятельность по образцу в знакомой ситуации;

Б) перестройка  связей между понятиями при переносе закономерностей в новые условия;

В) достройка  тезауруса (формирование новых понятий  на основе привлечения дополнительной информации) [28]

Рассмотрев  два подхода формирования понятий, можем сделать вывод, что П.Я.Гальперин  описывает этапы относительно структуры урока.  Уровни по М.Н.Скаткину распределены по степени сформированности понятий. В дальнейшем в нашей работе мы будем придерживаться таксономии М.Н.Скаткина.

Образования понятий, переход к ним от чувственных  форм отражения – сложный процесс, в котором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие – «это мысль, в которой отражаются общие, и притом существенные свойства предметов. Вместе с тем понятие не только отражают общее, но и расчленяют вещи, группируют их, классифицируют в соответствии с их различиями» [13, с.27].

Классификация является частным случаем деления  – логической операции над понятиями. Деление – это распределение  на группы тех предметов, которые  мыслятся в исходном понятии. Классификация представляет собой многоступенчатое, разветвленное деление [24, с.137].

С. Л. Рубинштейн дал такое определение классификации: «Выявляя тождество одних и различие других вещей, сравнение приводит к  классификации. Тождество и различие, основные категории рассудочного познания выступает сначала как внешнее отношение. Более глубокое познание требует раскрытия внутренних связей, закономерностей и существенных свойств. Это осуществляется всеми видами мыслительных операций – анализа, синтеза, обобщения, абстракции» [20, с 87].

С. Д. Максименко обосновал свое видение классификации  не через сравнение, а через обобщение. Он пишет: «Обобщение выделенных черт предметов и явлений дает возможность  группировать объекты по видовым, родовым и другим признакам» [17, с. 98].

Чтобы осуществить  классификацию, необходимо четко определить ее цель, признаки объектов, которые  подлежат классификации, сравнивать их по существенным признакам, определить общие основания классификации, сгруппировать объекты по определенному признаку.

Р. С. Немов говорит  о том, что «Сравнение вскрывает  тождество и различие вещей. Результатом  сравнения может являться классификация. Она выступает как первичная  форма теоретического и практического  познания».[9, с. 125]

Ю. Л. Трофимова определяла классификацию как: «Мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам».

К определению  приема умственной деятельности классификации  через сравнение подходила Д. М. Дубравская. «Сравнивая предметы и  явления, мы выделяем наиболее общие их признаки и на этой основе осуществляем классификацию».

Как видно из определений, классификация связана  в учебном познании со всеми основными  приемами умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Учитель  должен обратить особое внимание на формирование специальных умений и навыков, овладение приемами мышления, понятий, познавательного интереса, которые формируются и развиваются в начальных классах. Недостаточное внимание учителя начальных классов к этим вопросам приводит к большим трудностям при последующем изучении не только математики, но и других учебных предметов. [9, с.134]

Маклаков А. Г. считает, что усвоить понятие  можно двумя путями: либо нас специально учат чему-либо, на основе чего формируется  понятие, либо мы в процессе деятельности самостоятельно формируем понятие, опираясь на собственный опыт. Каким путем будет происходить усвоение, зависит от того, чему учится человек. Специальное обучение служит средством научения «ядрам понятий» (общим понятиям), тогда как в личном опыте мы приобретаем «прототипы» (единичные понятия). Например, если вы говорите ребенку, что волк — это злой и опасный хищник (ядро понятия), то из своего опыта, посещая зоопарк, ребенок может узнать, что волки — это беспомощные, лохматые и совсем не опасные животные (прототип). [14, с. 216]

По Давыдову В.В. процесс формирования понятий  осуществляется в несколько этапов:

1. мотивация  (подчеркивается важность изучения  понятия, активизируется  целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);

2. выявление  существенных свойств понятия  (выполнение упражнений,  где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

3. формулировка  определения понятия  (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия). [8, с. 161] Выделяются два пути формирования понятий индуктивный и дедуктивный. (см. Приложение 3)

Л.С. Выготский  и Л.С.Сахаров определили, что  формирование понятий у детей  проходит через три основные ступени:

1. Образование  неоформленного, неупорядоченного  множества отдельных предметов, их синкретического сцепления, обозначаемого одним словом. Эта ступень в свою очередь распадается на три этапа: выбор и объединение предметов наугад, выбор на основе пространственного расположения предметов и приведение к одному значению всех, ранее объединенных предметов,

2. Образование  понятий - комплексов на основе  некоторых объективных признаков.  Комплексы такого рода имеют  четыре вида: ассоциативный (любая  внешне замеченная связь берется  как достаточное основание для  отнесения предметов к одному классу), коллекционный (взаимное дополнение и объединение предметов на основе частного функционального признака), цепной (переход в объединении от одного признака к другому так, что одни предметы объединяются на основе одних, а другие - совершенно иных признаков, причем все они входят в одну и ту же группу), псевдопонятие (внешне - понятие, внутренне - комплекс).

3. Образование  настоящих понятий. Здесь предполагаются  умение ребенка выделять, абстрагировать  элементы и затем интегрировать  их в целостное понятие вне зависимости от предметов, которым они принадлежат. Эта ступень включает следующие стадии: стадия потенциальных понятий, на которой ребенок выделяет группу предметов по одному общему признаку; стадия истинных понятий, когда абстрагируется ряд необходимых и достаточных признаков для определения понятий, а затем они синтезируются и включаются в соответствующее определение. [4, с.56]

Гусев В.А. выделяет этапы развития понятия, которые  можно представить так: образ  восприятия – представление –  обобщенное представление или предпонятие (образ – концепт) – понятие  – система понятий. Эти этапы  можно разделить на два блока. Формирование предпонятия можно определить как первый блок развития структуры, включающий такие этапы, как перцепт – представление – предпонятие. Термин «предпонятие», по словам Выготского Л.С., рассматривается как образ-понятие или концепт, находящийся в простом и непосредственном отношении к объекту и не включенный в систему вышестоящего понятия. Развитbе предпонятия связано с активизацией образного мышления; опирается на восприятие, деятельность образных компонентов мышления и «готовит»  понятия, с которыми «работает» словесно-логическое мышление. Согласно основным законам психического развития становление любой новой психической функции опирается на деятельность наиболее развитой в данный период. [6, с. 146]

Рассмотрим  становление системы знаний, по Гусеву В.А., на примере геометрических знаний. Оно происходит в результате развития выделенной целостной психической структуры «образ восприятия (перцепт) – понятие».

Ученик овладел  предпонятием геометрического объекта, если у него сформированы широкий  запас свойств, существенных для соответствующего геометрического понятия, и объем понятии, который может дифференцироваться в дальнейшем, т.е. можно констатировать неполную систематизацию на уровне обобщенных представлений. При этом ученик ещё может не уметь выделять минимального достаточного набора свойств геометрического объекта, на основе которого формируется определение, а геометрический объект может описывать не через ближайшее родовое понятие, т.е. у ученика не ещё не сформирована иерархия понятий вышележащих уровней.

Итак,  у ученика сформировано понятие о геометрическом объекте, если он овладел предпонятием и мыслит геометрический объект в системе понятий, т.е. может выделить понятия, для которых данное является ближайшим родом. При этом из набора существенных свойств геометрического объекта он может выделить достаточный и необходимый набор и сформулировать определение понятия, т.е. он мыслит понятие как определённую структуру. Рассмотрев этапы развития структуры «перцепция – понятие» и сенситивные периоды становления ее компонентов, можно определить основную обучающую задачу знакомства с геометрическим материалом в начальной школе как формирование у учащихся системы предпонятий или концептуальных образов. [6, с.147]

Особенности методики формирования геометрических знаний определяются задачей достижения всеми учащимися в конце 3 класса второго уровня геометрического развития. Но это еще не достаточно для овладения геометрическими понятиями, поэтому изучение геометрических фигур и их отношений доводится в основном до уровня представлений.

Маклаков Г.А. выделяет факторы, которые способствуют усвоению понятий. Во-первых, варьирование признаков предмета, понятие о  котором мы пытаемся усвоить. Чем  с большим числом признаков предмета мы встретимся в практическом опыте, тем более полное понятие у нас будет сформировано о данном предмете. Во-вторых, использование наглядности при усвоении понятий позволяет сформировать образы, которые дают отчетливое знание признаков предмета, его качеств и свойств. [14, с. 215]

Таким образом, понятие рассматривается и как форма отражения мыслительного объекта, и как средство его мысленного воспроизведения, построения, т.е. как особое мыслительное действие. Формирование понятия рассматривается с разных точек зрения одни авторы (Гусев В.А., Пышкало А.М.) утверждают, что в начальной школе возможно лишь формирование эмпирического понятия, другие (Давыдов В.В., Гальперин П.Я.) говорят о возможности формирования теоретических понятий. Деятельность ученика при этом направлена на изучение математического объекта, а продуктом этой деятельности будет правильное понятие и фиксирование данного понятия средствами языка или знаковых систем для усвоения знаний.

Знание на понятийном уровне – это всегда знание некоторой совокупности признаков объекта. Понятийное знание отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки объекта присутствуют:

1. во-первых, в чрезвычайно ограниченном объеме;
2. во-вторых, слитно и недифференцированно;
3. в-третьих, отсутствует осознание связей между ними.

2. Методика формирования понятий в различных системах обучения учащихся начальных классов математике.

Формирование  у детей понятий считается  одной из главных целей школьного  преподавания. В учебниках по различным  дисциплинам материал, как правило, расположен так, чтобы работа учащегося  с ним приводила к соответствующим понятиям. В методических руководствах учителем даются детальные указания относительно того, как направлять этот процесс, как проверять уровень достигнутого детьми понятия. [7, с.17]

Давыдов В.В. предложил  «технологию» образования понятий. Рассмотрим ее на конкретном примере.

При преподавании геометрии учитель стремится  дать школьникам конкретные представления  о различных углах. Предлагается, что при этом у школьников формируется  идея угла как обобщение всех наблюдений в одном понятии, символом которого являются два луча, исходящих из одной точки.

На основе большого количества соответственно подобранных  фактов создается обобщающая их абстрактная  идея об одном объединяющем их количестве. [7,с.18]

Для самостоятельной  выработки понятия, прежде всего, необходимо, чтобы учащиеся проанализировали и сравнили друг с другом довольно большое количество одинаковых или сходных предметов, специально для этой цели отработанных и предложенных учителем. При этом последовательно рассматриваются отдельные качества различных предметов и определяются, в чем эти предметы отличаются друг от друга. Происходит отбор качеств, общих для всех предметов и эти последние дают определение понятия в форме перечня общих качеств тех предметов, которые входит в объект соответствующего понятия. [7, с.18]

Реализация  данной схемы понятия в процессе обучения предполагает ряд особых условий:

1. Необходим набор отдельных предметов или совокупность конкретных впечатлений. Они служат исходным материалом для выполнения сравнения, посредством которого обнаруживаются общие, сходные, совместные качества предметов.
2. Широта вариаций сочетаемых признаков.
3. Наличие в исходном материале самых «неожиданных» и «непривычных» сочетаний общего качества с сопутствующими признаками или формой выражения. [7, с.19]
4. Понятие рассматривается, как правило, в неразрывной связи с операцией абстрагирования. Выделение некоторого качества как общего включает отчленение от других качеств. [7, с.20]
5. Разбор на конкретных примерах того, что конкретные признаки, которые могут широко изменяться, являются не существенными (изменяющиеся) для определяющего понятия.
6. Варьирование несущественных признаков понятий, свойств и фактов при постоянстве существенных (постоянных) признаков. [7, с.21]