Функция нескольких переменных

1 функция нескольких  переменных.

Функцией  переменных определенной

на множестве и принимающей значения на множе-

стве называется такое соответствие между множе-

ствами D и Y, при котором  для любой точки  существует единственный элемент

Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных

— множество точек плоскости.

 

2. частное и  полное приращение

Пусть дана  Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения.    Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением        ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y).    Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)

Полным приращением  функции Z=f(x,y) наз  величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)

 

3. предел и  непрерывность функции двух независимых  переменных

Функция, непрерывная  в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности  функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим  Δх=х—х_0, Δу=у—у₀, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х₀;у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М₀(х₀;у₀).

Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной

 

4.) частные  производные. Функции двух переменных.

Частная производная  функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся  случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой  области D имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y₀ и z₀, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x₀); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x₀ приращение Δx, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .

Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных.

 

5.) полный дифференциал  функции. Функции двух переменных.

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки  М(х;у). Составим полное приращение функции  в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.     (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для  независимых переменных х и у  полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy. 

 

7.) градиент  функции трех переменных.

  Градиентом функции  трех переменных u = f ( x, y, z ) в точке  A = ( x0 , y0 , z0 )

называется вектор, координаты которого равны частным производным функции

в этой точке:

В направлении градиента  функция имеет наибольший рост.

 

9.) экстремум  функции двух переменных. Необходимое  и достаточное условие всех  первообразных.

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N₀(x₀;y₀) D. Точка N₀(x₀;y₀) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N₀(x₀;y₀), что для каждой точки (x,y), отличной от N₀(x₀;y₀), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)₀;y₀). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x₀;y₀), то N₀(x₀;y₀) - точка минимума.

Значение функции в  точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом.

Теорема 1 (необходимые  условия экстремума). Если в точке N₀(x₀;y₀) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'_x(x₀;y₀)=0, f'_y=(x₀;y₀)=0.

 

 

6.) частные  производные высших порядков. Функции  двух переменных.

частные производные первого порядка мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства переменных . От каждой из этих функций , в свою очередь, можно найти частные производные: производных от :

производных от :

и так далее до ; всего получается производных где . Производная обозначается также или . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции .

Если  , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной , что и первое, то частная производная второго порядка называется чистой частной производной второго порядка по переменной и более кратко обозначается .

Если же , то частная производная второго порядка называется смешанной частной производной второго порядка.

Итак, для функции  можно отыскать чистых частных производных второго порядка и смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не , а вдвое меньше.

 

8.) производная функции  по направлению.

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию  от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

 

Вопрос 10 Определение  первообразной. Теорема о множестве всех первообразных.

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого

интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Свойства первообразной

1.Первообразная суммы равна сумме первообразных 2.Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

3.Достаточным условием  существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке

4.Необходимыми условиями  существования являются принадлежность  функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

5.У заданной на отрезке  функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Для первообразных  справедлива следующая теорема о

множестве первообразных:

Каждой функции  f (x) может быть сопоставлено бесконечное множество ее первообразных. Пусть у нас F₁ (x) u F₂ (x) две какие –то первообразные, причем F ₁′ (х)= f (x) и причем F ₂′ (х)= f (x) тогда докажем, что разность между двумя первообразными F₂ (x) - F₁ (x)= С

[F₂ (x) - F₁ (x)= С]

F ₂′ (х)- F ₁′ (х)=0

f (x)- f (x)=0

Обычно эту теорему  формулируют так:

F₂ (x)= F₁ (x)+С

В общем случае выражение F₁ (x)+С называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается таким образом

                                                                                                                     - называется знаком интеграла;

f(x) - называется подынтегральной функцией;

f(x)dx - называется подынтегральным выражением;

 

 

 

 

 

 

Вопрос 11 Неопределенный интеграл и его свойства.

Введение

Понятие интеграла в  виде определенного интеграла исторически  возникло в конце 16 века. Возникновение  его было вызвано высоким уровнем объемов торговли в частности торговли вином. Купцы, продавая или покупая вино в бочках в виду разнокалиберности объемов этих бочек, несли большие убытки, так как приходилось перемерять каждую бочку. Поэтому в городе Аутсбурге виноторговцы поручили учителю Кеплеру, используя методы интегрального исчисления по измерениям нородных размеров сделая метод определения объема вина без его переливания. Таким образом возникло интегральное исчисление в развитии которого решающую роль оказали Ньютон и Лейбниц.

Множество первообразных  функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .

Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Геометрически неопределенный интеграл

y = F(x) + C

 представляет собой  семейство “параллельных” кривых.

Свойства неопределенного интеграла:

1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производнаянеопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

,                                                             .

2.Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

В самом деле, пусть 

,

где j^/(х) - непрерывна. Тогда j(х) очевидно является первообразной для j^/(х). Поэтому

. 
3.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Ecли k = const, тогда            
4.Неопределенный  интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций. 

 

Вопрос 12 Метод  непосредственного интегрирования.

Простейшие правила  интегрирования.

1. ( ); 2. Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева.

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если , то (Док-во: если , то ).

4.Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если , то  
(Док-во: если , то ).

Метод непосредственного  интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных пpeобpaзoвaний подынтегральной фyнкции (или выражения) и применения свойств нeoпpеделeннoгo интеграла приводится к oднoмy или нескольким табличным интегралам, называется нeпоcpeдcтвeнным uнmeгpирoванием. Обычно постоянное интегрирование подставляют в конце ответа.

 

Вопрос 13 Метод замены переменной. 
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменных)заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно oпpeделить подстановку пpиобpетaeтcя практикой.

Пусть тpебyетcя вычислить интеграл Сделаем подстановку  
х =φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную.  
Тогда dx=φ^'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопpeделeннoгo интеграла получаем формулу интегриpoвaния подcтaнoвкoй Формула также называется формулой замены переменных в неопределeннoм интеграле. Пoслe нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t= φ(х),