Функция нескольких переменных

тогда

Другими слoвaми, формулу можно применять справа налево.

Пример  Найти  Решение: Положим х=4t, тогда dx=4 dt.следовательно

Вопрос 14 Интегрирование по частям.Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u•dv+v•du. Интегрируя это равенство, получим

Полученная формула  называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо обpaзoм в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими cспособами); затем, после нахождения ν и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удюбно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида где  
Р(х) - многочлен, К - число. Удобно положить u=Р(х), а за dv обoзнaчить все остальные сомножители.

2.Интегралы вида Удобно  положить Р(х)dx=dv, а за u обозначить  остальные сомножители. 

3.  Интегралы вида , где а и b - числа. За и можно принять функцию=е^{α х}.

Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование

Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет  интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в  виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней. Если степень  числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в  противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

;

здесь М(х)-многочлен, а  - правильная дробь.

Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь

 

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим 

.

Так как интегрирование многочленов  не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

(1).

(2). (k-целое положительное число

(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой  трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

(1)

(2)

(3) =

Более сложных вычислений требует  интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

(4)

Произведем преобразования:

 

Первый интеграл берется подстановкой :

Второй интеграл- обозначим  его через I_k-запишем в виде

полагая

 

(по предположению корни знаменателя  комплексные, а следовательно,  ). Далее поступаем следующим образом:

.

Преобразуем интеграл:

 

Интегрируя по частям ,будем иметь

.

Подставляя это выражение в  равенство (1), получим 

= = .

В правой части содержится интеграл того же типа, что  , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.

 

 

Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие 
Определение 1.

Целой функцией называется многочлен (полином).

Определение 2.

Дробно-рациональной функцией называется дробь, числителем и знаменателем которой  являются многочлены.

Определение 3.

Дробно-рациональная функция называется неправильной рациональной дробью, если степень числителя не меньше степени  знаменателя(n m).

Определение 4. Дробно-рациональная функция  называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Теорема:  
Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой функции и правильной рациональной дроби.

 
Постановка задачи интегрирования дробно-рациональной функции.

- задача свелась к интегрированию  правильной рациональной дроби. 

Простейшие рациональные дроби.  
Простейшими рациональными дробями являются рациональные дроби:

1)

2)

3)

Выделяем полный квадрат и делаем замену переменной:

Тогда интеграл примет вид:

Делаем обратную замену переменной и получаем окончательный ответ. 
Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Дана правильная дробь:

Теорема 1. Если знаменатель Q(x) имеет  любые корни, то правильная дробь  разлагается на сумму простейших дробей 1 и 2 типа. (1) Интегрирование правильной рациональной дроби.

сумме интегралов от простейших дробей

Вопрос 17 Интегрирование рациональных дробей 
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.

1.Случай.

Корни знаменателя действительны  и различны, т. е.

F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

В этом случае дробь  разлагается на простейшие дроби 1типа:

и тогда

2. Случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

В этом случае дробь  разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

Пример 1.

3. Случай.

Среди корней знаменателя  есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.

Пример 2.Требуется вычислить интеграл

 

.Разложим подынтегральную дробь  на простейшие:

 

               

Следовательно,

               .

Полагая х=1, получим 1=2С, С= Ѕ; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.

Приравнивая коэффициенты при  , получим 0=А+С, откуда А= - Ѕ. Таким образом ,

 

4. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

В этом случае разложение дроби  будет содержать и простейшие дроби 4 типа.

Пример 3. Требуется вычислить  интеграл

.

Решение. Разлагаем дробь  на простейшие:

откуда

Комбинируя указанные  выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.

Таким образом, получаем

Из всего изложенного  следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные  функции в конечном виде, а именно:

1. через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;
2. через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа
3. через логарифмы  и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа
4. через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.

 

Вопрос 18 Универсальная тригонометрическая подстановка. 
Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,

, , .

В то же время функция рациональной не является.

Теорема. Интеграл вида с помощью подстановки преобразуется в интеграл от рациональной дроби.Для доказательства выразим , и через :

 

В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:

В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются  лишь арифметические операции, то в  результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.

Подстановка

 

, , ,

 

называется универсальной тригонометрической подстановкой. 
Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при )

 

 

 

 19.Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

 

20.Вычисление интегралов  вида   , где m и n ? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное  число, то вносим   под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной   . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала   или применяем подстановку   . Сравни с 1. Смотри 

 

Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени:   ,   и   .

 

В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать  замену переменной   или   . Смотри пример 6 .

 

Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить  степени с помощью основного  тригонометрического тождества. Смотрипример 7 .

 

Примечание. В общем случае интегралы вида   , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.

 

21.Интегрирование  некоторых иррациональных функций  с помощью тригонометрических подстановок

 

Рассмотри интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

 

.

 

Выделив полный квадрат под корнем, получим один из трех интегралов: , , . Все они вычисляются с помощью тригонометрических подстановок.

 

1.

 

.

 

2.

.

 

3.

 

.

 

 

22Интегрирование  простейших иррациональных выражений

.Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может. В этой статье попытаемся выделить наиболее характерные виды иррациональных подынтегральных функций и поставить им в соответствие метод интегрирования.

1.Используя метод непосредственного интегрирования, достаточно просто находятся неопределенные интегралы вида ,

где p – рациональная дробь, k и b – действительные коэффициенты.

2.Бывают случаи, когда уместно использование метода подведения под знак дифференциала. Например, при нахождении неопределенных интегралов вида  , где p – рациональная дробь. 

3.Достаточно часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами вида  , где p и q – действительные коэффициенты. 
 
В этом случае выделяем полный квадрат под знаком корня: 
 
и используем формулу из таблицы неопределенных интегралов  . 
4.Нахождение множества первообразных иррациональных функций  , где M, N, p и q – действительные коэффициенты, очень схоже с интегрированием простейших дробей третьего типа: выполняется подведение под знак дифференциала, затем выделяется полный квадрат подкоренного выражения и применяются формулы из таблицы первообразных

24 Понятие интегральной  суммы

Понятие интегральной суммы  естественно обобщается на случай знакопеременной  функции. 
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл ( гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом. 
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл ( гл. На основе задачи об определении объема тела мы тию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом. 
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл ( гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным, интегралом. 
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл ( гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом. 
В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл ( гл. На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным, интегралом. 
Исторически возникло два подход к теории интеграла для функции одной переменной. Первый подход, связанный с именем Ньютона, характеризуется тем, что исходной в теории интеграла считается задала обращения операции дифференцирования, т.е. задача определения функции по ее производной. Второй подход, исходящий от Лейбница, опирается на понятие интегральной суммы. Интеграл функции, есть предел ее интегральных сумм. Логическое завершение этого подхода к понятию интеграла дает теория интеграла Римана, которая обычно и излагается в большинстве руководств пб математическому анализу. 
Широкое применение находят наглядные пособия и ТСО на уроках повторения и обобщения материала по всей изученной теме. Если в кабинете математики имеются кинофильмы или диафильмы, содержание которых соответствует данной теме, то их можно использовать полностью. Для обобщения материала полезно использовать экранные пособия и по другим темам, непосредственно связанным с данной. Например, при повторении темы Объемы тел целесообразно использовать материалы, которые иллюстрируют понятие интегральных сумм и их применение в алгебре и началах анализа.