Функция нескольких переменных

25 Свойства  определенного интеграла 
 
1) Если f (x) = c = const, то 
2) Устойчивое множитель можно выносить из-под знак определенного интеграла. 
 
3) Если f1 (x) и f2 (x) интегрируемые на [a; b], то: 
 
4) Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл только изменит свой ​​знак на противоположный. 
 
5) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. 
 
6) Если f (x) - интегрируема в любом из промежутков [a; b], [a; c], [c; b], то: 
7) Если f (x) ³ 0 и интегрируема для x Î [a, b], b> a, то 
 
8) Если f (x), g (x) - интегрируемые и f (x) ³ g (x) для x Î [a; b], b> a, то: 
 
9) Если f (x) - интегрируема и m £ f (x) £ M, для x Î [a; b], b> a, то 
 
10) (Теорема о среднем): Если ф-ия f (x) - непрерывная для x Î [a; b], b> a, то найдется такая точка x = c Î [a; b], что:

26 Методы вычисления  определенного интеграла. Формула  Ньютона-Лейбница

Понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования, формула Ньютона-Лейбница. 
Теорема: Если ф-ия f (x) непрерывна для любого x Î [a; b], то производная от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования по этой границе равна подынтегральной ф-ии от верхней границы интегрирования, то есть: 
  
Последствия: 1) Определенный интеграл с переменным верхним пределом от ф-ии f (x) является одним из первоначальных для f (x). 2) Любая непрерывная ф-ия на промежутке [a; b] имеет на этом промежутке первоначальную, которую, например, всегда можно построить в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом.

 

 

27 Метод замены  переменной для определенного интеграла

Теорема: Если: 1) f (x) - непрерывная для x Î [a; b], 2) j (a) = а, j (b) = b, 3) x = j (t) и j '(t ) - непрерывные для t Î [a; b]; 4) при t Î [a; b] è x Î [a; b], то 
  
Замечание: При замене переменной интегрирования в определенном интеграле меняются пределы интегрирования и поэтому нет необходимости возвращаться к исходной переменной.

Вопрос 28. Интегрирование по частям определенного интервала

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Формулы:

1. для неопределённого интеграла

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих  частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что  это равенство подразумевается  в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точность до константы, возникающей во время интегрирования.

2. для определённого

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Пример: 

Вопрос 29. Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур производится с  помощью формулы Ньютона-Лейбница

═ _{А принадлежит отрезку от а до в}══f(x)- непрерывна

x=a,x=b;══ отр [a,b] оси оХ

_при

_{Но бывают случаи, когда трапеция ограничена двумя}  функциями:

 

Тогда формула будет  трасформирована:

                                                            

 

Вопрос 30. Несобственные  интегралы I рода

Несобственные интегралы 1 рода.

Введем определения для несобственных  интегралов 1 рода.

Определение 1.

Если предел конечен, то несобственный  интеграл 1 рода называется сходящимся;

Если предел бесконечен или не существует вовсе, то несобственный интеграл 1 рода называется расходящимся.

Есть в  тетради.

Вопрос 31. Несобственные  интегралы II рода

Несобственные интегралы 2 рода.

Определение 1.

Интеграл вида:  , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода. Называется несобственным интегралом 2 рода.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.

Определение 2.

Если предел равен  бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.

Пусть функция y=f(x) имеет  разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.

Определение 3.

Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный  интеграл слева называется сходящимся.

Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.

Есть в  тетради.

 

Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла

1.1. Пусть функция   непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции  , может быть вычислена по формуле   (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если   на отрезке [a, b],   - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций   вычисляется по формуле   (рис. 10).

1.3. Если функция   на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой   и осью  , равна   (рис. 11).

        

 

 

     Рис. 10                                        Рис. 11 

 

1.4. Объем тела вращения

если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела 

Есть в тетради. Называется Геометрич. приложения определенного  интеграла

 

Вопрос 33. Пусть требуется  найти определенный интегралот непрерывной  функции ƒ(х). Если можно найти  первообразную F(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной  функции иногда весьма сложно; кроме  того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная  выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного  вычисления определенного интеграла  — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

42.1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция  ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины  (шаг разбиения) с помощью точек х₀ = а, x₁, х₂,..., х_n = b. Можно записать, что х_i= х₀+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В середине каждого такого отрезка построим ординату ŷ_i =ƒ(с_i) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷ_i.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

42.2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная  трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длины Абсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n —

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные  формулы для этих значений примут вид х_i = a+h*i, у_i=ƒ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной  линией, звенья которой соединяют  концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

42.3. Формула парабол  (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [x_i-1;x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах² + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M₁(-h;у₀), М₂(0; y₁), М₃(h; у₂), где у₀ = ah₂ -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с — ордината параболы в точке х = 0; у₂ = аh₂ + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь  через h, у₀, y₁, у₂. Из равенств для ординат у (находим, что с=y₁,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу  парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками x_i=х₀ + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х₀, x₁, x₂,..., x_2n-2 ,x_2n-1, x_2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у₀, у₁,у₂,..., у_2n-2, у_2n-1, у_2n, где у_i=ƒ(х_i) (см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х₀;х₂] парабола проходит через три точки (х₀;у₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂). Используя формулу (42.4), находим 

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность  вычисления по формуле (42.5) оценивается  соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0)

Вопрос 34. Определение  двойного интеграла. Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.  

 

 Обозначение двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

3. , где k - константа;

 

4. Если   в области R, то  ;

 

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

 

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  
   Здесь   означает объединение этих двух областей.

В тетради –  «Кратные интегралы. Двойной интеграл»

Вопрос 35. Вычисление двойного интеграла с помощью повторного

В тетради – «Вычисление  двойного интеграла методом повторного интегрирования»

 

 

Вопрос 36. Комплексная  плоскость. Арифметические действия над  комплексными числами.

Комплексная плоскость

 
 
  
 
Рассмотрим декартову систему координат x0y. Пусть каждому числу z = a + bi ставится в соответствие точка z (a; b) . Такую плоскость назовем комплексной. Иными словами с каждой точкой z этой плоскости связывают радиус-вектор, определяющий положение данной точки. Угол между положительным направлением оси 0х и радиус-вектором, отсчитанным в направлении против часовой стрелки, называется аргументом.  
 
Ось 0х называется действительной осью комплексной плоскости.  
 
Ось 0y называется мнимой осью комплексной плоскости.  
 
Аргумент может принимать значения из интервала -∞ < arg z < ∞. Наименьшее по модулю значение аргумента называется главным и обозначается arg z = φ .  
 
Из рисунка следует, что:  
 
Чтобы найти аргумент, необходимо учитывать, в какой четверти комплексной плоскости находится число: 

·  I квадрант φ1 = arg z1 = φ;

·  II квадрант φ1 = arg z1 = π - φ;

·  III квадрант φ1 = arg z1 = π + φ;

·  IV квадрант φ1 = arg z1 = 2π - φ; .  
 
Найдем модуль и аргумент комплексного числа :  
так как z1 ∈ I квадранту.

Арифметические действия над комплексными числами

Сумма 
Суммой комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = с + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i.  
Таким образом:  
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.  
Сумма комплексных чисел обладает свойствами: 

·  коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1

·  ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) 

Произведение 
Произведением комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число (ac - bd)+(ad + bc)i. Определение произведения устанавливается с таким расчетом, чтобы (a + bi) и (c + di) можно было перемножить как алгебраические двучлены, считая при этом, что i*i = -1.  
Произведение комплексных чисел обладает свойствами: 

·  коммутативности: z1 * z2 = z2 * z1

·  ассоциативности: (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)

·  дистрибутивности: z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 * z3  
На основании определения произведения комплексных чисел можно определить натуральную степень комплексного числа: z(в степени n); = z * z * ... * z n раз.