Геометрична модель комплексних чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

 

Вступ ………………………………………………………………………………… 2

Розділ І. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа ………..… 3

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел …………………….………….. 3

1.2 Огляд літератури зі шкільного курсу математики…………………….. 5

Розділ ІІ. Основні поняття в теорії комплексних чисел ……………...……… 6

2.1. Алгебраїчна та тригонометрична форма комплексних чисел ……...….. 6

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел ……………….……….. 9

Розділ ІІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії ..…………………. 13

3.1. Прямі на комплексній площині ………………………………………… 13

3.2. Коло на комплексній площині ………………………………………….. 15

3.3. Геометричні задачі, розв'язувані за допомогою одиничного кола …… 17

3.4. Уявні числа і многокутники …………………………………………..… 18

3.4.1. Побудова правильних многокутників …………………………... 18

3.4.2. Уявні числа і площа многокутників …………………………….. 23

3.5. Інтерпретація комплексних чисел на площині Лобачевского ……25 Висновки …………………………………………………………………………... 27

Література ………………………………………………………………………… 28

Додатки ……………………………………………………………………………. 29

 

 

 

 

Вступ

          Застосування комплексних чисел у геометрії ґрунтується на геометричному тлумаченні комплексних чисел та операцій над ними. Застосування цього незвичного курсу геометрії методу дозволяє розв’язувати певні питання більш цікаво та динамічно.  Особливу мою увагу привернула можливість розглянути площину Лобачевського за допомогою геометричної інтерпретації комплексного числа. Це завжди цікаве та корисне питання – розв’язання математичної задачі декількома способами. Також дуже важливо відстежити міжпредметний зв’язок нових і доволі абстрактних понять курсу алгебри та начал аналізу з практичними, а під час і з вже знайомими геометричними питаннями та задачами. Це дозволяє не тільки розвинути математичні уявлення про поле комплексних чисел та важливість його існування для розв’язку певних математичних та механічних питань, а і виховує свідоме ставлення до науки, вимагає використання певних логічних тверджень та міркувань. Застосування комплексних чисел при розв’язанні практичних задач – це важливий аспект у технічному навчанні, підготовка майбутніх інженерів до вивчання теорії функції комплексної змінної у вузі, її зв’язків з теорією диференціальних рівнянь; тому поглиблення знань з цього питання  відповідає меті даної роботи.

   МЕТА РОБОТИ. Розвинути навички з самостійної роботи з монографічною і періодичною літературою, з узагальнення та аналізу фактичного матеріалу за певною проблемою, удосконалити оволодіння геометричною інтерпретацією комплексних чисел як засобом розв’язування геометричних задач.

   ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ. Комплексні числа та їх геометрична інтерпретація. 
   МЕТОД  ДОСЛІДЖЕННЯ.  Узагальнення   і   аналіз    літератури   з   даної   теми,  використання апарату поля комплексних чисел до розв’язання геометричних задач, висновки на основі зробленої роботи.

ІІ. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа

2.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм  народженням цілком реальній задачі – задача розв’язання рівняння третього степеня ще у XVI столітті.

Корені рівняння :

 (1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають  формулою Кардано:

,

де D= ( .

Ця формула  не дає бажаного результату в тому випадку, коли рівняння (1.1) має три  різні (дійсні) корені. Наприклад, легко  перевірити, що коренями рівняння будуть числа 0,1,-1. Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою Кардано, то отримали б :

Яким чином  можна отримати числа 0, 1, -1? Щоб дати відповідь на це питання математикам  XVI-XVIIст. Необхідно було навчитися оперувати з виразами виду , де , і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, неможливими  величинами Вважалося  що вони не мають  реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків  XVII-XVIIIст. полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го степеня, тобто рівняння вигляду

   (1.2)

Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна стверджувати, що їх не більше ніж  . Якщо розглядати і уявні корені, то відповідь на поставлене вище питання виявляється простою: коренів у рівнянні (1.2) всього рівно . З цим виявилося важливим друге питання, яке вперше було поставлене Л.Ейлером: чи правильно, що будь-який многочлен можна представити у вигляді многочлена не вище другого степеня? Багато математиків 18 століття вважали, що відповідь повинна бути негативною. Але, між тим, відповідь виявилася позитивною. Це вдалося показати за допомогою уявних чисел. У XVIII столітті Л.Ейлер з іншими математиками виявили, що вивчення різних коливальних процесів зводяться до пошуку функцій , які задовольняють умову виду

    (1.3)

де  - постійні числа.

Наприклад, вивчення гармонічних коливань зводяться до розгляду рівняння , де - константа, - час, - відхилення маятника від деякого нейтрального положення. Ейлер виявив, що для знаходження функції , яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені алгебраїчного рівняння

    (1.4)

де  - ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії, електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

 

2.2 Огляд літератури зі шкільного курсу математики

При вивченні будь-якої нової теми в основному курсі школи постає проблема викладу даної теми в шкільних підручниках. Пропедевтикою вивчення розділу комплексної множини в школі є введення поняття комплексного числа і, відповідно, вивчення його властивостей.

Проаналізуємо, в яких класах вводиться дане поняття різними авторами підручників. Поняття множини вводиться безпосередньо ще у підручниках «Алгебра. 8 клас» . У підручнику В.Кравчука «Алгебра. 10 клас» вводяться поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування. У підручнику М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С. Дубінчук «Алгебра і початки аналізу, 10-11клас» також вводить поняття комплексної множини, а саме: комплексні числа, операції над ними, геометрична інтерпретація, дії з комплексними числами та їх застосування.

Проте ні в одному з підручників не виділяють застосування комплексних  чисел до розв’язку  геометричних задач, тому це питання  пропонується винести на факультативні  заняття та додаткові уроки.

 

 

ІІІ. Основні поняття в теорії комплексних чисел

3.1. Алгебраїчна та тригонометрична форма комплексних чисел

Дійсні числа  відіграють надзвичайно важливу  роль у математиці і природознавстві, зокрема, при вимірюванні довжин, площ, об'ємів, при вивченні рухів матеріальних тіл.

Проте є задачі, для розв'язання яких дійсних чисел  не досить. Найпростішою серед таких  задач є задача розв'язання квадратного  рівняння  
. Оскільки в множині комплексних чисел рівняння

повинно мати розв'язок, вводиться нове число, яке вважається розв'язком цього рівняння. Будемо позначати це число буквою і, число і називаються уявною одиницею. Введену уявну одиницю ми маємо вміти множити на довільне дійсне число b, тобто потрібно ввести до розгляду числа вигляду bі, де b € R. Такі числа називають уявними.

Нарешті, суму дійсного числа  а та уявного числа bі будемо записувати у вигляді а+ bі. Числа виду а+ bі називають комплексними числами. У комплексному числі а+ bі число а називають дійсною частиною, вираз bі – уявною частиною. Комплексне число часто позначають буквою Z. Для позначення дійсної частини комплексного числа використовується вираз Re (від французького слова reel – дійсний), тобто Re(а+ bі)=а; уявну частину комплексного числа виразом Im (від французького слова imaginaire – уявний), тобто Im (а+ bі)= b.

Два комплексних  числа вважаються рівними тоді і  тільки тоді, коли їх дійсні частини  ти коефіцієнти при уявних частинах. Комплексне число а+0і ототожнюється з дійсним числом а. Числа вигляду Z= а+ bі та Z= а-bі називаються спряженими.

Алгебраїчний запис  комплексних чисел дозволяє робити операції над ними за звичайними правилами  алгебри.

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду .

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

 

.

1. Комутативний закон додавання:

.

2. Асоціативний (сполучний) закон додавання:

.

3. Комутативний закон множення:

.

4. Асоціативний закон множення:

.

5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення щодо додавання:

.

6. .

7. .

8. .

9. Будь-якому комплексному числу  відповідає протилежне комплексне число таке, що .

10. Усякому комплексному числу  відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .

Степеня уявної одиниці.

 

Якщо натуральний показник степеня m при діленні на 4 дає в остачі r, тобто якщо , де n – натуральне число, то ;

 при цьому

Модулем комплексного числа  називається дійсне число виду

.

8. Теорема про сполучений корінь.

Якщо число  є коренем рівняння

(1)

Добування квадратного  кореня з комплексного числа  . Нехай

, де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності у квадрат, одержуємо .

Що рівносильне системі

Вирішуючи цю систему, одержуємо:

; .

Таким чином, добування  кореня квадратного з комплексного числа здійснюється по формулі

.

У дужках перед мнимою одиницею береться знак плюс, якщо , і знак мінус, якщо .

 

Тригонометрична форма комплексного числа. Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z=a+bi (рис.3), модуль якого дорівнює r, а аргумент αі.

Рис.3

У прямокутному трикутнику АОС:а= rcosα, b=rsinαі. Підставляючи у запис комплексного числа замість а і b їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо: z= rcosα+ rsinαі=r(cosα+іsinα).

Вираз r(cosα+іsinα) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь-яке число a+bi, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі.

3.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Вивчаючи  комплексні числа, можна використовувати  геометричну термінологію і геометричні  міркування, яякщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bί поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (рис. 1).

 

Рис. 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0ί, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bί.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (рис. 2)

 

 

 

 

Рис. 2

 

Поставимо у відповідність  кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий  вектор називають радіус – вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометричним зображенням комплексного числа z = a + bί є радіус – вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами і точками і говорити, наприклад, про вектор a + bί або про точку a + bί.