Геометрична модель комплексних чисел

Надалі ми скористаємося  декількома зауваженнями, що легко  перевіряються.

I. Уявна частина суми декількох комплексних чисел дорівнює сумі уявних частин доданків.

II. Нехай р и q — два яких-небудь комплексних числа, Ф и Ψ – їхні аргументи. Тоді

    (2.36)

Дійсно, легко підрахувати, що

;

звідси випливає рівність (2.36).

III. Нехай розташований на комплексній площині; р и q – комплексні координати векторів і , причому . Тоді площа трикутника OPQ (будемо її позначати: (OPQ)) зв'язана з числами р и q залежністю:

      (2.37)

Для доказу досить у (2.36) покласти , і врахувати, що тоді права частина в (2.36) — це подвоєна площа .

IV. Нехай у вектори , і мають відповідно комплексні координати р, q і m, причому . Тоді

    (2.38)

Справді, нехай q – комплексна координата вектора . Тоді

 

4.5. Інтерпритація комплексних чисел на площині Лобачевського.

Добре відоме відображення точок площини Лобачевського  на точки внутрішнього одиничного кола, при якому прямі площини Лобачевського  зображаються діаметрами круга і  дугами кола. Це відображення вперше дослідив французький математик і фізик Анри Пуанкаре, і воно носить назву «модель Пуанкаре» площини Лобачевського. «Модель Пуанкаре» можна також розглядати як відображення площини Лобачевського на площину комплексних чисел; дозволяє встановити зв’язок між комплексними числами і точками площини Лобачевського. Цей зв’язок встановлюється наступним чином: точці площини Лобачевського з полярними координатами (r, φ) відповідає комплексне число

z=th r/2(cos φ+sin φ)

При цьому вся площина  Лобачевського відображається на множину таких чисел z, що ‌‌|z|² =zz<1, тобто на множину точок одиничного кола: будемо вважати всі точки площини Лобачевського орієнтоватими, тобто відповідно направленні навколо певної точки (мал. 6). При цій відстані d=(A, B) між двома орієнтованими точками А і В площини Лобачевського буде рівнем довжині r відрізка АВ, якщо положення напрямку навколо А і В співпадає, інакше - відстань між цими точками є комплексною і рівна r+iπ.

В такому випадку, згідно (2.39), двом орієнтованим точкам площини Лобачевського з полярними координатами (r, φ), які відрізняються тільки напрямком, будуть відповідати комплексні числа

z=th r/2(cos φ+sin φ)

i

z₁=th(r/2+iπ/2)(cos φ+sin φ)=cth r/2(cos φ+sin φ)=1/z.

Відповідні точки комплексної  площини, «симетричні» відносно кола zz=1, ці точки лежать на одному промені з початком координат О, де 

(О, z₁) =1/(O, z), де (О, z₁) і (O, z)- евклідові відстані від точки О до точок

z₁ і  z.

Якщо називати точки кола  zz=1 (абсолютна моделі Пуанкаре) нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського і вважати, що для цих точок радіус вектор r=∞, то ми отримаємо взаємно однозначні зв’язки між всіма точками площини Лобачевського і всіма комплексними числами, до числа яких також відносять число ∞.

Таким чином, комплексні числа можна представити не тільки як точки евклідової геометрії, а й як орієнтовані точки площини Лобачевського.

 

 

 

V. Висновки

  Комплексні  числа широко застосовуються  в сучасній математиці і в  її прикладних галузях. В процесі  роботи я ознайомилась з історією розвитку теорії комплексних чисел, мала змогу оцінити значущість цього розділу теорії чисел для інших розділів математики: аналізу, геометрії, алгебри.

           В даній роботі на основі  літературних джерел мною була  вивчена теорія комплексних чисел відповідно до шкільної програми, розглянуто використання комплексних чисел при доведенні геометричних теорем і тверджень, наведені декілька розв’язків одної геометричної задачі з метою демонстрації особливостей її доведення з застосуванням комплексних чисел.

У першому розділі, тобто вступі, сформовані не лише мету, об’єкт і метод дослідження, а  історію введення комплексного числа  у курс вивчення. А також аналіз підручників з алгебри.

У другому розділі викладено означення комплексних чисел; геометрична інтерпретація комплексних чисел; комплексні числа і параметри.

У третьому розділі застосування комплексних чисел у геометрії; розглянуто геометричну інтерпретацію комплексних чисел на площині Лобачевського та наведено декілька прикладів (наприклад, коло Ейлера, яке описане навколо трикутника).

          Іноді здається, що доведення геометричних теорем з використанням комплексних чисел має більш громіздкий вигляд, ніж геометричне, переважно за рахунок алгебраїчних перетворень. Але неможна не оцінити стрункість і гармонію, які вносить застосування комплексних чисел до розв’язання геометричної задачі.

Отже, застосування комплексних чисел до розв’язання геометричних задач може бути і корисним і цікавим з точки зору поглиблення знань з предмету.

VI. Література

1. Кушнір І. Комплексні числа: Теорія і практика. – К.: Факт,2002,- 168с.
2. Завало С.П. Комплексні числа. – К: Вища школа, 1982. – 136с.
3. Маркушевич А.І. Комплексні числа і конформні відображення. – 3-е вид. – М.: Наука, 1979. – 56с.
4. Яглом І.М. Комплексні числа та їх застосування в геометрії. Вид. 2-е, стереотипне. - М.: Едіторіал УРСС, 2004.
5. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. - Воронеж: ВДПУ, 2004.
6. Андронов І.К. Математика дійсних і комплексних чисел. - М.: Просвещение,1975. 
    
   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII. Додатки

Задача 2.  Розглянемо трикутник а₁, а₂, а₃. Будемо вважати, що ; геометрично це значить, що всі вершини трикутника належать одиничному колу ( мал.. 8; таким чином, ми розглядаємо центр описаного кола навколо трикутника, який розглядається, за початок координат, а радіус цього кола – за одиницю довжини). В такому випадку точка а₁+ а₂=h₃ є вершина ромба оа₁а₂h₃ і прямі оh₃ і а₁а₂ взаємно перпендикулярні, як діагоналі ромба. Точка є серединою сторони а₁а₂ трикутника. Далі, точка є вершина паралелограма оh₃ha₃. Іншими словами, пряма а₃h ǁ oh₃┴a₁a₂, тобто пряма a₃h є висота трикутника а₁а₂а₃, а точка  b₃ її  перетин з основою а₁а₂. Точно так доводиться , що і прямі а₁h i a₂h є висотами трикутника а₁а₂а₃, а точка h  є перетином висот (ортоцентр) даного трикутника.

З малюнка також  видно, що (h₃,h)=(0,а₃) – відстань від ортоцентра трикутника а₁а₂а₃ до точки , симетричній О описаного кола відносно сторони а₁а₂, рівна радіусу описаного кола S трикутника. Звідси випливає, що геометричне місце ортоцентрів є рівним колу S з центром в точці h=а₁+а₂.

Розглянемо  далі точку  Ясно, що це є точка перетину діагоналей паралелограма 0а₃hh₃; через неї проходить також середня лінія m3c3 паралелограма,де При цьому,

(e, m₃)= (e, c₃)=

 таким чином,  коло σ з центром е і радіусом  ½ проходить через середину m₃ сторони а₁а₂ трикутника і через середину с₃ відрізка а3h висоти.

Аналогічно  можна показати, що це коло проходить  і через середини i двох інших сторін і через середини і

 

 відрізків а₁h і а₂h двох інших висот.

Коло σ вперше розглядалося великим швейцарським математиком Леонардом Ейлером. Воно називається колом Ейлера трикутника а₁а₂а₃.

Якщо хорди  с₃b₃ і m₃b₃ кола σ взаємно перпендикулярні , а с₃m₃ – діаметр цього кола, то коло Ейлера проходить також через b₃ висоти а₃b₃; аналогічно σ проходить через b₁ і b₂ двох інших висот а₁b₁ і а₂b₂ трикутника.

Таким чином, коло σ проходить через дев’ять  точок трикутника а₁а₂а₃ – m₁, m₂, m₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃. Тому його часто називають колом дев’яти точок трикутника.